2011年中考数学“动点问题”压轴经典案例分析.doc

2011年中考数学“动点问题”压轴经典案例分析一、 与三角形有关的动点问题1、例题：(05重庆课改)如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒yxOPQA B(1) 求直线AB的解析式；(2) 当t为何值时，APQ与AOB相似？ (3) 当t为何值时，APQ的面积为个平方单位？解：（）设直线AB的解析式为ykxbyxOPQA B由题意，得 b68kb0 解得 k b6所以，直线AB的解析式为yx6（）由AO6， BO8 得AB10所以APt ，AQ102t yxOPQA B1当APQAOB时，APQAOB所以 解得t(秒)2当AQPAOB时，AQPAOB所以 解得t(秒)（）过点Q作QE垂直AO于点EyxOPQA BE在RtAOB中，SinBAO在RtAEQ中，QEAQSinBAO(10-2t)8t所以，SAPQAPQEt(8t) 4t解得t2（秒）或t3（秒）2、练习：（2006浙江台州）如图(1)，直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边AOB，点C为x正半轴上一动点(OC1)，连结BC，以线段BC为边在第四象限内作等边CBD，直线DA交y轴于点E.xy图(1)（1）OBC与ABD全等吗？判断并证明你的结论;（2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化? 若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由.二、与四边形有关的动点问题1. 例题：（2006晋江）在平行四边形ABCD中，AD=4 cm，A=60，BDAD. 一动点P从A出发，以每秒1 cm的速度沿ABC的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PMAD .(1) 当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求APE的面积；(2) 当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿ABC的路线运动，且在AB上以每秒1 cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2 cm的速度匀速运动. 过Q作直线QN，使QNPM. 设点Q运动的时间为t秒(0t10)，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S cm2 . 求S关于t的函数关系式； (附加题) 求S的最大值。解题思路：第（1）问比较简单，就是一个静态问题当点P运动2秒时，AP=2 cm，由A=60，知AE=1，PE=. SAPE=第（2）问就是一个动态问题了，题目要求面积与运动时间的函数关系式，这就需要我们根据题目，综合分析，分类讨论，P点从ABC一共用了12秒，走了12 cm，Q 点从AB用了8秒，BC用了2秒，所以t的取值范围是 0t10不变量：P、Q 点走过的总路程都是12cm，P点的速度不变，所以AP始终为：t+2若速度有变化，总路程 =变化前的路程+变化后的路程=变化前的速度变化点所用时间+变化后的速度（t变化点所用时间）如当8t10时，点Q所走的路程AQ=18+2（t8）=2t-8 当0t6时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，QF=，AP=t+2，AG=1+，PG=. 此时两平行线截平行四边形ABCD是一个直角梯形，其面积为（PG + QF ）AG2 S=. 当6t8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动. 设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，DF=4-（总量减部分量），QF=，AP=t+2，BP=t-6（总量减部分量），CP=AC- AP=12-（t+2）=10-t（总量减部分量），PG=，而BD=，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为平行四边形的面积减去两个三角形面积S=.当8t10时，点P和点Q都在BC上运动. 设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，则AQ=2t-8，CQ= AC- AQ= 12-（2t-8） =20-2t，（难点）QF=(20-2t)，CP=10-t，PG=. 此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=.（ 2006南安）如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB3，AD5若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿ABCD的路线作匀速运动当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动（1）求P点从A点运动到D点所需的时间；（2）设P点运动时间为t（秒）。当t5时，求出点P的坐标；若OAP的面积为s，试求出s与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t的取值范围）解:（1）P点从A点运动到D点所需的时间（3+5+3）111（秒）（2）当t5时，P点从A点运动到BC上，此时OA=10,AB+BP=5，BP=2 过点P作PEAD于点E，则PE=AB=3,AE=BP=2OD=OA+AE=10+2=12点P的坐标为（12，3）分三种情况：i当0t3时，点P在AB上运动，此时OA=2t,AP=ts=2tt= t ii当3t8时，点P在AB上运动，此时OA=2ts=2t3=3 tiii当8t11时，点P在CD上运动，此时OA=2t,AB+BC+CP= tDP=(AB+BC+CD)-( AB+BC+CP)=11- ts=2t(11- t)=- t+11 t综上所述，s与t之间的函数关系式是：当0t3时，s= t；当3t8时，s=3 t；当8t11时，s=- t+11 t 三、与圆有关的动点问题1.例题：（ 2005南安市）已知：如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，2），以C为圆心，以4为半径的圆与轴相交于点A、B，与轴相交于D、E（1）请求出A、B两点的坐标；（2）若点P是弧ADB上一动点（P点与A、B点不重合），连结BP、AP问当点P移到何处时，APB的面积最大？并求出这时APB的面积；（3）若过动点P的C的切线交轴于点G，是否存在这样的点P，使BPG是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）连结AC，依题意得： OC=2, AC=4 在RtAOC中，根据勾股定理得： OA=2 OB=OA=2 点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（2，0） （2）当点P与点D重合时，APB的面积最大 此时，OD=CD+OC=4+2=6,AB=2OA=4 APB的面积ABOD=46=12 当点P与点D重合时，APB的面积最大为12. （3）存在点P使得BPG是直角三角形 连结BC并延长交C于点P，过点P作PGB P交x轴于点G，则PG是C的切线，此时BPG=90，BPG是直角三角形。 连结AP，BP是C的直径，BAP=90在RtABP中，AB=4, BP=8由勾股定理得：AP4点P的坐标为（2，4） 根据圆的对称性，可知在y轴的左侧存在点P（2，4）使得BPG是直角三角形，此时PBG=90. 如图，过点C作x轴的平行线交C于点P,过点P作PGCP交x轴于点G，则直线PG是C的切线，此时PGB=90，即BPG是直角三角形.点P的坐标为（4，2）。 根据圆的对称性，可知在y轴的左侧存在点P（4，2）使得BPG是直角三角形，此时PGB=90. 综上所述，存在点P使得BPG是直角三角形，符合条件的所有的点P的坐标分别为（2，4），（2，4），（4，2），（4，2） 2. 练习：(2006淄博市)半径为2.5的O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P,已知BC:CA=4:3，点P在AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q.（1） 当点P运动与点C关于AB对称时，求CQ的长；ABPCQOABC备用图O（2）当点P运动到AB的中点时, 求CQ的长；（3）当点P运动到什么位置时，CQ取得最大值，并求出此时CQ的长.(200扬州市) 图1是用钢丝制作的一个几何探究工具，其中ABC内接于G，AB是G的直径，