2017-18学年高中数学第四章圆与方程4.2.1直线与圆的位置关系学案含解析【新人教版】.docx

4.2.1直线与圆的位置关系1理解直线与圆的三种位置关系(重点)2会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系(重点)3能解决直线与圆位置关系的综合问题(易错点、难点)基础初探教材整理直线与圆的位置关系的判定阅读教材P126P128“练习”以上部分，完成下列问题直线与圆的位置关系的判定位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离ddrdrdr代数法：由消元得到一元二次方程的判别式000图形直线3x4y50与圆x2y21的位置关系是()A相交B相切C相离D无法判断【解析】圆心(0,0)到直线3x4y50的距离d1，又圆x2y21的半径r1，dr，故直线与圆相切【答案】B 小组合作型直线与圆的位置关系的判定已知直线方程mxym10，圆的方程x2y24x2y10.当m为何值时，直线与圆：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点【精彩点拨】可联立方程组，由方程组解的个数判断，也可求出圆心到直线的距离，通过与半径比较判断【自主解答】法一：将直线mxym10代入圆的方程，化简、整理得，(1m2)x22(m22m2)xm24m40.4m(3m4)，当0，即m0或m时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当0，即m0或m时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当0，即m0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点法二：已知圆的方程可化为(x2)2(y1)24，即圆心为(2,1)，半径r2.圆心(2,1)到直线mxym10的距离d.当d2，即m0或m时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当d2，即m0或m时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当d2，即m0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点直线与圆的位置关系的判断方法1几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断2代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断3直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系再练一题1已知圆C的方程是(x1)2(y1)24，直线l的方程为yxm，求：当m为何值时，(1)直线平分圆；(2)直线与圆相切；(3)直线与圆有两个公共点【解】(1)因为直线平分圆，所以圆心(1,1)在直线yxm上，故有m0.(2)因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，所以d2，m2，即m2时，直线l与圆相切(3)直线与圆有两公共点，dr，即2，所以2m2时有两个公共点直线与圆相切的有关问题过点A(4，3)作圆C：(x3)2(y1)21的切线，求此切线的方程. 【精彩点拨】利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线斜率，进而求出切线方程【自主解答】因为(43)2(31)2171，所以点A在圆外(1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y3k(x4)因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径，半径为1，所以1，即|k4|，所以k28k16k21，解得k.所以切线方程为y3(x4)，即15x8y360.(2)若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x4.综上，所求切线方程为15x8y360或x4.过一点的圆的切线方程的求法1当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程2若点在圆外时，过这点的切线有两条，但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在再练一题2求过点(1，7)且与圆x2y225相切的直线方程【解】由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y7k(x1)，即kxyk70.5，解得k或k.所求切线方程为y7(x1)或y7(x1)，即4x3y250或3x4y250.探究共研型圆的弦长问题探究1已知直线l与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？【提示】将直线方程与圆的方程联立解出交点坐标，再利用|AB|求弦长探究2若直线与圆相交、圆的半径为r、圆心到直线的距离为d，如何求弦长？【提示】通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，如图所示，求得弦长l2.求直线l：3xy60被圆C：x2y22y40截得的弦长【精彩点拨】本题可以考虑利用弦心距，半弦长和半径构成的直角三角形求解若交点坐标易求，则可以联立解方程组，求出交点坐标，利用两点间的距离公式求解【自主解答】法一圆C：x2y22y40可化为x2(y1)25，其圆心坐标为(0,1)，半径r.点(0,1)到直线l的距离为d，l2，所以截得的弦长为.法二设直线l与圆C交于A、B两点由得交点A(1,3)，B(2,0)，所以弦AB的长为|AB|.求弦长常用的三种方法1利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2d22解题2利用交点坐标若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长3利用弦长公式设直线l：ykxb，与圆的两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l|x1x2|.再练一题3直线x2y50被圆x2y22x4y0截得的弦长为()A1B2C4D4【解析】圆的方程可化为C：(x1)2(y2)25，其圆心为C(1,2)，半径r.如图所示，取弦AB的中点P，连接CP，则CPAB，圆心C到直线AB的距离d|CP|1.在RtACP中，|AP|2，故直线被圆截得的弦长|AB|4.【答案】C1直线3x4y120与圆(x1)2(y1)29的位置关系是()A过圆心B相切C相离D相交但不过圆心【解析】圆心(1，1)到直线3x4y120的距离dr.【答案】D2已知直线axbyc0(ab0)与圆x2y21相切，则三边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不存在【解析】由题意知，1，a2b2c2，因此三角形为直角三角形【答案】B3已知圆C的圆心是直线xy10与x轴的交点，且圆C与直线xy30相切，则圆C的方程为_【解析】令y0得x1，所以直线xy10与x轴的交点为(1,0)因为直线xy30与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r，所以圆C的方程为(x1)2y22.【答案】(x1)2y224过点P(1,2)且与圆C：x2y25相切的直线方程是_. 【解析】点P(1,2)是圆x2y25上的点，圆心为C(0,0)，则kPC2，所以k，y2(x1)故所求切线方程是x2y50.【答案】x2y505过点(1，2)的直线l被圆x2y22x2