结构力学复习题 2.pdf

第十二章第十二章 矩阵位移法矩阵位移法 例 12 1 图a所示 连 续 梁 EI 常数 只 考 虑 杆 件 的 弯 曲 变 形 分别用位移法和 矩阵位移法计算 图 12 1 解 1 位移法解 基本未知量和基本结构的确定 用位移法解的基本结构如图 c 所示 这里我们将结点 1 处的转角也作为基本未知数 这 样本题仅一种基本单元 即两端固定梁 位移法基本方程的建立 0 0 0 3333232131 2323222121 1313212111 P P P RKKK RKKK RKKK 将上式写成矩阵形式 0 0 0 3 2 1 3 2 1 333231 232221 131211 P P P R R R KKK KKK KKK 系数项和自由项计算 须绘出单位弯矩图和荷载弯矩图 由图 d 结点力矩平衡条件 0M 得 lEIK4 11 lEIK2 21 0 31 K 由图 e 结点力矩平衡条件 0M 得 lEIK2 12 lEIlEIlEIK844 22 lEIK2 32 由图 f 结点力矩平衡条件 0M 得 0 13 K lEIK2 23 lEIlEIlEIK844 33 由图 g 结点力矩平衡条件 0M 得 8 1 PlR p 8 2 PlR P 0 3 P R 将系数项和自由项代入位移法基本方程 得 0 0 0 0 1 1 8 820 282 024 3 2 1 Pl l EI 解方程 得 1 4 11 416 2 3 2 1 EI Pl 由叠加法绘弯矩图 如图 h 所示 2 矩阵位移法解 对单元和结点编号 图 a 本题只考虑弯曲变形的影响 故连续梁每个结点只有一个角位移未知数 若用后处理法 原始结构刚度阵为44 阶 用先处理法结构刚度阵为33 阶 已知角位移0 4 下面 采用先处理法来说明矩阵位移法计算过程 单元标准形式为 图 b e e e e k k k k 42 24 e jj e ji e ij e ii e kk kk l EI l EI l EI l EI 求局部坐标系下的单元刚度矩阵 e e e e k k k k 求整体坐标下的单元刚度矩阵T T T Tk k k kT T T Tk k k k e e e eT T T Te e e e 因连续梁的局部坐标和整体坐标是一 致的 所以有 e e e ee e e e k k k kk k k k 得 注 本题用先处理法换码 1 k k k k 2 1 42 24 1 l EI 2 k k k k 3 2 42 24 2 l EI 3 k k k k 0 3 42 24 3 l EI 按 对号入座 规则集成总刚 得 K K K K 3 2 1 820 282 024 l EI 形成荷载列阵P P P P 1 计算单元固端列阵 1 F F F F F F F F 2 1 81 81 Pl 2 F F F F F F F F 3 2 41 41 Pl 3 F F F F F F F F 0 3 41 41 Pl 2 将单元固端列阵反号 并按 对号入座 规则送入荷载列阵P P P P 本题结点荷载为 零 P P P P E E E ED D D D P P P PP P P P 3 2 1 0 81 81 4141 4181 81 0 0 0 PlPl 将结构刚度矩阵及荷载列阵代入矩阵位移法方程P P P PK K K K 得 0 81 81 820 282 024 3 2 1 Pl l EI 解方程 得 1 4 11 416 2 3 2 1 EI Pl 计算杆端弯矩 e e e ee e e ee e e e F F F F e e e ee e e ee e e e F F F F e e e ee e e ee e e e F F F F e e e e T T T Tk k k kF F F Fk k k kF F F Fk k k kF F F FF F F F 1 F F F F 45 0 20838 52 41652 52 4164 11 41642 24 81 81 2 PlPlPl EI Pl l EI Pl 2 F F F F 54 45 2084 14 416104 104 4161 4 41642 24 41 41 2 PlPlPl EI Pl l EI Pl 3 F F F F 51 54 2082 4 416104 104 4160 1 41642 24 41 41 2 PlPlPl EI Pl l EI Pl 得各单元杆端弯矩后 再叠加上一相应简支弯矩图即得各单元弯矩图 将各单元弯矩图 组合在一起 得整个结构的弯矩图 图 h 小结 通过本题的计算可看到 1 基本未知量和基本结构基本未知量和基本结构 位移法与矩阵位移法二者都是以结点位移为基本未知量 以单根杆件 单元 为计算对象 位移法为方便计算 有三类杆件 而矩阵位移法只有一类 杆件 即两端固定等截面梁 2 刚度矩阵与荷载列阵的形成刚度矩阵与荷载列阵的形成 位移法是用单位弯矩图和荷载弯矩图并由结点的平衡 条件计算系数项和自由项的 而后形成刚度矩阵与荷载列阵的 而矩阵位移法是以单元杆端 刚度元素 单元杆端荷载元素 按 对号入座 规则形成刚度矩阵与荷载列阵的 矩阵位移法基本方程的建立 归结为两个问题 一是根据结构的几何和弹性性质建立整 体刚度矩阵K K K K 二是根据受载情况形成整体荷载列阵P P P P 3 有 1 2 可知 二者的关系是 原理同源 作法有别 因此矩阵位移法不是 一个新方法 它是新的计算工具 电子计算机 与传统力学原理 位移法 相结合的产物 例 12 2 试求图 a 所示结构原始刚度矩阵中的子块 22 K K K K 已知单元 的整体坐标 的单元刚度矩阵如图 c 所示 图 12 2 解 本题每个结点有两个基本位知量 竖向线位移和角位移 如图 b 所示 单元刚度 矩阵为44 阶 图 c 由图 d 所示子块形式 22 K K K K的元素应为单元 的 j 端元素 图 c 右 下角子块 与单元 i 端元素 图 c 左上角子块乘以 2 之和 即 2 22 1 22 2 1 22 K K K KK K K KK K K KK K K KK K K K ii ii ii iijj jj jj jj 600003600 3600216 400007200 7200144 200003600 360072 例 12 3 只计弯曲变形时 用先处理法写出结构刚度矩阵K K K K 设EI 1 图 12 3 解 由图 d 及先处理法结点位移编号图 c 写出各单元刚度矩阵 并按 对号入座 规则集 成整体刚度矩阵 1 k k k k 2 1 0 0 45 125 1 5 175 0 5 175 0 25 145 1 5 175 0 5 175 0 2 k k k k 3 0 2 1 0 25 10 15 1 5 15 15 15 1 0 15 10 25 1 5 15 15 15 1 3 k k k k 4 0 3 0 667 2 333 1 333 1 333 1 333 1 889 0 333 1889 0 333 1 333 1 667 2 333 1 333 1 889 0333 1 889 0 K K K K 4 3 2 1 667 2 333 1 00 333 1 667 4 15 1 0160 05 1025 2 例 12 4 用先处理法写出图 a 所示结构刚度矩阵K K K K E 常数 不计轴向变形影响 图 12 4 解 本题虽然是刚架 但不计轴向变形影响 即每一个结点只有一个角位移未知量 根 据图 b 所示结点位移编号 则整体刚度矩阵为33 阶 由于每个单元杆端只有角位移未知 量 故单元刚度矩阵为22 阶的连续梁单刚形式 1 k k k k 2 1 42 24 l EI 2 k k k k 2 0 84 48 l EI 3 k k k k 3 2 84 48 l EI K K K K 3 2 1 840 4202 024 例 12 5 图示连续梁 不计轴向变形 EI 常数 已知结点位移 T 43 812 EI ql EI ql 试求单元 的杆端力列阵 图 12 5 解 根据图 a 的约束条件和图 b 的结点位移编号 已知给出的结点位移是 3 2 2 1 v v v v 有0 3211 vv EIql12 3 2 EIqlv8 4 3 单元 的杆端力列阵 为 2 F F F F 2 2 4 3 23 2 2323 12 7 12 5 0 8 12 0 4 6 12 2 6 4 6 12 6 21 ql ql ql ql EI ql EI ql l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI 称 对 例 12 6 用矩阵位移法求图 a 所示桁架各杆内力 单元 的截面面积为 A 单元 的截面面积为 2A 各杆 E 相同 图 12 6 解 桁架每个结点两个线位移未知量 图 b 局部坐标系下的单元刚度矩阵为44 阶 即 e e e e k k k k 0000 0101 0000 011 l EA T T T T cossin00 sincos00 00cossin 00sincos 整体坐标系下的单元刚度矩阵为 T T T Tk k k kT T T Tk k k k e e e eT T T Te e e e 由图 b 可知 单元 0 30 23sin 21cos 单元 0 45 22sin 22cos 单元 0 90 1sin 0cos 1 k k k k 2 1 0 0 1313 3333 1313 3333 8 l EA 2 k k k k 2 1 0 0 22222222 22222222 222212 22222222 8 l EA 3 k k k k 2 1 0 0 160160 0000 160160 0000 8 l EA 整体刚度矩阵及荷载列阵 K K K K 47855 2 57006 0 57006 0 72855 0 l EA P P P P 0 P 矩阵位移法方程 47855 2 57006 0 57006 0 72855 0 l EA 1 1 v u 0 P 解方程 得 38497 0 67381 1 1 1 EA Pl v u 计算各杆轴力 1 F F F F 1 1 TkTkTkTk 232100 212300 002321 002123 1 k k k k 38497 0 67381 1 0 0 EA Pl 0 6285 0 0 6285 0 P 拉 2 F F F F 2 2 TkTkTkTk 222200 222200 002222 002222 2 k k k k 38497 0 67381 1 0 0 EA Pl 0 6442 0 0 6442 0 P 拉 3 F F F F 3 3 TkTkTkTk 0100 1000 0001 0010 3 k k k k 38497 0 67381 1 0 0 EA Pl 0 7699 0 0 7699 0 P 压 例12 7 已知图示桁架的自由结点位移列阵 求杆12在局部坐标系中的杆端 力 设 2 kN cm3000 E 杆12的横截面积 2 cm18 A m10 834 341 803 613 6 图 12 7 解 0 16 53 8 0sin 6 0cos cmkN cm cmcmkN l EA 90 600 183000 22 e e e ee e e ee e e e T T T Tk k k kF F F F kN 0 32 85 0 32 85 10 0 0 834 341 803 613 6 08 000 8 06 000 006 08 0 008 06 0 0000 090090 0000 090090 4 例12 8 用位移法和矩阵位移法计算图 a 所示结构 各杆材料及截面均相同 28 100 2mkNE 45 1032mI 22 101mA 要求 1 不考虑轴向变形影响的位移法解 2 考虑轴向变形影响的位移法解 3 用矩阵位移法 采用先处理法 解 图 12 8 解 1 不考虑轴向变形影响的位移法求解 不考虑轴向变形影响下 仅有结点 1 处的角位移未知量 1 Z 位移法的基本方程为 0 1111 P RZK 系数和自由项由图 b c 得 mkNlEIK 1280008 11 mkNqlR P 34012 2 1 将系数和自由项由代入位移法的基本方程 并解得 4 1 10042 1 Z弧度 由叠加法作弯矩图 即 11Z MMM P 整个结构的弯矩图如图 d 所示 2 考虑轴向变形影响的位移法求解 基本结构如图 e 所示 位移法的基本方程为 0 0 0 3333232131 2323222121 1313212111 P P P RZKZKZK RZKZKZK RZKZKZK 系数和自由项计算 由图 f mkNlEAlEIK 5543 11 1012 5 10 5 102 112 0 21 K kNlEIK 42 31 104 26 由图 g mkNlEAlEIKK 53 1122 1012 5 12 kNlEIK 42 32 104 26 由图 h mkNlEIK 1280008 33 由图 c 0 1 P R kNqlR P 202 2 mkNqlR P 34012 2 3 将系数和自由项由代入位移法的基本方程 并解得 mZ 6 1 10621 4 mZ 5 2 10444 3 5 3 10858 9 Z弧度 考虑轴向变形影响的结构弯矩图如图 i 所示 剪力图和轴力图未画出 3 用矩阵位移法 采用先处理法 解 用矩阵位移法求解时 单元和结点编号如图 j 所示 采用先处理法时其整体刚度矩阵为 33 阶 两单元对应的整体编码如下图所示 按 对号入座 规则集成结构刚度矩阵 K K K K l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EI l EI l EA l EI 4466 612 0 6 0 12 22 2 2 注 1 单元 局部坐标与整体坐标一致 所以有 1 1 k k k kk k k k 2 单元 局部坐标与整体坐标的夹角 0 90 须进行坐标变换 即 T T T Tk k k kT T T Tk k k k e e e eT T T Te e e e T T T Tk k k kT T T T e e e eT T T T 运算的结果是将 1 k k k k中相关元素作行列交换 另外当局部坐 标与整体坐标的夹角 0 90 时 我们也可直接在整体坐标系下进行对换 如图 k 所示 按 先x后y再转角的次序 则可直接在局部坐标的单元上标注相应的整体编码 本题就是采用 这一方法 注意到坐标进行了yx 轴交换 sin变号 故副系数须反号 见本题中单元 中送入结构刚度矩阵的元宵 13 K和 31 K 荷载列阵的集成 方法一是按 n n n n i i i i i i i i F F F FE E E E F F F FP P P P 1 及 e e e e F F F F T T T Te e e e F F F F F F F FT T T TF F F F 进行 另一作法是 由 R R R RP P P P 于是有 P P P P 3 2 1 340 20 0 将结构刚度矩阵K K K K和荷载列阵P P P P基本方程 得与前位移法解得的相同结果 即 v u 5 5 6 10858 9 10444 3 10621 4 同样得结构弯矩图如图 i 所示 剪力图和轴力图未画出 例12 9 试 求 用 矩 阵 位 移 法 求解 图a所 示 结 构 时 结 点2的 综 合 结 点 荷 载 列 阵 2 P P P P 解 刚架每个结点有三个基本未知量 vu 同时也有三个方向结点荷载项 图 12 9 1 结点 2 的直接结点荷载 D D D D P P P P2 3 2 1 8 0 0 2 ql 2 结点 2 的等效结点荷载涉及到单元 及 的 2 端的固端力 见图 c d e 按式 n n n n i i i i i i i i F F F FE E E E F F F FP P P P 1 e e e e F F F F T T T Te e e e F F F F F F F FT T T TF F F F 应首先应计算局部坐标系下的固端反力 e e e e F F F F F F F F 而后 进行坐标变换得整体坐标系下单元固端反力 e e e e F F F F F F F F 再 按对号如座 规则反其符号集成 这里我们直接根据图 c d e 求出整体坐标系下的单元固端反力 e e e e F F F F F F F F 由图 b 及 d e c 得 1 F F F F F F F F 3 2 1 0 0 0 12 0 2 12 0 2 2 2 ql ql ql ql 2 F F F F F F F F 9 8 7 3 2 1 8 2 0 8 2 0 2 2 ql ql ql ql 3 F F F F F F F F 6 5 4 3 2 1 12 0 2 12 0 2 2 2 ql ql ql ql E E E E P P P P2 3 2 1 8 2 12 0 2 8 2 0 12 0 2 2 3 2 2 2 1 2 ql ql ql ql ql ql ql ql ql 结 点2的 综 合 结 点 荷 载 列阵为 E E E ED D D D P P P PP P P PP P P P 222 3 2 1 0 2 8 2 8 0 0 22 ql ql ql ql ql ql 例 12 10 试 用 先 处 理 法 写 出 图a所 示 结 构 刚 度 矩 阵K K K K 各 杆 杆 长 均 为l EI 常 数 自 由 结 点 位 移 分 量 的 编 号 如 图 示 图 12 10 解 单元 与整体坐标一致 而单元 按图 b 所示整体坐标系下来进行换码 注 意到坐标进行了yx 轴交换 sin变号 故副系数须反号 而后按下图 对号入座 规 则集成总刚 K K K K 3 2 1 1 2 1 2 3 2 1 3 3 3 2 3 1 4446 0 612 0 00 1212 l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA l EI l EI l EI l EA 例 12 11 用 先 处 理 法 求 图a所 示 刚 架 的 结 构 刚 度 矩 阵K K K K 略去轴向 变 形 影响 图 12 11 解 由图 b 的位移编号可知 横梁各结点仅有一个x向的水平位移 其变形如图 c 的所 示 这就是 手算 按 对号入座 规则集成总刚 这就是 机算 K K K K 3 2 1 k k k kk k k kk k k k 3333 36121212 l EI l EI l EI l EI 用经典位移法解时 其系数 3 11 36 l EI K 例 12 12 按先处理法计算图 a 所示结构的刚度矩阵K K K K 各杆长度为l EA EI 均 为相同 图 12 12 解 单元 结点及位移编号入图 b 所示 作为理解画出了结点位移的变形图 如图 c d 及 e 所示 这就是 手算 按下图 对号入座 规则集成总刚 这就是 机算 K K K K l EI l EI l EI l EA l EA l EI l EI l EA l EA 4 400 0 1212 0 00 1212 2 3 1 3 4 3 4 3 3 3 2 1 例 12 13 图示刚架只考虑弯曲变形 按先处理法求在荷载和支座位移共同作 用 下的结点荷载列阵P 已知各杆 22 mkN102 EI 图 12 13 解 图 b 为结点 单元编号 单元 固端反力如图 c 所示 是由支座位移产生的 D D D D P P P P 0 0 0 5kN E E E E P P P P 0 2 0 5 1 mkN kN P P P P D D D D P P P P E E E E P P P P 0 2 0 5 6 mkN kN 例 12 14 图 示 刚 架 各 杆 2 mkN64 EI 结点6有支 座 的 水 平 位 移m01 0 5 竖 向 位 移m01 0 6 忽 略 轴 向 变 形 已 求 得 结 点 位 移为 T 14 0 000547 0 001719 0 000547 005208 0 求 单 元 的 杆 端 内 力 图 12 14 解 本题有两各特点 1 不计轴向变形影响 单元刚度为44 阶 如图 b 所示 不需坐标变换 2 结点 6 的支座移动只有 5 对单元 有影响 将它作为单 元 杆端位移值 则有 3 T T jjii vv000547 0 005208 0 001 0 所以 3 3 3 k k k kF F F F CF CF FC FC M Q M Q 1500 0 0706 0 1325 0 0706 0 000547 0 005208 0 0 01 0 64 24 32 24 24 12 24 12 3