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知识点串讲 必修二第一章：空间几何体1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征1、由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如面ABCD；相邻两个面的公共边叫多面体的棱，如棱AB；棱与棱的公共点叫多面体的顶点，如顶点A.2、由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体，这条定直线叫旋转体的轴. 3、一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱（prism）.棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.（两底面之间的距离叫棱柱的高）4、有一个面是多边形，其余各个面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥(pyramid).这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.顶点到底面的距离叫做棱锥的高；棱锥也可以按照底面的边数分为三棱锥（四面体）、四棱锥等等，棱锥可以用顶点和底面各顶点的字母表示5、用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分形成的几何体叫做棱台(frustum of a pyramid).原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面.其余各面是棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫侧棱，侧面与两底面的公共点叫顶点.两底面间的距离叫棱台的高.棱台可以用上、下底面的字母表示，分类类似于棱锥.6、例 由棱柱的定义你能得到棱柱下列的几何性质吗？侧棱都相等，侧面都是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.仿照棱柱,棱锥、棱台有哪些几何性质呢？7、知识拓展1. 平行六面体:底面是平行四边形的四棱柱； 2. 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；3. 正棱锥：底面是正多边形并且顶点在底面的射影是底面正多边形中心的棱锥；4. 正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.8、已知集合A=正方体，B=长方体，C=正四棱柱，D=直四棱柱，E=棱柱，F=直平行六面体，则（）.A. B.C. D.它们之间不都存在包含关系1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征1、以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体，叫做圆柱（circular cylinder），旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线圆柱用表示它的轴的字母表示，图中的圆柱可表示为.圆柱和棱柱统称为柱体.2、以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆锥.圆锥也用表示它的轴的字母表示.棱锥与圆锥统称为锥体.3、直角梯形以垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆台(frustum of a cone).棱台与圆台统称为台体.4、以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体（solid sphere），简称球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径；球通常用表示球心的字母表示，如球.5、由具有柱、锥、台、球等简单几何体组合而成的几何体叫简单组合体.现实生活中的物体大多是简单组合体.简单组合体的构成有两种方式：由简单几何体拼接而成；由简单几何体截去或挖去一部分而成.6、知识拓展圆柱、圆锥的轴截面：过圆柱或圆锥轴的平面与圆柱或圆锥相交得到的平面形状，通常圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是三角形.7、一个球内有一内接长方体,其长、宽、高分别为5、4、3，则球的直径为（ ）.A. B. C. D.8、圆锥母线长为，侧面展开图圆心角的正弦值为，则高等于_.1.2.1 中心投影与平行投影1.2.2 空间几何体的三视图1、由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影.其中光线叫投影线，留下物体影子的屏幕叫投影面.光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影，中心投影的投影线交于一点.在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影，平行投影的投影线是平行的.在平行投影中，投影线正对着投影面时叫正投影,否则叫斜投影. 2、结论:中心投影其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化；平行投影其投影的大小与这个平面图形的形状和大小是完全相同的.3、为了能较好把握几何体的形状和大小，通常对几何体作三个角度的正投影.一种是光线从几何体的前面向后面正投影得到投影图，这种投影图叫几何体的正视图；一种是光线从几何体的左面向右面正投影得到投影图，这种投影图叫几何体的侧视图；第三种是光线从几何体的上面向下面正投影得到投影图，这种投影图叫几何体的俯视图.几何体的正视图、侧视图和俯视图称为几何体的三视图.一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边.三视图中，能看见的轮廓线和棱用实线表示,不能看见的轮廓线和棱用虚线表示. 下图是一个长方体的三视图.俯视图侧视图正视图4、小结：1.正视图反映物体的长度和高度，俯视图反映的是长度和宽度，侧视图反映的是宽度和高度；2.正视图和俯视图高度相同，俯视图和正视图长度相同，侧视图和俯视图宽度相同；3.三视图的画法规则：正视图、侧视图齐高，正视图、俯视图长对正，俯视图、侧视图宽相等，即“长对正”、“高平齐”、“宽相等”；正、侧、俯三个视图之间必须互相对齐，不能错位.5、 下列哪种光源的照射是平行投影（ ）.A.蜡烛 B.正午太阳 C.路灯 D.电灯泡6、 右边是一个几何体的三视图，则这 个几何体是（ ）. A.四棱锥B.圆锥C.三棱锥D.三棱台7、 如图是个六棱柱,其三视图为（ ）.A. B. C. D. 1.2.3 空间几何体的直观图1、斜二测画法的规则及步骤如下：(1)在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的轴和轴，建立直角坐标系，两轴相交于.画直观图时,把它们画成对应的轴与轴，两轴相交于点，且使(或).它们确定的平面表示水平面；(2) 已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段；(3)已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段，长度为原来的一半；(4) 图画好后，要擦去轴、轴及为画图添加的辅助线（虚线）.2、用斜二测画法画空间几何体的直观图时，通常要建立三条轴：轴，轴，轴；它们相交于点，且，；空间几何体的底面作图与水平放置的平面图形作法一样，即图形中平行于轴的线段保持长度不变，平行于轴的线段长度为原来的一半，但空间几何体的“高”，即平行于轴的线段，保持长度不变.3、用斜二测画法画底面半径为4,高为3的圆柱.4、一个长方体的长、宽、高分别是4、8、4，则画其直观图时对应为（ ）.A. 4、8、4 B. 4、4、4 C. 2、4、4 D.2、4、25、 利用斜二测画法得到的三角形的直观图是三角形平行四边形的直观图是平行四边形正方形的直观图是正方形菱形的直观图是菱形，其中正确的是（ ）. A. B. C. D.6、一个三角形的直观图是腰长为的等腰直角三角形，则它的原面积是（ ）. A. 8 B. 16 C. D.327、等腰梯形ABCD上底边CD=1，腰AD=CB=， 下底AB=3，按平行于上、下底边取x轴，则直观图的面积为_.1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）1、（1）设圆柱的底面半径为，母线长为，则它的表面积等于圆柱的侧面积（矩形）加上底面积（两个圆），即.（2）设圆锥的底面半径为，母线长为，则它的表面积等于圆锥的侧面积（扇形）加上底面积（圆形），即.2、设圆台的上、下底面半径分别为，母线长为，则它的表面积等上、下底面的面积（大、小圆）加上侧面的面积（扇环），即.3、正方体的表面积是64,则它对角线的长为（ ）. A. B. C. D.4、一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的表面积与侧面积的比是（ ）. A. B. C. D.5、一个正四棱台的两底面边长分别为,侧面积等于两个底面积之和,则这个棱台的高为（ ）.A. B. C. D. 6、如图，在长方体中，且，求沿着长方体表面到的最短路线长.7、柱体体积公式为：，（为底面积，为高）锥体体积公式为：，（为底面积，为高）台体体积公式为： （，分别为上、下底面面积，为高）8、补充：柱体的高是指两底面之间的距离；锥体的高是指顶点到底面的距离；台体的高是指上、下底面之间的距离.9、如图(1)所示，三棱锥的顶点为，是它的三条侧棱,且分别是面的垂线，又，求三棱锥的体积.图(1)10、如图(2)，在边长为4的立方体中，求三棱锥的体积.图(2)11、在中,若将绕直线旋转一周，求所形成的旋转体的体积.1.3.2 球的体积和表面积1、球的体积公式 球的表面积公式 其中，为球的半径.显然，球的体积和表面积的大小只与半径有关.2、若三个球的表面积之比为，则它们的体积之比为多少?3、如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径(即圆柱内有一内切球)，求证（1）球的体积等于圆柱体积的；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.4、记与正方体各个面相切的球为，与各条棱相切的球为，过正方体各顶点的球为则这3个球的体积之比为（ ）. A.1:2:3 B.1: C.1: D.1:4:9第二章：点线面的位置关系2.1.1 平面 1、平面(plane)是平的；平面是可以无限延展的；平面没有厚薄之分.2、点在平面内，记作；点在平面外，记作.点在直线上，记作，点在直线外，记作.直线上所有点都在平面内,则直线在平面内(平面经过直线),记作；否则直线就在平面外，记作.3、公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.用集合符号表示为：且公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.如下图所示：平面与平面相交于直线，记作.公理3用集合符号表示为且,且4、知识拓展平面的三个性质是公理(不需要证明,直接可以用),是用公理化方法证明命题的基础.其中公理可以用来判断直线或者点是否在平面内；公理用来确定一个平面，判断两平面重合，或者证明点、线共面；公理3用来判断两个平面相交，证明点共线或者线共点的问题.5、下列结论正确的是（ ）.经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面经过两条相交直线，可以确定一个平面经过两条平行直线，可以确定一个平面经过空间任意三点可以确定一个平面 A.个 B.个 C.个 D.个6、如图在四面体中，若直线和相交，则它们的交点一定（ ）. A.在直线上 B.在直线上 C.在直线上 D.都不对 2.1.2空间直线与直线之间的位置关系1、像直线与这样不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线(skew lines).2、异面直线的画法有如下几种(异面)：图2-13、公理4 (平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行.4、定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.5、如图2-2,已知两条异面直线，经过空间任一点作直线 ,，把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作.6、正方体的棱长为，求异面直线与所成的角.7、正方体的十二条棱中，与直线是异面直线关系的有_条.8、长方体中,=1，异面直线与所成角的余弦值是_.2.1.3空间直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系1、直线与平面位置关系只有三种：直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行其中，、两种情况统称为直线在平面外.2、两个平面的位置关系只有两种：两个平面平行没有公共点两个平面相交有一条公共直线3、下列命题中正确的个数是（ ）若直线上有无数个点不在平面内，则.若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行.如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点.A. B. C. D.4、若直线不平行于平面，且，则下列结论成立的是（ ） A.内的所有直线与异面 B.内不存在与平行的直线 C.内存在唯一的直线与平行 D.内的直线与都相交.5、证明点共线的基本方法有两种找出两个面的交线，证明若干点都是这两个平面的公共点，由公理3可推知这些点都在交线上，即证若干点共线.选择其中两点确定一条直线，证明另外一些点也都在这条直线上.6、如图4-2,空间四边形中，,分别是和上的点，,分别是和上的点，且相交于点.求证：,三条直线相交于同一点. 图4-2 7、 如图4-3,如果两条异面直线称作“一对”，那么在正方体的12条棱中，共有异面直线多少对?图4-32.2.1 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理 定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 2、如图5-8，在空间四边形中，、分别是和的重心.求证：平面.图5-82.2. 2 平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.如图6-4所示，. 典型例题例1 已知正方体，如图6-5，求证：平面.图6-52、如图6-7，正方体中，分别是棱，的中点，求证：平面平面.图6-73、 如图6-9，、分别是、的重心.求证：面.图6-92.2.3 直线与平面平行的性质1、直线与平面平行的性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线都与该直线平行.2、如图7- 6，在所在平面外有一点，、分别是，过作平面平行于，试画出这个平面与其它各面的交线，并说明画法的依据.图7-62.2.4 平面与平面平行的性质1、两个平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.2. 设是单位正方体的面、面的中心，如图8-4，证明：平面；面面.图8-42.3.1 直线与平面垂直的判定1、如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线与平面互相垂直，记做.叫做垂线，叫垂面，它们的交点叫垂足.如图10-3所示.图10-32、直线和平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.3、如图10-6，直线和平面相交但不垂直，叫做平面的斜线，和平面的交点叫斜足；，叫做斜线在平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和平面所成的角.图10-6直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是角.4、 如图10-8，在正方体中，求直线和平面所成的角.图10-85、如图10-9，在三棱锥中，求证：.图10-96、是异面直线,那么经过的所有平面（ ）. A.只有一个平面与平行 B.有无数个平面与平行 C.只有一个平面与垂直 D.有无数个平面与垂直2.3.2 平面与平面垂直的判定1、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.图11-2中的二面角可记作：二面角或或.图11-22、如图11-3，在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线，则射线和构成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角. 图11-33、两个平面所成二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直.如图11-4，垂直，记作.图11-44、两个平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.5、如图11-5，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的任意一点，求证：平面平面. 图11-56、如图11-6，在正方体中，求面与面所成二面角的大小（取锐角）.图11-67、如图11-7，在空间四边形中， =90，求证：平面平面.求二面角的平面角的正弦值. 图11-72.3.3 直线与平面垂直的性质1、直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行.2、 判断下列命题是否正确，并说明理由.两条平行线中的一条垂直于某条直线，则另一条也垂直于这条直线；两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这个平面；两个平行平面中的一个垂直于某个平面，则另一个也垂直与这个平面；垂直于同一条直线的两条直线互相平行；垂直于同一条直线的两个平面互相平行；垂直于同一个平面的两个平面互相平行.3、知识拓展 设和是直线，是平面，则直线与平面垂直还有下列性质：； 你能把它们用图形表示出来吗？4、如图12-5，在三棱锥中，若是的中点，试确定上点的位置，使得.图12-52.3.4 平面与平面垂直的性质1、平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.2、如图13-4，四棱锥的底面是个矩形，侧面是等边三角形，且侧面垂直于底面.证明：侧面侧面；求侧棱与底面所成的角.图13-4第三章：直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率 1、当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角（angle of inclination）.关键：直线向上方向；轴的正方向；小于平角的正角.注意:当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.2、一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率(slope).记为.3、已知直线上两点的直线的斜率公式：.5、任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角的范围是.6、已知点，若直线l过点且与线段相交，求直线l的斜率的取值范围. 3.2两直线平行与垂直的判定 1、两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即=注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直.即 3、已知三点在同一直线上，则的值为 . 3.2.1直线的点斜式方程 1、已知直线经过点，且斜率为，则方程为直线的点斜式方程.2、直线与轴交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距（intercept）.直线叫做直线的斜截式方程.注意：截距就是函数图象与轴交点的纵坐标.3、直线过点且与轴、轴分别交于两点，若恰为线段的中点，求直线的方程. 3.2.2直线的两点式方程 1、已知直线上两点且，则通过这两点的直线方程为，由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式（two-point form）.2、已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，其中，则直线的方程叫做直线的截距式方程.注意：直线与轴交点（,0）的横坐标叫做直线在轴上的截距；直线与y轴交点（0,）的纵坐标叫做直线在轴上的截距.3、,表示截距，是不是表示直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？4、直线方程的各种形式总结为如下表格：直线名称已知条件直线方程使用范围点斜式k存在斜截式k存在两点式（截距式5、过点P(2，1）作直线交正半轴于AB两点，当取到最小值时，求直线的方程.6、 已知一直线被两直线，：截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程. 3.2.3直线的一般式方程 1、关于的二元一次方程（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（general form）注意：直线一般式能表示平面内的任何一条直线2、光线由点射出，在直线上进行反射，已知反射光线过点，求反射光线所在直线的方程. 3.1两条直线的交点坐标 1、求直线关于直线对称的直线方程.2、直线与直线的交点在第四象限，求的取值范围. 3.3.2两点间的距离 1、已知平面上两点，则.特殊地：与原点的距离为.2、 已知点，在轴上存在一点，使，则 . 3.3点到直线的距离及两平行线距离 1、已知点和直线，则点到直线的距离为：.注意：点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离；在运用公式时，直线的方程要先化为一般式.2、已知两条平行线直线，则与的距离为注意：应用此公式应注意如下两点：（1）把直线方程化为一般式方程；（2）使的系数相等.3、 求两平行线：，：的距离.第四章：圆与方程4.1.1圆的标准方程1、圆的标准方程(xa)2(yb)2=r2中,有三个参数a、b、r,只要求出a、b、r且r0,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.2、确定圆的方程主要方法是待定系数法,即列出关于a、b、r的方程组,求a、b、r或直接求出圆心(a,b)和半径r,一般步骤为：1根据题意,设所求的圆的标准方程(xa)2(yb)2=r2；2根据已知条件,建立关于a、b、r的方程组；3解方程组,求出a、b、r的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.3、点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的关系的判断方法：当点M(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上时,点M的坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2.当点M(x0,y0)不在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上时,点M的坐标不满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2.用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为:1点到圆心的距离大于半径,点在圆外(x0-a)2+(y0-b)2r2,点在圆外;2点到圆心的距离等于半径,点在圆上(x0-a)2+(y0-b)2=r2,点在圆上;3点到圆心的距离小于半径,点在圆内(x0-a)2+(y0-b)2r2,点在圆内.4、写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判断点M1(5,-7),M2(-,-1)是否在这个圆上.解:圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25,把点M1(5,-7),M2(-,-1)分别代入方程(x-2)2+(y+3)2=25,则M1的坐标满足方程,M1在圆上.M2的坐标不满足方程,M2不在圆上.5、 ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.解法一:设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,因为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上,它们的坐标都满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2,于是解此方程组得所以ABC的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.解法二:线段AB的中点坐标为(6,-1),斜率为-2,所以线段AB的垂直平分线的方程为y+1=(x-6). 同理线段AC的中点坐标为(3.5,-3.5),斜率为3,所以线段AC的垂直平分线的方程为y+3.5=3(x-3.5). 解由组成的方程组得x=2,y=-3,所以圆心坐标为(2,-3),半径r=5,所以ABC的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.点评:ABC外接圆的圆心是ABC的外心,它是ABC三边的垂直平分线的交点,它到三顶点的距离相等,就是圆的半径,利用这些几何知识,可丰富解题思路.6、 求与圆x2+y2-2x=0外切,且与直线x+y=0相切于点(3,-)的圆的方程.解:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.圆x2+y2-2x=0的圆心为(1,0),半径为1.因为两圆外切,所以圆心距等于两圆半径之和,即=r+1, 由圆与直线x+y=0相切于点(3,-),得解得a=4,b=0,r=2或a=0,b=-4,r=6.故所求圆的方程为(x-4)2+y2=4或x2+(y+4)2=36.4.1.2 圆的一般方程1、方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,由此得到圆的方程都能写成x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,只有当D2+E2-4F0时,它表示的曲线才是圆.因此x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F0. 我们把形如x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的方程称为圆的一般方程.2、圆的一般方程形式上的特点: x2和y2的系数相同,不等于0.没有xy这样的二次项.3、判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是,请求出圆的圆心及半径.(1)4x2+4y2-4x+12y+9=0;(2)4x2+4y2-4x+12y+11=0.解:(1)由4x2+4y2-4x+12y+9=0,得D=-1,E=3,F=,而D2+E2-4F=1+9-9=10,所以方程4x2+4y2-4x+12y+9=0表示圆的方程,其圆心坐标为(,-),半径为；(2)由4x2+4y2-4x+12y+11=0,得D=-1,E=3,F=,D2+E2-4F=1+9-11=-10,所以方程4x2+4y2-4x+12y+11=0不表示圆的方程.4、求过三点O(0,0)、M1(1,1)、M2(4,2)的圆的方程,并求圆的半径长和圆心坐标.解:方法一：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由O、M1、M2在圆上,则有解得D=-8,E=6,F=0,故所求圆的方程为x2+y2-8x+6y=0,即(x4)2(y+3)2=52.所以圆心坐标为(4,-3),半径为5.方法二：先求出OM1的中点E(,),M1M2的中点F(,),再写出OM1的垂直平分线PE的直线方程y-=-(x-), AB的垂直平分线PF的直线方程y-=-3(x-), 联立得得则点P的坐标为(4,-3),即为圆心.OP=5为半径.方法三：设所求圆的圆心坐标为P(a,b),根据圆的性质可得|OP|=|AP|=|BP|,即x2+y2=(x-1)2+(y-1)2=(x-4)2+(y-2)2,解之得P(4,-3),OP=5为半径.方法四：设所求圆的方程为(xa)2(yb)2=r2,因为O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程,可以得到关于a、b、r的方程组,即解此方程组得所以所求圆的方程为(x4)2(y+3)2=52,圆心坐标为(4,-3),半径为5.4.2.1 直线与圆的位置关系1、直线与圆的三种位置关系的含义是:直线与圆的位置关系公共点个数圆心到直线的距离d与半径r的关系图形相交两个dr相切只有一个d=r相离没有dr2、直线与圆的位置关系的判断方法：几何方法步骤：1把直线方程化为一般式,求出圆心和半径.2利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离.3作判断：当dr时,直线与圆相离；当d=r时,直线与圆相切;当dr时,直线与圆相交.代数方法步骤：1将直线方程与圆的方程联立成方程组.2利用消元法,得到关于另一个元的一元二次方程.3求出其判别式的值.4比较与0的大小关系,若0,则直线与圆相离；若=0,则直线与圆相切;若0,则直线与圆相交.反之也成立.3、 已知圆的方程是x2+y2=2,直线y=x+b,当b为何值时,圆与直线有两个公共点,只有一个公共点没有公共点.解法一:若直线l：y=x+b和圆x2+y2=2有两个公共点、只有一个公共点、没有公共点,则方程组有两个不同解、有两个相同解、没有实数解,消去y,得2x2+2bx+b2-2=0,所以=(2b)2-42(b2-2)=16-4b2.所以,当=16-4b20,即-2b2时,圆与直线有两个公共点；当=16-4b2=0,即b=2时,圆与直线只有一个公共点；当=16-4b20,即b2或b-2时,圆与直线没有公共点.解法二：圆x2+y2=2的圆心C的坐标为(0,0),半径长为2,圆心C到直线l:y=x+b的距离d=.当dr时,即,即|b|2,即b2或b-2时,圆与直线没有公共点;当d=r时,即=,即|b|=2,即b=2时,圆与直线只有一个公共点；当dr时,即,即|b|2,即-2b2时,圆与直线有两个公共点.4、已知直线l过点P(4,0),且与圆O：x2+y2=8相交,求直线l的倾斜角的取值范围.解法一：设直线l的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0,因为直线l与圆O相交,所以圆心O到直线l的距离小于半径,即2,化简得k21,所以-1k1,即-1tan1.当0tan1时,0；当-1tan0时,.所以的取值范围是0,)(,).解法二：设直线l的方程为y=k(x-4),由,消去y得(k2+1)x2-8k2x+16k2-8=0.因为直线l与圆O相交,所以=(-8k2)2-4(k2+1)(16k2-8)0,化简得k21.(以下同解法一)4.2.2 圆与圆的位置关系1、两圆的位置关系：外离外切相交内切内含dR+rd=R+r|R-r|dR+rd=|R-r|d|R-r|2、已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.解:设两圆交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则A、B两点坐标满足方程组-,得3x-4y+6=0.因为A、B两点坐标都满足此方程,所以3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程.易知圆C1的圆心(-1,3),半径r=3.又点C1到直线的距离为d=.所以AB=2,即两圆的公共弦长为.3、已知O方程为x2+y2=4,定点A(4,0),求过点A且和O相切的动圆圆心的轨迹方程.活动：教师引导学生回顾学过的知识,两圆外切,连心线长等于两圆半径之和,两圆内切,连心线长等于两圆半径之差,由此可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件,然后将这个几何条件坐标化,即得到它的轨迹方程.解法一：设动圆圆心为P(x,y),因为动圆过定点A,所以|PA|即为动圆半径.当动圆P与O外切时,|PO|=|PA|+2；当动圆P与O内切时,|PO|=|PA|2.综合这两种情况,得|PO|PA|=2.将此关系式坐标化,得|=2.化简可得(x2)2=1.解法二：由解法一可得动点P满足几何关系|OP|PA|=2,即P点到两定点O、A的距离差的绝对值为定值2,所以P点轨迹是以O、A为焦点,2为实轴长的双曲线,中心在OA中点(2,0),实半轴长a=1,半焦距c=2,虚半轴长b=,所以轨迹方程为(x2)2=1.4.2.3 直线与圆的方程的应用1、求通过直线2x-y+3=0与圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点,且面积最小的圆的方程.解法一:利用过两曲线交点的曲线系,设圆的方程为x2+y2+2x-4y+1+(2x-y+3)=0,配方得标准式(x+1+)2+(y-2-)2=(1+)2+(2+)2-3-1,r2=2+4=(+)2+,当=-时,半径r=最小.所求面积最小的圆的方程为5x2+5y2+6x-18y-1=0.解法二:利用平面几何知识,以直线与圆的交点A(x1,y1),B(x2,y2)连线为直径的圆符合要求.由消去y,得5x2+6x-2=0.判别式0,AB中点横坐标x0=-,纵坐标y0=2x0+3=,即圆心O(-,).又半径r=|x1-x2|=,所求面积最小的圆的方程是(x+)2+(y-)2=.2、已知x,y是实数,且x2+y2-4x-6y+12=0,求(1)的最值;(2)x2+y2的最值;(3)x+y的最值;(4)x-y的最值.解:(x-2)2+(y-3)2=1表示以点C(2,3)为圆心,1为半径的圆.(1)表示圆C上的点P(x,y)与坐标原点O(0,0)连线的斜率k,故当y=kx为圆C的切线时,k得最值.=1,k=2.的最大值为2+,最小值为2-.(2)设x2+y2表示圆C上的点P(x,y)与坐标原点O(0,0)连结的线段长的平方,故由平面几何知识,知当P为直线OC与圆C的两交点P1、P2时,OP12与OP22分别为OP2的最大值、最小值.x2+y2的最大值为(+1)2=14+2,最小值为(-1)2=14-2.(3)令x+y=m,当直线l:x+y=m与圆C相切时,l在y轴上截距m取得最值.=1,m=5.x+y的最大值为5+,最小值为5-.(4)令x-y=n,当直线l:x-y=n与圆C相切时,l在y轴上截距的相反数n取得最值.=1,n=-1.x-y的最大值为-1+,最小值为-1-.3、已知圆O的方程为x2+y2=9,求过点A(1,2)所作的弦的中点的轨迹.活动：学生回想求轨迹方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,本题可利用平面几何的知识.解法一:参数法(常规方法)设过A的弦所在的直线方程为y-2=k(x-