2019版高考数学第7章不等式4第4讲基本不等式教案理.docx

第4讲基本不等式1基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号(2)ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号(3)(a，bR)，当且仅当ab时取等号(4)2(a，b同号)，当且仅当ab时取等号3利用基本不等式求最值已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值s，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大) 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yx的最小值是2.()(2)ab成立的条件是ab0.()(3)“x0且y0”是“2”的充要条件()(4)若a0，则a3的最小值是2.()答案：(1)(2)(3)(4) (教材习题改编)设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A80B77C81D82解析：选C.xy81，当且仅当xy9时等号成立，故选C. 若x0，则x()A有最小值，且最小值为2B有最大值，且最大值为2C有最小值，且最小值为2D有最大值，且最大值为2解析：选D.因为x0，x22，当且仅当x1时，等号成立，所以x2. 若x1，则x的最小值为_解析：xx11415.当且仅当x1，即x3时等号成立答案：5 (教材习题改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_解析：设矩形的长为x m，宽为y m，则xy10，所以Sxy25，当且仅当xy5时取等号答案：25 m2利用基本不等式求最值(高频考点) 利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下三个命题角度：(1)求不含等式条件的函数最值；(2)求含有等式条件的函数最值；(3)已知不等式恒成立求参数范围 典例引领角度一求不含等式条件的函数最值 (1)函数f(x)(x0)的最大值为_(2)已知x0，则f(x)，当且仅当x时等号成立(2)因为x0，则f(x)4x23231.当且仅当54x，即x1时，等号成立故f(x)4x2的最大值为1.【答案】(1)(2)1角度二求含有等式条件的函数最值 (1)(2017高考山东卷)若直线1(a0，b0)过点(1，2)，则2ab的最小值为_(2)已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值为_【解析】(1)由题设可得1，因为a0，b0，所以2ab(2ab)22428.故2ab的最小值为8.(2)因为x0，y0，所以8x2yx2y(x2y)，令x2yt，则8t，即t24t320，解得t4或t8，即x2y4或x2y8(舍去)，当且仅当x2y，即x2，y1时等号成立【答案】(1)8(2)4角度三已知不等式恒成立求参数范围 已知不等式(xy)9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为_【解析】(xy)1a1a2(1)2(x，y，a0)，当且仅当yx时取等号，所以(xy)的最小值为(1)2，于是(1)29恒成立所以a4.【答案】4利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”但应注意以下两点：具备条件正数；验证等号成立(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解 通关练习1(2018石家庄市教学质量检测(一)已知直线l：axbyab0(a0，b0)经过点(2，3)，则ab的最小值为_解析：因为直线l经过点(2，3)，所以2a3bab0，则1，所以ab(ab)552.当且仅当，即a3，b2时等号成立答案：522(2017高考天津卷)若a，bR，ab0，则的最小值为_解析：因为ab0，所以4ab24，当且仅当时取等号，故的最小值是4.答案：43当xR时，32x(k1)3x20恒成立，则k的取值范围是_解析：由32x(k1)3x20，解得k10恒成立，所以当xR时，k1，即k12，即k5)即可，此时mx2，当且仅当x，即x10时，取“”故销售量至少应达到万件，才能使技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点 对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab， (a0，b0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件 对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数yx(m0)的单调性 易错防范(1)使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可(2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致 1若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()Aa2b22abBab2C.D.2解析：选D.因为a2b22ab(ab)20，所以A错误对于B，C，当a0，b0，所以2 2.2(2018安徽省六校联考)若正实数x，y满足xy2，且M恒成立，则M的最大值为()A1B2C3D4解析：选A.因为正实数x，y满足xy2，所以xy1，所以1；又M恒成立，所以M1，即M的最大值为1.3一段长为L的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，则菜园的最大面积为()A.B.C.DL2解析：选A.设菜园的长为x，宽为y，则x2yL，面积Sxy，因为x2y2.所以xy.当且仅当x2y，即x，y时，Smax，故选A.4(2018广东广雅中学、江西南昌二中联考)已知x0，y0，lg 2xlg 8ylg 2，则的最小值是()A2B2C4D2解析：选C.因为lg 2xlg 8ylg 2，所以lg(2x8y)lg 2，所以2x3y2，所以x3y1.因为x0，y0，所以(x3y)2224，当且仅当x3y时取等号所以的最小值为4.故选C.5不等式x2x对任意a，b(0，)恒成立，则实数x的取值范围是()A(2，0)B(，2)(1，)C(2，1)D(，4)(2，)解析：选C.根据题意，由于不等式x2x对任意a，b(0，)恒成立，则x2x，因为2 2，当且仅当ab时等号成立，所以x2x2，求解此一元二次不等式可知2x1)的最小值为_解析：因为yx1x12，x1，所以y220，当且仅当x0时，等号成立答案：07(2017高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是_解析：一年购买次，则总运费与总存储费用之和为64x48240，当且仅当x30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.答案：308已知不等式2xm0对一切x(1，)恒成立，则实数m的取值范围是_解析：不等式2xm0可化为2(x1)m2，因为x1，所以2(x1)28，当且仅当x3时取等号因为不等式2xm0对一切x(1，)恒成立，所以m210.答案：(10，)9(1)已知0x，求x(43x)的最大值；(2)点(x，y)在直线x2y3上移动，求2x4y的最小值解：(1)已知0x，所以03x0，所以a10，所以22，当且仅当和1同时成立，即ab3时等号成立，所以的最小值为2，故选A.2已知x0，y0，2xy1，若4x2y2m0恒成立，则m的取值范围是()A(1，0)B.C.D.解析：选B.4x2y2m4x2y2恒成立因为x0，y0，2xy1，所以12xy2，所以0，选B.3若a2abb21，a，b是实数，则ab的最大值是_解析：由a2abb21，可得(ab)213ab13，则(ab)21，2ab2，所以ab的最大值是2.答案：24若对x，y1，2，xy2，总有不等式2x成立，则实数a的取值范围是_解析：由题意知a(2x)(4y)恒成立，则只需a(2x)(4y)min，(2x)(4y)84x2yxy8(4x2y)210(4x2y)10.令f(x)10，x1，2，则f(x)，f(x)0，故f(x)在x1，2是减函数，所以当x2时f(x)取最小值0，即(2x)(4y)的最小值为0，所以a0.答案：a05已知x0，y0，且2x8yxy0，求(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解：(1)由2x8yxy0，得1，又x0，y0，则12 .得xy64，当且仅当x16，y4时，等号成立所以xy的最小值为64.(2)由2x8yxy0，得1，则xy(xy)10102 18.当且仅当x12且y6时等号成立，所以xy的最小值为18.6.如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120，AB，AC的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆(1)若围墙AP，AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？(2)已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元若围围墙用了20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？解：设APx米，AQy米(1)则xy200，APQ的面积Sxysin 120xy.所以S2 500.当且仅当