（应用数学专业论文）一类离散hjb方程的数值解法.pdf

博士学位论文 摘要 h 锄i l t o n j a u c o b i b e l l m a n 方程 简称h j b 方程 最早出现于用动态规划解 最优控制问题 之后在科学 工程 经济领域中得到广泛应用 因此h j b 方程 数值解的研究是一个非常热门的话题 它是偏微分方程数值解领域中重要课题之 一 本文主要是研究离散h j b 方程数值解法 我们在文中构造了若干新算法并证 明了相应算法的收敛性 然后通过数值试验 证明了算法的有效性 离散的h j b 方程在一定的条件下可用拟变分不等式组来逼近 对此拟变分 不等式组 我们构造了松弛迭代格式 当u 1 时即g 踟l 睁s e i d e l 型迭代算法 然后我们考虑基于此算法的区域分解方法 并给出了上述算法的收敛性分析 数 值试验显示松弛算法中适当选取松弛因子 能显著提高算法的有效性 l i 0 璐和m e r c i e r i l 对离散的h j b 方程的数值解提出了两种迭代格式 其中 的格式i 是在迭代的每一步中对一个变分不等式进行求解 我们对此格式引进一 个松弛因子u 我们称它为l i o n s m e r c i e r 型的松弛算法 我们给出了此算法的 收敛性证明 数值例子表明 合理地选取松弛因子 能大大提高算法的运算速度 我们还提出了求解h j b 方程的一种新的松弛迭代格式 称为g a l 睁s e i d e l 型迭代 它在每一步迭代只需进行简单的算术运算 而不需求解线性方程组或线 性互补问题 且每一步迭代都用到了上一步的最新结果 此算法的收敛性比传统 算法快 我们用数值试验表明了这一点 算法的单调收敛性也得到了证明 最后 我们对离散的h j b 方程的提出了新的多重网格法 在磨光算子的选 取上我们选择了一个非线性的光滑算子 即上段所述的松弛型迭代算法 数值试 验显示修改磨光算子的新的多重网格法是有效的 并且算法的运算速度明显高于 已有求解h j b 方程的多重网格法 关键词 h j b 方程 拟变分不等式 区域分解 收敛性 迭代法 松弛算法 存在性 多重网格法 一类离散h j b 方程的数值解法 a b s t r a c t t h eh a m i l t o n j a c o b i b e u m a ne q u a t i o n i ns h o r th j be q u a t i o n a r ee n c o u n t e r e d 缸s ts o l v i i l go p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mu s i n gd y n 锄i cp r 0 i f 猢i n g a f t e 弭r a r d t h eh j be q u a t i o nh a v eb e e nw i d e l yl l s e di ns c i e n c 鹊 e n 西n e e r i r 曙a n d e o o n o m 洒 s o t h en 1 皿e r i c 越s o i u t i o n sf o rt h eh j be q u a t i o nh a v ea t t r a c t e dm u c h a t t e n t i o n t h eh j be q u a t i o 璐a r ei m p o r t a n tp r o b l e m si nt h em l l e r i c a ls o l u t i o 姆 o fp a r t i a ld i 能r e l l t i a le q u a t i o 瑚 t 0 0 i nt h et h e s i s w ed 斌u 跚m a l i i d yt h en u m e r i c a ls o l u t i 伽噶0 ft h ed i s c r e t ep r o b l e m 8o fak i n do fh j be q u a t i o n w ec 伽u s t r u c t m a n yn e wi t e r a t i ea l g o r i t l 啮a n dp r o v et h e i rc o n v e r g e n c e t h e 加m e r i c 8 lr 争 s u l t ss h o wt h ee 在b c t i v e n 鹤s0 f 以g o r i 址 强 t h ed i s c r e t eh j be q u a t i o nm a yb e 印p r o 菇m a t e db yaq u 胬i v 缸i a t i o n a l 洫一 e q u a l i t ys y 8 t e m0 nt h ec o n d i t i o n w ec 0 瑚i d e rar e l a x a t i o n 吞1 9 0 r i t h mf o rt h e 印p r 妇a t eq u 鹪i 谢a t i o n a li n e q u a u t ys y s t e mo fh j be q u a t i o n t h er e l 躲a 土i o n a j g o r i t h mi 8g a l s 8 s e i d e lt y p ea l g o r i t h mo nu 1 t h 明w ec 0 n s t r u c ta d o m a i n d e c o m p i t i o nm e t h o df o rt h eq u 鹪i a 畦a t i o n a l li n e q u a n t ys y s t e mb 够e do nt h e r e l a x a t i o n 吞培0 r i t h m w b 酉v et h e 娜鹤p o n d i n g 删0 n e 蝴g e n c et l 啪r i 憾 a b o u tt h e i ra 1 9 0 r i t h 妇鸲 n u m e r i c 以e 印砸m e n t ss h o wt h a tt h e 疆戤i v 凹e 鹤0 ft h e a l g o r i t h i 衄蛾i m p r o v e du s i n gp r o p e ru l i o n sa n dm e r c i e rb a v ep r o p o s e dt w oi t e r a t i v es d l e m e sf b rt h en u e r i c a l s o l u t i o no ft h ed i 8 c r e t eh j be q u a t i o n a te a c hi t e r a t i o n av a n a t i o n a li n e q u a d i t y i s l v e d ms c h e m ei w ep r o p o b 躺e do ns c h e m ei ar e l a x a t i o ns c h e m e 丽t h 8p a r 8 m e t e ru w ec 吞ui tl i o 瑾 i m e r c i e rr e l 觚a t i o n8 g o r i t b 咀 t h em o i 岭t o n e c o n v e r g e n c eo ft h ea 1 9 0 r i t h mh 勰b e e np r o v e d i no i l rn 衄嘶c a l 麟锄p l 鹤 t h e d l g o r i t h 玎ai sf 抽t e rt h 趾s c h 锄eic h 0 i n gap r o p e rp a r 锄e t e r u an e ws u c c e 蹈i v er e l 觚a t i o ni t e r a t i v ea l g o r i t 虹f 曲d i s c r e t eh j be q u 习l t i o ni s p r o p o s e d i td o 鹤n o t8 0 l v ea l i n e a re q u a t i o ns y s t e mo ral i n e a rc o m p l e m e n t 撕t y p r o b l e mb u tc a n 了o u t8 i m p l e 撕t h d l e t i c0 p e r a t i o n sa te a c hi t e r a t i o n a n dw e u 8 et h en e w e s tn 强u l t 8a te a d hi t e r a t i o n n u m 鲥c a lt e s t ss h o wi ti 8f 抽t e rt h a n t r a d i t i o n a l la k o r i t h m 8 m o n o t o n ec o n w r g e n c eh 鹪b e e np r o v e df o rt h ea l g 嘶t h m f i n a l l y w ec 0 咀8 t r u c tan e wm m t i g r i dm e t h o df o rm s c r e t eh j be q u a t i o n w i ec h 0 0 8 ean o i l l i n e 盯s m o o t h e r t h a ti 8ar e l a t i o ni t e r a t i v e 甜g o r i t h 咀i nt h el 嬲t p 牡a 留a p h 嬲as m o o t h i n go p e r a t o r n 啪嘶c 砒e x p e r i m e n t ss h o wi t i sf 妇t e r v 博士学位论文 t h a nm u h t g r i dm e t h o d st h a tt h e yl l s e dt os o l v et h ed i s c r e t eh j b e q u a t i o n k e yw b r d s h j be q u a t i o n q u a u s i v 甜i a t i o n a l i n e q u a l 时 d o m a i nd e m p o s i t i 0 n c o n v e r g e n c e i t e r a t i v e g o r i t h m r e l a x a t i o na l g o r i t h m e x i s t e n c e m u l t i 鲥d m e t h o d 一类离散h j b 方程的数值解法 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明 此处所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的成果 除了文中特别加以标注引用的内容外 本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体 均 已在文中以明确方式标明 本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 名 溷多 日期 加9 男年匆月 1 7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留 使用学位论文的规定 同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版 允许论文被查阅和借阅 本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索 可以采用影印 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 l 保密口 在年解密后试用本授权书 2 不保密q 请在以上相应方框内打搿 一 作者签名 b 唧瓿易 日期 妒辟眵月2 9 日 翩摊 围b 醐枷 叫诣 博士学位论文 第1 章绪论 1 1h j b 方程 考虑如下形式的一类h j b 方程的d i r i c h l e t 问题 髅胁一 o n q 1 1 u 0 o n 锄 其中q 为有界域 i 1 后 是二阶椭圆算子 其形式如下 其中 t t 一童差c c z 差 奏 c 功差 罐c 咖 dd z 6 口 g 比 q j j 10 1 吒 n 刍 s z 1 d t 1 七 蝣 z c 0 比 q i 1 忌 口 o c d o 是常数 n 刍 t 西 是光滑函数 i 1 忌 z s 1 d l 2 3 4 5 一 h j b 方程是在用动态规划方法求解最优控制时产生的 之后在科学 工程 经济领域中得到广泛应用 见文献 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 及其参 考文献 对于方程 1 1 从上世纪八十年代以来 国内外许多数学家致力于它的理论 研究 取得了不少的成就 1 1 9 加 2 1 沈捌 l c e v a 璐嗍证明在一定的条件下h j b 方程广义解的存在性 唯一性和正则性 这是在1 9 8 6 年以前最好的结果 后来 许多学者在这方面的作出了进一步的工作障 2 6 2 7 2 8 加 3 l 船一 l c e h 瑚和 p l l i o 硼在文献阻 3 5 中证明了方程 1 1 可用下述拟变分不等式组 q s 来逼近 口 u 口一 钉一 蜘 日3 q t 正 尼1 1 钞 南1 1 i 1 七 1 2 一类离散h j b 方程的数值解法 其中u 知 1 u 1 七l 是正常数 口 u 为与算子厶对应的双线性型 在适当的条 件下 文献 3 4 3 5 还证明了方程 1 2 有唯一解 u 1 札南 并且当尼1 o 时 有 仳1 u 知 u u 于l q 1 3 其中t i 是方程 1 1 的解 且札 2 q 这样 对于方程 1 1 的近似求解就 可以转化为七l 充分小时求解拟变分不等式组 1 2 上世纪八十年代以来 关于h j b 方程 黏性解一的研究越来越受到大家的 注意p 6 3 7 3 8 4 0 4 1 4 2 4 3 4 5 稻 绷 其优点是在较弱的条件下 广义解可存在而不唯 一 但黏性解存在且唯一 1 2h j b 方程的离散 关于变分不等式和拟变分不等式的求解问题 可参看 4 8 4 9 5 0 文献 4 5 1 基于上述工作对于 1 1 相关的拟变分不等式组 1 2 提出了有限元逼近方法 从 而对h j b 方程 1 1 的解缸证明了下面的误差估计 t 正一t 正 i i l 一 n c 2 i z o 夕 7 1 1 3 1 4 其中u l 为u 的有限元逼近 o 为网格参数 文献 5 2 1 对拟变分不等式组 1 2 讨论了罚有限元方法 m i h l e r 5 3 对h j b 方程提出了混合有限元法 而文 献 5 4 采纳了m i h 埘的思想将混合有限元方法推广到抛物型h j b 方程 并给 出了相应的误差估计 求解 1 1 最早的离散格式是适当的差分格式 见 2 5 及其文献 文献 2 还给出了一个误差估计 i t l l 一训n i p d 胪 l o 其中u g q 1 1 是t 的有限差分逼近 牡 俨 一 q 九 o 为网格参数 q 为 把q 一致划分所得到的网格点集 1sp s w 啦在文献 5 5 对h j b 方程 黏性解 提出了一种迎风有限差分格式 这种对h j b 方程的数值方法在空间上 是基于迎风有限差分格式而在时间上是向前的欧拉格式 数值结果显示此法虽然 有效 但当空间维数的增大时 花费的时间也随之增加 所以 文献 5 6 对h j b 方程 黏性解一提出了特征修正法 m m o c 嘲 这对文献 5 5 的方法进行了一 定程度的改进 l g r n n e 近来对离散的h j b 方程的自适应网格格式进行了较深入的研究 5 8 5 9 一 在文献 5 8 中 l g r 讧n e 对离散的一阶h j b 方程提出了自适应有限差 一2 一 博士学位论文 分格式 并建立了局部后验误差估计且证明了这些误差估计的性质 基于这些后 验误差估计进一步提出了自适应迭代格式 文献 5 9 是对文献 5 8 延伸和发展 之后 很多学者在这方面也作出了大量的研究工作 6 1 6 2 一 1 3离散h j b 方程的数值解 用有限差分法和有限元法等离散方法从 1 1 得到下面离散的h j b 方程 旦婪 u p o 1 5 1 j o 仇 1 求扩 七使得 矿 七 一 其中歹 1 碲 步2 设 m 一1 七 u 0 u 七 嘶 1 七 求u j j 使得 m a x u 甜一f 卅j u 一1 j 一1 o 步3 若8u 础t 七一u oi i o 仇 0 求沪使得 矿 其中歹 1 步2 对l 1 n 求卯使得 刀 m i n d 1 耐 沪一p l2 焉 沪一p 1 步3 求 m 满足 a 砑 沪 1 f 白 赡 一3 一 一类离散h j b 方程的数值解法 步4 若沙 1 u m 则输出u 仇 否则m 仇 1 转步2 我们容易看出 在上面的两个迭代格式中 在每一个迭代步 要么是解一个 线性互补问题 要么是解一个线性方程组 在文献 2 中 r h w h o p p e 对于以 上两种迭代算法中的子问题提出了多重网格算法 并分析了此算法的收敛性 文 献 6 6 4 1 对方程 1 5 用交替方向法求解 并证明了算法的收敛性 区域分解法是近年来用于求解方程 1 5 一种非常有效的方法 它的优势之 一是此算法容易高度并行 6 7 1 c a m i l l i 鹤 等首先提出了求解h j b 方程的区域分 解法 随后 s 眦1 m 5 在文献 1 的基础上构造了一类区域分解法 而文献 2 0 提 出了另一类基于等价于方程 1 5 的拟变分不等式的区域分解法 文中证明了在 一定的条件下方程 1 5 解的存在唯一性 并利用m 矩阵的性质证明了迭代解 的单调收敛性 总之 上面文献中的所有算法在每一步迭代中都必须去求解一个线性方程组 或者线性互补问题 文献 6 9 7 0 1 对于方程 1 5 提出了一种新的算法 在此算法 中 它不需要去求解子问题 取而代之的是在每一次迭代中去执行简单的算术运 算 其特点是简单易行 且是单调收敛的 而文献 7 1 1 讨论了从上解出发的一个 迭代法 并给出了此法在一定的假设条件下的收敛性 1 4 本文的创新点及主要内容 在本博士论文中 我们讨论离散h j b 方程 1 5 的数值解法 本文的创新点 如下 一 首次提出了直接求解 1 5 的g a l 瓣s e i d e l 型松弛迭代法 证明了它 的单调收敛性 数值试验表明 适当选取松弛因子 它比传统的求解 1 5 的算法 要快很多 也比新近提出的算法 见f 6 9 7 0 要快 二 首次提出直接求解 1 5 的非线性多重网格法 它采用上述松弛迭代 格式作为非线性磨光算子 数值试验表明 它比已有的求解 1 5 的多重网格法 的收敛速度明显提高 三 基于本文提出的多种迭代格式构造了区域分解法 使之便于进行并行 计算 并对这些区域分解法的单调收敛性给出了证明 整篇论文的安排如下 在第2 章中 我们研究了关于离散h j b 方程相关的拟变分不等式的迭代算 法 并对此迭代算法提出了松弛算法 即含有松弛因子的g a u 睁s e i d e l 型的迭代 算法 数值试验显示适当选取松弛因子 能提高算法的有效性 我们相应的给出 基于上述算法的区域分解方法 并分别建立了单调性收敛定理 一4 一 博士学位论文 在第3 章中 我们研究了关于离散h j b 方程基于l i o 瑚和m e r c i e r f l 的格 式i 的松弛算法 即l i o i 睁m e r c i e r 型松弛算法 并证明此法的收敛性 数值试验 表明合理地选取松弛因子 能大大提高算法的运算速度 而且 我们讨论了在一 定的假设条件下离散的h j b 解的存在唯一性 在第4 章中 我们研究了求解h j b 方程的一种新的松弛迭代格式 即g 叫s s s e i d e l 型迭代算法 它其实是一个逐次迭代格式 而且我们给出了上述算法在初 值的选取及 有下界一的一些理论研究 并给出了此法的单调收敛性证明 数 值试验证明此法比传统算法收敛速度快 在最5 章中 我们研究了关于离散h j b 方程的新的多重网格法 它直接用 来求解h j b 方程 而不是求解子问题 在磨光算子的选取上我们采用第4 章构 造的松弛迭代 它是一个非线性磨光算子 数值试验显示修改磨光算子的新的多 重网格法是有效的 并且算法的运算速度高于已有的求解h j b 方程的多重网格 法 1 5基本概念及记号 在本节中 我们给出一些在整篇文章中所使用的概念和记号 1 5 1 基本概念 下述三个定义参见 7 1 7 2 7 3 其中前两个定义是相对于方程组 1 5 而言 定义1 5 1 1 若y 舻满足 粤婪 y p o 1 6 1 知 则称y 为 1 5 的下解 y 的下解集记为岛 定义1 5 1 2 若y 舻满足 粤鳞 y p 0 1 7 1 f o c d o 弓删磊 诺 是光滑的 且 o q 冗 且有界 我们假设 存在6 0 使得下式成立 u 刚钞嗡 n v 钉 硪 q 江1 尼 2 6 一7 一 一类离散h j b 方程的数值解法 下面的h j b 方程在一定的条件下可以逼近 2 1 见文献 4 且有下面的结论成立 厂燃 t 一广 o i i l q 1 二o n 弧 2 7 定理2 2 1 参见俐 若 1 铲 和t 分别是 2 1 和 2 7 的解 当 航 0 有 u 1 t 七 一 u 缸 于三 q 2 8 上面的定理表明 当h 充分小时 拟变分不等式系统 2 1 是方程组 2 7 一个好的逼近 我们把 2 1 离散 得到形式如下 忆z 即圳 0 w 以 一 2 9 一 y 一 o v y l l 七 r 7 其中f t o y r y 1 七1 e u 七 1 u 1 e 1 1 t 2 9 是有限维的拟变分不等式系统 关于它的解的存在唯一性 我们有下面 的结论 定理2 2 2 参见m 若 i 1 七是m 矩阵 则 2 9 有解且唯一 文献 4 对 2 9 构造了一种迭代算法 即 给出 y 1 y 七 n 来计算 y 1 1 y 七一 1 由下式来完成 二 y 一 卅 w c 协 l c 2 加 l u n 1 一f y 一 n 1 o v y c n 1 i l 七 叫 其中 1 y r y 1 一 e 七 1 n 1 一 e 1 1 t 显 然 由于 1 不包含未知的扩 t 1 所以 2 1 0 不是拟变分不等式系统 而 只是七个相互独立的变分不等式 而关于 2 1 0 的求解我们已经有许多方法 参 见 2 3 4 8 迭代格式 2 1 0 其实是一个j a c o b i 迭代 即在每一步的迭代中仅仅用到最 后一个值 u 1 七 n 在下一节中 我们对 2 9 提出了一种松弛算法 当松 弛因子u 1 时 就是我们通常所说的g a u 鹃 s e i d e l 型的迭代算法 并给出该算 法在一定的假设条件下的单调收敛性的理论和证明 一8 一 博士学位论文 2 3松弛算法及收敛性 在给出算法之前 我们先假设 i 1 七是m 一矩阵 2 1 1 上面的假设是符合情理的 见 7 4 7 5 有关m 矩阵的定义 参见定义1 5 1 3 记痧n 1 u 七 n 算法r a 步1 假设 0 护 r 七 u o l j l 0 步2 对i 忌 七一1 1 求 n 1 n l 使得 三 1 一f y 一 n 1 o 扩 1 1 一u 扩 n u 卅1 2 1 2 2 1 3 其中 n 1 y r y 沪 1 件1 后l e 2 1 4 和u m 1 n 1 u 1 n 步3 若i i 痧n 1 一疗ni i s 则输出d n 1 否则n n l 转步2 从上面的步2 知 算法执行时是从i 七到 1 众所周知 2 9 等价于下面的拟互补问题 i u 一 o u 扩 1 七l e i l 一f u 一驴 1 一h e o l 1 后 显然 2 1 5 与下面的问题等价 m a x 扩一 一 1 一惫1 e o i l 七 2 1 5 2 1 6 类似于定义1 5 1 1 和定义1 5 1 2 我们定义 2 1 6 的下解和上解 若矿 y 1 俨 r 七满足 m a x 伊一一 一 一向e 0 i 1 七 2 1 7 则我们称矿是 2 1 6 的一个下解 我们把 2 1 6 所有下解的集合记为岛 由 上面的定义我们容易看出 因为f o t 1 七 所以矿 0 r 七是 2 1 6 的一个下解 若矿 r 七满足 m a x 一f 一矿 1 一七1 e o t 1 岛 2 1 8 一9 一 一类离散h j b 方程的数值解法 则我们称矿是 2 1 6 的一个上解 我们把 2 1 6 所有的上解的集合记为 显 然 2 1 6 的解痧不仅是一个上解而且是一个下解 引理2 3 1 研n r 掣 七是非空集 证明 考虑接下来七个方程 i l 后 2 1 9 对于i 1 七 是一个m 矩阵 由定义1 3 3 是非奇异的 因此对于 1 后 2 1 9 有唯一解 又因为f o i l 七 我们很容易知 道 0 和下式成立 m a x 一一 一 1 一七l e o i 1 七 这就意味着矿 y 1 y 七 岛n r 掣 七 口 引理2 3 2 参见胆叫 设l 是一个m 矩阵 k y r y 妒 如果妒1 妒2 扩 k 和 三u 一f y c 厂i o v y k i 1 2 成立 则u 1 u 2 下面我们证明算法r a 的收敛性 记咖 w 1 一 七 n 定理2 3 1 如果 i l 七为m 阵及 驴n 由算法r a 产生 a 若护 sn r 知 则迭代解序列 沙 单调减少收敛于问题 2 1 6 的解 b 若护 岛 则迭代解序列 矿n 单调增加收敛于问题 2 1 6 的解 证明 a 若伊 岛 根据上解的定义可得 m a x 矿 o 一 扩 o 一扩 1 o 一七1 e 0 t 1 七 2 2 0 我们先证其单调性 在证明u 七 1 u 知 o 之前我们证明 k 1s 知 v 2 2 1 一1 0 博士学位论文 设 1 2 厶 s 钟 o 一以 o 一七1 o 当t 七时 由 2 2 0 得 l 知u 七 o f 知 o 于s 厶 2 2 2 由 2 1 2 得 m a x l 知w 七 1 一f 七 知 1 一u 1 o 一七l e o i 1 七 2 2 3 由上式易知 w 蛩 1 一以 o 一七1 o 于s 厶 和 l 知仰7 七 1 一f 七 0 于s 厶 根据厶的定义和 2 2 4 我们可得到 孵 1 畦 o 于s 厶 2 2 4 2 2 5 2 2 6 而由 2 2 2 和 2 2 5 我们有 l 知 u 七 o 一 七 1 o 于s 厶 2 2 7 由 2 2 7 我们有 l 氖厶 霄 厶 u 七 o 一 七 1 机 一l 鸟 厶 几 u 七 o 一 七 1 厶 又因为胪为m 矩阵 则 工氖 厶 o 和 二氖厶 机厶是m 二矩阵 由 2 2 6 2 2 8 和 2 2 9 可推出 己斋 厶 机厶 u 奄 o 一 七 1 吼厶 o 厶府 厶 机厶l u 一y y j 叭厶 u 因此 由 2 3 0 2 3 1 和 2 2 6 知 2 2 1 成立 再由 2 1 3 有 1 1 一u u o u w i 七 1 显然 上式中取i 七且利用u o 1 和 2 2 1 我们可得 扩 1 沪 v 一1 l 一 2 2 8 2 2 9 2 3 0 2 3 1 2 3 2 2 3 3 一类离散h j b 方程的数值解法 下面我们证明 由 2 2 0 有 七一1 1 u 七一1 v 2 3 4 m a x l 七一1 u 七一1 1 一f 七 u 奄一1 1 一 七 o 一后1 e o 2 3 5 而由 2 1 2 得 l 七一1 i 矿七一1 1 一f 知一1 y 一 肚一1 1 o v y c 知一1 2 3 6 其中 c 七一1 1 y r y u 七 1 七1 e 下面我们考虑接下来的问题 求萨一1 伊 满足 其中 l 七一1 痧知一一p y 一痧七一1 o w d 七 2 3 7 d 鼍一1 y r y u 七 o 七l e 由引理2 3 2 和 2 2 3 易知 而 2 3 7 等价于下面的问题 七一l 1 o 2 3 9 同得到 2 2 1 一样的方法 我们有 扩一1 u 七一1 v 由上式和 2 3 8 得 w 七一1 1 u 七一1 v 同得到 2 2 3 一样的方法 我们有 u 七一1 1 u 七一1 0 这样 通过递推我们容易得到 1 u v 1 u v i 后 七一l 1 即 谚1 d o 痧1 护 一1 2 一 2 4 0 2 4 1 博士学位论文 现在 我们证明 沪 痧1 由 2 1 2 有 l 知 七 2 一f 七 y w 七 2 o v y c 七 l 七 七t 1 一f 七 y 一 七 1 o v y e 1 其中 c 知 2 y r y u 1 1 h e c 知 1 y r y u 1 o 后l e 由 2 4 1 和引理2 3 2 有 w 七t 2 由上式和 2 2 1 易知 w 庸 2 y 知 1 七 v 再由0 u l 和 2 4 4 可得 所以 由上式和 2 3 2 知 而由 2 1 3 知 从 2 4 6 和 2 4 7 可得 w 知 2 1 一u u 知 o u 知 w 七 2 u u 知 2 1 一u u 知 1 叫w 知 u 知 2 最 s 眦 1 一四 o 一七1 o 则 l 七w 蚶一f 七 0 于s 最 由痧o r 掣 知和最的定义 有 时 1 o 于s 最 由一 o l l 七 同 2 2 7 类似的方法可得 w 1 o 于s 贾 最 所以 由上式与 2 5 3 知 知 l 0 再由当i 七时 2 3 2 o 0 t o 0 u o 0 i 七一1 1 所以 2 5 1 成立 通过递归我们可得 2 5 2 2 5 3 2 5 4 2 5 5 n 0 u n 0 n 0 1 2 2 5 6 由 2 4 9 2 5 0 和 2 5 6 我们知咖n 加分别单调有界 故必存在极限 即存 在形 矿 r 七满足 l i mw 仉 n 由在 2 1 3 中取他 o o 和上式 我们有 即 由 2 1 2 可得 l i m 严 u n 2 5 7 u 1 一u 扩 叫 t i 1 七 2 5 8 l 矿 2 5 9 m a x n 1 一 w 舛1 一扩 1 n 1 一七1 e o 2 6 0 一1 4 博士学位论文 由在 2 6 0 中取n o 和 2 5 7 我们有 m a x l 一一 产一u 件1 一七1 e o 2 6 1 2 6 1 意味着疗 是 2 1 6 唯一解 b 若伊 岛 我们有 m a x 三 u 0 一p 扩 o u 1 0 一忌1 e o l l 七 2 6 2 由 2 6 2 有 设 则 和 l 七u 七 o f 七 o u 七 o u 1 o 一七1 e o 2 6 3 厶 s 三七 七 o f 知 时 o 一珥 o 一七1 o 2 6 4 三知u 詹 o f 七 啦 o 一以 o 一南1 o 于s 厶 2 6 5 选取以 0 使得 啦 o 一以 o h o 于s 厶 砖 o 一以 0 一七1 以 o 于s 厶 2 6 6 定义d d 1 如 t 和 以 七l于s 厶 以 七1 一以 于s 厶 则 d 七l e 由 2 6 5 2 6 6 和d 的定义 我们有 u 七 o u 1 o d 0 和 己七u 七 o f 七 u 奄 o u 1 o d o 所以 由 2 2 3 2 6 7 2 6 8 和 2 6 9 及引理2 3 2 我们有 u 七 o 一1 5 一 2 6 7 2 6 8 2 6 9 一类离散h j b 方程的数值解法 由 2 3 2 有 u 七 o u 七 通过递推和与 a 类似的方法我们有 咖n 咖n 1 驴 扩住 1 n o 1 2 2 7 0 而关于有界性 由 2 1 2 我们有 l n 一 0 i 1 七 n o 1 2 2 7 1 在由 2 1 9 和 2 7 1 易知 即 由 2 1 3 我们可得 一 y l 1 七 n 0 1 2 旷 y 扩 n y i 1 七 n 0 1 2 2 7 2 即 u n y 2 7 3 由 2 7 0 2 7 2 和 2 7 3 则存在咖 痧 r 七使得 u m n n l i m r l u n 同 a 类似的方法 我们可得形 驴 则我们可以得到痧 是 2 1 6 的唯一 解 口 推论2 3 1 如果 i 1 七为m 阵及 沙 由算法r a 产生 a 若护 研n r 七 则 驴 疗n c b 若护 岛 则 形n 沙 c 岛 证明 由 2 1 2 易知 m a x t n 1 一f i n 1 一扩 1 时1 一七1 e o 1 1 七 其中u 詹 1 n 1 u 1 n 贝i j m a x 竹 1 一p 妒 n 1 一u 件1 n 1 一七l e 0 i 1 七一1 2 7 4 一1 6 博士学位论文 m a x l 知w 知 n 1 一f 七 w 七 n 1 一u 1 一一七1 e o 2 7 5 下面首先证明 a 由 2 4 9 我们知 u n 扩 1 i 1 七 再由 2 1 3 和o u 1 我们有 和 u n n 1 l l 后 2 7 6 2 7 7 七 1 一w 1 1 一七1 e 七 仃 1 一 1 n 一七1 e 2 7 8 由上式和 2 7 5 我们可得 m a x 胪 七 n 1 一p 七一 1 一w 1 叶1 一七1 e o 2 7 9 而由 2 1 3 和 2 7 7 易知 扩 1 1 i 1 七 根据假设 i 1 七为m 阵可得 2 8 0 l 扩 n 1 一f l n 1 一一 i 1 七 2 8 1 在 2 7 6 中取i 1 和 2 8 0 取i 七 有 u 南 n 1 一u 1 n 1 一七1 e w 7 七 n 1 一u 1 一一七1 e 2 8 2 所以 由 2 7 4 2 7 9 和 2 8 0 有 m a x t 1 一 1 一 1 n 1 一七1 e o t 1 七 2 8 3 而由 2 7 4 2 8 0 2 8 1 和 2 8 2 得 m a x 扩 1 一一 竹 1 一 1 n 1 一七1 e 0 1 七 2 8 4 2 8 3 和 2 8 4 意味 a 成立 下面来证明 b 由 2 7 0 有 扩 n u n 1 i 1 七 一1 7 一 2 8 5 一类离散h j b 方程的数值解法 根据 2 1 3 和o o 伊 研 u o 1 n o i 七 步2 对于歹 1 m 并行计算下面的子问题 求w 1 j n 1 j 使得 其中 住 1 j p y 一 叶1 j o v y n u n 1 j 1 一u u n j u n 2 9 4 2 9 5 竹 1 j y r k 以 1 1 七l e 如果s k 以t 如果s 虺 步3 u 1 翼鎏 u n 1 j 和w 1 翼现 n 1 j 若i 1 则 1 m l m 直接到步4 否则i l l 转步2 步4 若0 痧n 1 一驴0 则输出疗 1 否则 l n 1 i 忌转步2 注2 4 1 如果在步1 中伊 岛 则在步3 中 1 1 分别用m a x 驴 l j 1 m 和m a x w 伽 1 j 代替 1 m 下面我们给出算法d d m 的收敛性定理 证明方法类似于定理2 3 1 记 渺 1 m n 定理2 4 1 如果 l 1 七为m 阵及 疗n 由算法d d m 产生 a 若伊 sn r 知 则迭代解序列 痧n 单调减少收敛于问题 2 1 6 的解 b 若伊 岛 则迭代解序列 e 一 单调增加收敛于问题 2 1 6 的解 证明 a 如果护 n r 七 我们有 由 2 9 4 可得 懈 l 七u 知 0 一严 u 七 o 一矿1 o 一后1 e o m a x 驴 岛 1 1 一p w 七t 1 1 一u 1 o h e o 于s 1 而另一方面 我们可得 v 噔 1 1 嘭 o 于s 1 一1 9 一 玑 l u l l 七 矿 且 一类离散h j b 方程的数值解法 则同推导 2 2 1 类似的方法我们有 和 1 u 七 v w k l j u 七 v j 1 m 由 2 9 5 和u 七 o m i n u 知 o j 易知 1 m 同样 我们可得 u 七 l 1 u 七 v u 七 1 j u 七t v j 1 m 由 2 9 5 和u 知 l m i n 知 1 j 可得 1 f m 下面我们证明 如果痧o s 我们有 由 2 9 4 可得 其中 u k l u 柚 u 詹一l 1 现在 我们考虑下面的问题 求萨一1 1 伊一l 满足 其中 l 七一1 痧七一1 1 一f 七一 y 一痧七一1 1 0 w d 七一1 一 2 1 0 0 d 七一1 1 y r k 磷 o 七l e 如果s 1 k 畦一1 v 如果s 1 由引理2 3 2 和 2 9 7 易知 七一l 1 1 d 七一l 2 0 一 2 1 0 1 博士学位论文 而 2 1 0 0 等价于下面的问题 m a d c l 七一1 d 知一1 1 一f 七一1 痧七一1 t 1 一u 七 o 一七1 e o 如果s 1 2 1 0 2 同 2 9 7 一样的方法 我们有 由上式和 2 1 0 1 我们有 这样 通过简单的推导可得 通过递归我们有 即 痧七一1 1 u 七一1 v w 七一l l 1 u 知一1 v u 七一l 1 u 七一l v 1 u v u 1 扩 0 后 七一1 1 下面我们证明 由 2 9 4 我们有 谚1s 扩 痧1s 伊 d 2 痧1 三七 知 2 l f 七 y 一 七 2 1 o 如果s 1 v y c 七 z l 胪 k l t l 一p y 一 i 1 1 o 如果s 1 w g 七 1 其中 c 七 2 1 y r k 以 1 七l e 如果s 1 伊 l 1 y r k 叼 o 七l e 如果s 1 通过 2 1 0 3 和引理2 3 2 我们有 时 2 1 w 曹 1 如果s 1 而另一方面 由 2 9 4 我们有 时 2 1 破 1 砖 o 时 1 1 s l 上式和 2 1 0 5 意味着 1 1 一2 1 一 2 1 0 3 2 1 0 4 2 1 0 5 一类离散h j b 方程的数值解法 类似的方法我们可得 知 2 jsw 歹 1 m 由 蛳2 1 要甄 蛳j t l 2 我们有 w 七 2 知 1 再由 2 9 5 和 2 1 0 6 可得 u 七 2 j u 七 歹 1 仇 同得到 2 1 0 7 一样的方法 我们容易得到 u 知 2 u 毛1 类似的我们可以得到w 2s u 2 u i 七一1 七一2 成立 最后 通过递归易知 沙 1 疗n 疗2 d 1 伊 和 w m 1 n 2 1 一 一 类似地 我们可以推得 形n 0 痧n 0 n 0 1 2 和l i m 痧n 痧 是方程 2 1 6 得唯一解 2 1 0 6 2 1 0 7 1 和 2 1 0 4 b 如果伊 岛我们有 m a x 工知u 七 o p u 知 o u 1 o 一忌1 e o 同样我们也有 m a x 胪 1 1 一p 奄 1 1 一u 1 o h e 0 于s 1 参照定理2 3 1 b 的证明我们可得 u 知 o 七 1 一2 2 一 2 1 0 8 2 1 0 9 博士学位论文 类似的我们可得 u k o w k 歹 1 m 同推导 2 9 7 类似的方法用到u 知j2 麟 u 七 j t o 1 可得 u 七 o u 知 后面的证明类似于定理2 3 1 b 的证明 口 2 5数值试验 在这一节 我们给出一些数值算例来说明算法r a 的有效性 且仅给出护 岛n r 掣 七一种情形的数值结果 我们考虑文献 2 的两个例题 先看下面的例 题1 燃胁一 o 1 n q 2 1 1 0 牡 0o n 锄 其中q z 暑 o z 暑 1 拈丢一o 5 磊一嘉 护一 5 品一o 1 磊一导 1 2 m 觚 l 1 t l 2 t 对于 2 1 1 0 我们构造一个有限差分格式如下 昙衍2 吃 寻计2 磊 三一 d 磁v 嫉善赈挈 其中吃 瑶f 分别记为关于z 和y 的向前和向后差分 这样 我们就得到如下 离散的h j b 方程 粤呸 u 一 o 2 1 1 1 l j 2 我们分别取网格参数为 1 1 0 和 l 1 2 0 迭代终止标准e 1 0 一 我们用算 法r a 去解上面的离散问题 初值痧o a 1 一1 f 1 我们取h 0 0 0 1 o 0 1 o 1 和忌1 1 分别进行讨论 然后再分别取当u o 1 中的o 1 o 5 o 8 o 9 1 o 和 u 1 2 中的1 1 1 3 1 5 1 8 1 9 进行比较 一2 3 一类离散h j b 方程的数值解法 首先 我们取詹1 0 0 0 1 表2 1 一表2 5 反映的是h 0 0 0 l 的一些结果 当迭代终止时 残差冗 m a x u n 一印 的无穷范数见表2 1 和表2 2 工 詹 表2 1 七1 o 0 0 1 表2 2 七1 0 0 0 1 从表2 1 和表2 2 我们容易看出 在七1 0 0 0 1 时 当u l 时冗 0 而当 u 1 2 时冗是比较大的 表2 3 反映的是迭代数佗和松弛因子u o l 的关系 表2 4 和表2 5 分别反映的是当j 7 l 1 1 0 和 1 2 0 时痧n 在 z 可 t o 5 o 5 t 的值 而u 在此处的值为0 0 6 2 5 表2 3 h 0 0 0 1 表2 4 o 0 0 1 一2 4 博士学位论文 室兰 坌 三q 塑1 2 u0 10 50 8 0 91 0 表2 4 和2 5 表明算法r a 的单调性 表2 6 一表2 1 0 反映的是七1 0 0 l 的一些结果 当迭代终止时 残差 冗 m a x 沙一印 的无穷范数见表2 6 和表2 7 1 j 0 m 1 求己厂o t 七使得 扩 知 其中j 1 七 步2 设 m 一1 七 u o u 对歹 1 七 求u 钾j 使得 m a x j j p u q j u j 一1 j 一1 o 3 1 步3 若0u m 七 七一u o0 o 仇 o 求矿使得 矿 其中歹 1 七 3 3 步2 对f 1 n 求p r 使得 p 仇 m i n d 1 七 u m 一一 严躜 沪一 1 3 4 步3 求u m 1 满足 a 礤 u m 1 f 簖 3 5 一3 7 一类离散h j b 方程的数值解法 步4 若u m 1 u m 则输出u m 否则m m l 转步2 对于方程 1 5 的求解在最近二十多年来已经提出许多的数值格式 但是