高等应用数学新答案.pdf

P 34 2 研究一下 出现下列情况时 分析过程有何更改 a 如果与是的函数 b 如果与是的函数 c 如果 和都是的函数 补充讨论 提示 提示 当系统处于均匀态的时候 所有相关的物理量都将有其各自确定的值 我们的目 的是研究系统因为一个小的扰动而偏离均匀态的时候 它能否在经过一段时间以 后回到这个均匀态 如果能 我们就称之为稳定的 反之为不稳定的 我们把这 一分析过程称之为稳定性分析过程 它的基本思路是 首先确定系统的均匀态 或 者称为平衡解 然后就每一个状态分析其稳定性 即引入小扰动 写出关于扰 动的物理方程 并化简保留线性项 进而求解线性微分方程 组 如果关于扰动 部分的解不随时间的增长而趋于零 说明该均匀态是不稳定的 参考答案 参考答案 控制方程 均匀态 小扰动 a 自行写出分析过程 参考结果如下 自行写出分析过程 参考结果如下 线性常系数偏微分方程组 稳定性条件 b 自行写出分析过程 参考结果如下 自行写出分析过程 参考结果如下 线性常系数偏微分方程组 稳定性条件 c 参考分析过程 参考分析过程 i 将 和作 Taylor 展开 忽略二阶 包括二阶以上 小量 ii 代入控制方程整理 忽略二阶 包括二阶以上 小量 其中 iii 稳定性分析 猜测有如下的形式解 代入 ii 的方程中可得 有非平庸解的条件是系数行列式为零 稳定性的充分条件 为什么 上式两根均为负 见书上的分析 稳定性条件 注 这里根据物理条件已经假定 当然也可以放弃这一假设 进行更详细的讨论 注意 1 和的书写 如这里也可以写作 2 是一阶小量 不是二阶小量 3 4 定义为 且假设是正小量 忽略的高次项 找到二次方 程较大根的近似值 推出增长得最快的扰动的波长的近似值 提示 提示 部分符号已作修改 做作业时要把下面省略的详细步骤补充完整部分符号已作修改 做作业时要把下面省略的详细步骤补充完整 i 二次方程 ii 定义 iii 失稳条件 因为是小量 所以也是小量 进而可知也是小量 iv 二次方程较大根的近似值 v 增长得最快 说明扰动最大 极大值条件 小技巧 舍去负值 vi 波长近似值 因为 所以波长近似值 注意 1 正确理解题目的意思 2 掌握在时的 Taylor 展开 the Taylor expansion P 51 6 在 9 式得方程中消去 以便得到关于径向运动的一个微分方程 把它积分以便推得径 向运动的开普勒表示式 此处 a 是椭圆的长半轴 e 是偏心率 n 是轨道的频率 T 是经过近日点的时间 the time of perihelion passage 而 E 称为偏近点角 the eccentric anomaly 是一个参数 每走一圈 它 的取值范围为 位置角 度即为所谓的真近 点角 the true anomaly 量值 随时间而线性变化 称为平近点角 the mean anomaly 在推导中 应先得到下列形式的能量方程 为此 请注意在近日点和远日点 即分别离太阳最近和最远的位置 处的径向速度为零 本题重点复习和掌握简单微积分和微分方程的解法 简要了解一下天文学名词 提示 提示 从轨道运动方程推导能量方程 参考答案 轨道方程 由第二个式子 有 代入第一个式子 有 上式两边同乘以 整理得 积分上式得 在远日点和近日点处的径向速度为零 即 因此 注意 C1 是否写对了 可能差一个符号 能量方程 令 有 即 令 则有 因此 当时 则 所以 偏近点角和真近点角的关系 补充题 补充题 用简单函数 如幂级数 指数函数 对数函数 来表示当时函数的量阶 本题要求给出具体分析过程 本题要求给出具体分析过程 a b c d e f g 提示 提示 两个函数之间的关系 参考分析过程举例如下 方法一 可作方法一 可作 Taylor展开展开 the Taylor expansion 的情况 的情况 求量阶只需要展出第一项即可 这里多展了几项 只作参考 a 因为 则 b 同 a 有 c d g 方法二 不可能只作方法二 不可能只作 Taylor展开的情况 展开的情况 e 逐渐忽略小量 f 这里只讨论的情况 方法三 猜测比较法 如 方法三 猜测比较法 如 c 猜测量阶为 比较时使用 L Hospital法则 the L Hospital s rule 为使 只有取 g 猜测 量阶为 比较时使用 L Hospital法则 the L Hospital s rule 为使 只有取 详细解题示例 详细解题示例 a 方法一 方法一 直接进行 Taylor 展开 the Taylor expansion 因为 所以 方法二方法二 因为 所以 则 方法三方法三 猜测量阶为 比较时使用 L Hospital法则 the L Hospital s rule 为使 只有取 注意 1 称为的双曲正弦函数 也可以写作 称为的双曲余弦函数 也可以写作 称为的反双曲正弦函数 也可以写作 称为的反双曲余弦函数 也可以写作 有同学将理解为 都是不对的 参考 2 幂级数不足于构成完备的标准函数集标准函数集 需要补充对数函数 指数函数 以及 P 64 10 水星轨道方程 式中 是一小参数 题目提示的方法 题目提示的方法 解 解 题目中部分符号有意更改 做作业要求按原题的符号推导 题目中部分符号有意更改 做作业要求按原题的符号推导 设方程有形式解 一阶导数 二阶导数 平方项 补充推导过程 方程左边 方程右边 由的任意性 则 一级近似 补充推导过程 因此 所以 两个相继的近日点之间的角度为 注 平方项中涉及了三角函数的积化和差 请自行复习 我们也可以有下面更加一般化的我们也可以有下面更加一般化的写法 写法 设方程有形式解 一阶导数 二阶导数 平方项 方程左边 方程右边 庞加莱方法 Poincare s method 水星轨道方程 式中 是一小参数 解 解 题目中部分符号有意更改 做作业要求按原题的符号 题目中部分符号有意更改 做作业要求按原题的符号 假设 则 即原方程左边 原方程右边 当时 因为当 近日点 即时 则 而当很小时 方程右边除了零阶的项以外 最大的项为 它是 因此方程的左边除了零阶的项以外 最大的项的量阶必须为 我们可以分别讨论和两种情况 易见这两种情况均不合理 前者不可能找到一个常数使得成 立 后者不能消除久期项的影响 因此必须有 此时 为消除久期项 自行复习高等数学内容 关于的系数必须为零 则 结合定解条件 我们可以定出 即有 两个相继的近日点之间的角度为 为得到更高阶的解 我们可以继续假设如下形式 具体的讨论略去 因为方法完全类似于上述的讨论 极烦的方法 水星轨道方程 式中 是一小参数 这是来自一本很老的纸版参考答案的题解 里面有诸多笔误 但还是不断被传抄 因此我们将其主要的错误修改后贴在这里 仅供参考 实际上 这个解题过程相当繁琐 原因是它一开始就将一级近似代入方程推导 我们前面提供的方法有效地避免了这一复杂性 希望引起大家的重视 先简要提炼一下这份参考答案的解题过程 先简要提炼一下这份参考答案的解题过程 最烦的方法 吃力不讨好 解的形式 一级近似 Taylor 展开 则 方程左边 太复杂略去 方程右边 太复杂略去 相应项相等 所以 两个相继的近日点之间的角度为 详细图片见网上答案 P 90 4 a 阶的第一类贝塞耳函数 Bessel function of the First Kind 的定义如下 证明 形式地 这个级数给出了贝塞耳方程 Bessel differential equation 的解 b 如果是整数 试证 c 证明 它可充当带有整数下标的贝塞耳函数 Bessel differential equation 的母函数 d 证明 e 证明 提示 提示 本题要求验证即可 有推导兴趣的参见 数学物理方程 科大版 p 84 a 推导过程如下 因此 式中 为 The complete gamma function b 推导过程如下 c 推导过程如下 d 令 代入 c 利用 Euler 公式 The Euler formula 得 两边同乘以 并在上对积分 交换积分和求和的顺序有 式中 是 the Kronecker delta 因此 e 令 代入 d 得 实际上就是周期函数的性质 P 102 7 求下列积分当时的渐近展开式 a 补余误差函数 b Fresnel 积分 参考答案 参考答案中有些符号和书上原题有可能不同 做作业请按原题 参考答案中有些符号和书上原题有可能不同 做作业请按原题 提示 提示 分部积分法 integration by parts 注意渐近展开 asymptotic expansion 的表示 p 94 a The complementary error function 或者 或者 或者 b Fresnel integrals 可直接推导 也可利用上述结果 具体推导过程略去 做作业需要完全写出 因此 或者写作 P 112 8 考虑在均匀力场中沿轴的随机走动 在时间内 粒子以概率分别向左和向右移动距离 其中为常数 写出粒子在时刻位于离原点距离处的概率的一个差分方程 求时的极限微分方程 参考答案 参考答案中有些符号和书上原题有可能不同 做作业请按原题 参考答案中有些符号和书上原题有可能不同 做作业请按原题 提示 提示 题目中的左和右的对应性不是很明确 自己选择一种对应关系 给出结论即可 题目中的左和右的对应性不是很明确 自己选择一种对应关系 给出结论即可 若差分方程和初始条件 结论为 若差分方程和初始条件 结论为 下面以一种为例来推导 差分方程和初始条件 使用 Taylor 展开 有 方程左边 方程右边 可见 因此 则定义 和 有极限微分方程 P 148 10 试作一形式为的变量代换 把微分方程 均为常数 转化成标准形式 提示 提示 参考答案 参考答案中有些符号和书上原题有可能不同 做作业请按原题 参考答案中有些符号和书上原题有可能不同 做作业请按原题 变量代换 则有 代入 有 整理得 与标准形式比较 得 由上式 第二个式子 有 代入 有 即 解得 因此 取函数 作变量代换 有标准形式 P 170 9 a 试证 b 按照普朗克定律 温度时的辐射密度为 试证 温度时 在空腔内的总辐射密度为 参考答案 参考答案中有些符号和书上原题有可能不同 做作业请按原题 参考答案中有些符号和书上原题有可能不同 做作业请按原题 a 由 Taylor 展开有 或者 因此 那么 其中 Integral by parts 要求写出详细推导过程 考虑函数的 Fourier 展开 式中 即 由 Parseval定理 因此 则有 P 168Eqn 45 习题 P 169Ex 8c 得证 因为 所以 P 169Eqn 47 得证 因此 b 空腔内的总辐射密度 令 则有 Stefan s law Ex12 非齐次边界问题 a 齐次边界问题 试证 和正交 b 假定 讨论 当有什么性质时 非齐次边界问题存在什么样的解 c 问 b 的结论和 a 的结论是否相容 参考答案 参考答案中有些符号和书上原题不同 做作业请按原题完成 参考答案 参考答案中有些符号和书上原题不同 做作业请按原题完成 a 要证明在区间上的正交性 就是要证明 写法一 分部积分并利用边界条件可以证明 自己补充详细推导过程 写法二 这一种写法使用了分部积分没有 因为 和 所以 则有 b 假设 则有 因此 解的性质讨论 1 若 对 于 任 意 的 自 然 数满 足 则 即方程有唯一解 2 若 存在自然数满足而 则 无解 即方程无解 3 若 存在自然数满足且 则 有任意解 即方程有任意解 c 相容性讨论 假设 若显然有 只需要讨论不恒等于零的情况 即 此时必为整数以满足边界条件 记 根据 b 中根的性质 2 3 的讨论 方程有解必有 则 因此 两个结论一样 不矛盾 一致 吻合 无差别 相容 P182 6 热传导方程 解为 幅度幅度 改写为 注 这里使用的 幅度 在英文原版书中是 amplitude 查金山词霸 物理学 The maximum absolute value of a periodically varying quantity 振幅周期性变量的最 大绝对值 数学 The maximum absolute value of a periodic curve measured along its vertical axis 振幅沿 垂直轴摆动的周期性曲线的最大绝对值 因此这里取 如果有同学取 这是中文版题 目本身不是很明确 可能理解成 range 的缘故 所以这里都不判错 况且这两种 理解对本题主要关心的量没有影响 中文版有些翻译不是很恰当 但有些是不影 响我们掌握应用数学方法的 所以希望大家不要因为这些问题分散注意力 记 用最小二乘法 Least Squares Fitting 求解 为什么 要求写出详细过程 写法一 最小二乘法 则有矛盾方程组 解矛盾方程 两边同时左乘于 有 张韵华 等 数值计算方法和算法 科学出版社 2000 P 59 则 因此 或者 注 计算过程中取几位有效数字 一般原则是比最后结果至少多一位有效数字 认为不要影响 最后结果取几位有效数字 这取决于测量数据的精度 在一般实 验课程中大家都应该掌握了 这里只要不是很夸张 比如位数取很多位 我们将 不予评价 没有掌握规则的同学 自己找本实验技能的书复习一下 那会对你以 后书写研究论文有帮助的 写法二 最小二乘法 定义误差 求 a 和 b 使误差最小 则有极值条件 即 结果同上 P 195 1 提示 提示 a 从 14 式证明 15 式 已知 交换积分顺序 变量代换 变量代换 因为 所以 证毕 b 特殊情况下 代入 15 式 变量代换 所以 c 应用习题 P102 7 的结果 注意补充推导过程 即 思考为什么需要这么处理 P 207 5 这里我们以更一般的形式为例 部分符号有意更这里我们以更一般的形式为例 部分符号有意更改 做作业请按原题完成 改 做作业请按原题完成 定义函数 共轭函数 The complex conjugate 自相关函数 The autocorrelation function 定义为 代入得 交换积分和求和的顺序 积分得 利用 Euler 公式 The Euler formula 得 因为 式中 是 the Kronecker delta 所以 P 221 2 部分符号和书上原题可能不同 请自行补充详细的推导过程 扩散方程 式中 为温度 定常问题指的是不随时间发展而变化的问题 即与时间无关的问题 定常问题 热导率为常数 定常问题 核对自洽性 因为 所以 还有 解的误差和相对误差均和同量级 近似解精确到的量级 在零阶近似下 近似解和精确解一致 P 233 7b 定理的应用 在粘性流体中 一个受重力而下落的小球 可以观察到它下落的速度 在一段时 间后 为一常数 令 和分别表示球的半径和密度 液体的密度和粘性系数以及重 力加速度 b 因为这里的运动不是加速的 我们不需要运用加速度正比于重力的关系 而可以把力当作独立的基本单位去处理 试证明 提示 提示 参量 量纲 关联所有参量的关系式 形式上记作 定义参量组合成的无量纲参数 相应量纲 即 因此 注意 这个式子并不是关联测量量的关系式 只是定义的无量纲参数的可能形式 如 取 这种说法是不严格的 因为实际上的并不一定只是这样的幂指数的简单形式 六个参量四个独立的基本单位 故有两个无量纲参数 不妨取 我们有一个无量纲参数 再者取 我们有另一个无量纲参数 由定理我们有 即 也可写成 我们也可以取 我们有一个无量纲参数 再者还取 我们有另一个无量纲参数 由定理我们有 即 也可写成 我们还可以有很多很多的取法 P236 Ex12 Buckingham pi theorem 详见网上