一元二次方程韦达定理2讲义.doc

中小学个性化教育辅导专家特尔教育一对一个性化辅导讲义学科： 数学 任课教师： 徐老师 授课时间： 2015 年 月 日(星期 )姓名年级性 别 总课时_ 第_ 课教学目标通过根与系数的关系的发现与推导韦达定理，进一步培养学生分析、观察、归纳、猜想的能力和推理论证的能力；难点重点 韦达定理与推论是重点。 难点是如何灵活应用韦达定理与推论。 教学过程一、 知识回顾1复习提问（1）一元二次方程的一般形式？说出二次项系数，一次项系数及常数项（2）一元二次方程的根的判别式是什么？用它怎样判别根的情况？2写出问题（2）的正确答案，反之，即此命题的逆命题也成立，即“一元二次方程ax2+bx+c0，如果方程有两个不相等的实数根，则0；如果方程有两个相等的实数根，则=0；如果方程没有实数根，则0”即根据方程的根的情况，可以决定值的符号，的符号，可以确定待定的字母的取值范围 不解一元二次方程，判断根的情况。不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）2x23x-40；（2）16y2924y；（3）5（x21）-7x0已知ax2+bx+c=0（a0）且b2-4ac0，试推导它的两个根x1=，x2= 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去 解：移项，得：ax2+bx=-c 二次项系数化为1，得x2+x=- 配方，得：x2+x+（）2=-+（）2 即（x+）2= b2-4ac0且4a20 0 直接开平方，得：x+= 即x= x1=，x2= 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根 （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式 （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法 （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根 2、 新课讲解如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题 问题：已知ax2+bx+c=0（a0）且b2-4ac0，试推导它的两个根x1=，x2= .由此得出，一元二次方程的根与系数的关系（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）韦达定理 设方程axbxc0 (a0)的两根为x, x则xx，xx，这个方程的根与系数a,b,c的关系叫做根与系数的关系定理，也叫韦达定理。1. 若两个数x，x满足xx，xx，则x，x是方程axbxc0 (a0)的两个根，这个定理称为韦达定理的逆定理。2. x，x是方程axbxc0 (a0)的两个实数根，则必有b4ac,反之亦成立。若是方程的两个根，试求下列各式的值：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 【典型例题】例1：已知x，x是方程x3x10的两个根，求xx xx的值。解：x 原式x例2：如果a，b是方程xx10的两个实数根，求代数式aababb的值。解：ab1 , ab1 . 又a 原式a例3. 若实数x，y满足（x1）33(x1), 3(y1)3(y1)，求的值。解：（x1）,（y1）.且 若x.则x,y为方程t的两实根 xy5，xy1 原式 若xy ，则原式2 . 原式2或23例4：验证x1，x21为方程x3x50的实数根。解：若是，则x 以x为根的一元二次方程为x 显然x为给定方程的两实根。例5：请写出一个两个实数根之和为1的一个一元二次方程。解：设x,x,则由韦达定理之逆，得 x 但x为方程两实根. .k 比如设x.则方程为x等等。例6：已知2 x5x30，不解方程，求作一个一元二次方程，使它的两个根是原方程两根的倒数。解：设所求方程两根为y1、y2，则, y 但x. y 所求的方程为y. 即3y例7：设x1，x为方程（xa）(xb)cx的实根，求证：关于x的方程（xx）（xx）cx0的两实根为a，b 解：（xa）（xb）cx 命题得证 【巩固练习】1. 若x3x10的两根是x1，x，则_2. 已知x1，x是方程3 x14x的两根，不解方程，则_3. 设x12是方程x4x10的一个实根，则另一个实根x_4. 方程3 x2x20的两根差的平方为（ ）A BCD5. 以方程3 x2x60的各根的负倒数为根的一个一元二次方程是（ ） A6 x2x10 B6 x2x30 C6 x2x10D6 x2x306. 已知方程2 x5ax3b0的两根之比为2：3，方程 x2bx8a0的两根相等（ab0），求证：当m为任意实数时，方程ax（bm1）x（m1）0恒有实数根。课堂小结设方程axbxc0 (a0)的两根为x, x则xx，xx，这个方程的根与系数a,b,c的关系叫做根与系数的关系定理，也叫韦达定理。1. 若两个数x，x满足xx，xx，则x，x是方程axbxc0 (a0)的两个根，这个定理称为韦达定理的逆定理。2. x，x是方程axbxc0 (a0)的两个实数根，则必有b4ac,反之亦成立。课后作业1. 巳知a、b是一元二次方程x22x1=0的两个实数根，则代数式（ab）（a+b2）+ab的值等于_2. 已知关于x的方程x2+mx6=0的一个根为2，则m=，另一个根是3. 若x1，x2是方程x2+x1=0的两个根，则x12+x22= 4.已知一元二次方程y23y+1=0的两个实数根分别为y1、y2，则（y11）（y21）的值为 5. 已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k22=0的两实根的平方和等于11，则k的值为 6. 若x1、x2是方程x22x5=0的两根，则x12+x1x2+x22=7.若关于x的一元二次方程x24xk30的两个实数根为x1、x2，且满足x13x2，试求出方程的两个实数根及k的值8. 关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2（1）求k的取值范围；（2）如果x1+x2x1x21且k为整数，求k的值9. 阅读材料：如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根，那么， ，这就是著名的韦达定理现在我们利用韦达定理解决问题：已知m与n是方程2x26x+3=0的两根（1）填空：m+n= ，mn= ；（2）计算的值10. 已知关于x的方程x22（k1）x+k2=0有两个实数根x1，x2（1）求k的取值范围；（2）若|x1+x2|=x1x2