1987----2005年考研线性代数试题汇编.pdf

1 1987 2005 年考研线性代数试题汇编年考研线性代数试题汇编 题后方括号内 的数字分别表示数学 一 数学 二 数学 三 数学 四 例如 一 二 表示此题在数学 一 数学 二 中均有 1987 年试题年试题 一 填空题 每小题 3 分 1 设三维向量空间的一组基底为 1 1 1 0 2 1 0 1 3 0 1 1 则向量 2 0 0 在此基底下的坐标是 二 选择题 每小题 3 分 1 设 n 阶方阵 A 的伴随矩阵为 A 且 A a 0 则 A A a B a 1 C a 1n D a n 三 本题满分4分 设AB A 2B 且A 410 011 103 求B 四 本题满分8分 问a b为何值时 线性方程组 123 23 122 4321 421 432 4321 axxxx xxax xxx xxxx b 0 无解 有唯一解 有无穷多解 并求 有无穷多解时的通解 1988 年试题年试题 一 填空题 每小题3分 1 由4维列向量构成4阶方阵A 432 B 432 且 A 4 B 1 则 A B 2 二 选择题 每小题 3 分 1 n维向量组 s21 3 s n 线性无关的充要条件是 A 存在一组不全为零的数 k k k s21 使 ss2211 k kk 0 B s21 中的任意两个向量均线性无关 C s21 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 D s21 中的任意一个向量都不能用其余向量线性表示 三 本题满分 6 分 设 AP PB 且 B 100 000 001 P 112 012 001 求 5 A A 四 本题满分 8 分 设 A x10 100 002 与 B 100 0y0 002 相似 求 1 x y 的值 2 满足BAPP 1 的可逆阵 P 1989 年试题 1989 年试题 一 填空题 每小题 3 分 1 设矩阵 A 300 041 003 I 100 010 001 则逆矩阵 1 2IA 一 二 选择题 每小题 3 分 1 设 A 是 4 阶矩阵 且 A 的行列式 A 0 则 A 中 A 必有一列元素全为 0 B 必有两列元素对应成比例 C 有一列向量是其余向量的线性组合 D 任一列向量是其余向量的线性组合 一 三 本题满分 6 分 问 为何值时 线性方程组 3 3246 224 321 321 31 xxx xxx xx 有解 并求出解的一般形式 一 四 本题满分8分 假设 为n阶可逆矩阵A的一个特征值 证明 1 1 为 1 A 的特征值 2 A 为A的伴随矩阵 A的特征值 一 1990 年试题年试题 一 填空题 每小题3分 1 已知向量组则该向量的秩是 一 二 选择题 每小题3分 7 6 5 4 6 5 4 3 5 4 3 2 4 3 2 1 4321 1 已知 21 是非齐次线性方程AX b的两个不同的解 21 是对应的齐次线性方程组 AX 0的基础解系 21 k k为任意常数 则方程组AX b的通解 一般解 必是 A 2 21 21211 kk B 2 21 21211 kk C 2 21 21211 kk D 2 21 21211 kk 一 三 本题满分6分 设四阶矩阵B 1000 1100 0110 0011 C 2000 1200 3120 4312 且矩阵满足关系式 TT1 C BCE AE 4 其中E为四阶单位矩阵 1 C 表示C的逆矩阵 T C 表示C的转置矩阵 将上述关系式化简并求 矩阵A 一 四 本题满分8分 求一个正交变换化二次型 323121 2 3 2 2 2 1 844444xxxxxxxxxf 为标准型 一 1991 年试题年试题 一 填空题 每小题3分 1 设4阶方阵A 1100 2100 0012 0025 则A的逆阵 1 A 一 二 选择题 每小题3分 1 设n阶方阵A B C满足关系式ABC E 其中E是n阶单位阵 则必有 A ACB E B CBA E C BAC E D BCA E 一 三 本题满分8分 已知 b a a 53118421121153113201 4321 及 1 a b为何值时 不能表示成 4321 的线性组合 2 a b为何值时 有 4321 的唯一的线性表示式 并写出该表示式 四 本题满分6分 设A是n阶正定阵 E是n阶单位阵 证明A E的行列式大于1 一 1992 年试题年试题 一 填空题 每小题3分 1 设 ba jinn A其中 i a 0 j b 0 i j 1 2 n 则矩阵A的秩r A 一 二 选择题 每小题 3 分 1 要使 T 2 T 1 1 1 0 s 2 0 1 s 都是线性方程组 AX 0 的解 只要系数矩阵 A 为 5 A 112 B 110 102 C 110 201 D 110 224 110 一 三 本题满分 7 分 设向量组 321 线性相关 向量组 432 线性无关 问 1 1 能否由 32 线性表示 证明你的结论 2 3214 能否由线性表示 证明你的结论 一 四 本题满分 7 分 设 3 阶矩阵 A 的特征值为3 2 1 321 对应的特征向量依次为321 321 对 应的特征向量依次为 T 3 T 2 T 1 931421111 又向量 T 3 1 1 1 将 321 用线性表示 2 求 n A n为自然数 一 1993 年试题 1993 年试题 一 填空题 每小题 3 分 1 设n阶矩阵A的各行元素之和均为零 且A的秩为n 1 则线性方程组AX 0 的通解为 一 二 二 选择题 每小题 3 分 1 已知 Q 963 42 321 t P 为三阶非零矩阵 且满足 PQ 0 则 A t 6 时 P 的秩必为 1 B t 6 时 P 的秩必为 2 C t 6 时 P 的秩必为 1 D t 6 时 P 的秩必为 2 一 二 三 本题满分 8 分 已 知 二 次 型 a xaxxxx x x x f02332 32 2 3 2 2 2 1321 通 过 正 交 变 换 化 成 标 准 型 6 2 3 2 2 2 1 52yyyf 求参数a及所用的正交变换矩阵 一 二 四 本题满分 6 分 设 A 是mn 矩阵 B 是nm 矩阵 其中mn I 是n阶单位矩阵 若AB I 证明B的列向量 组线性无关 一 二 五 本题满分 5 分 已知 3 R的两个基为 3 4 3 4 3 2 1 2 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 321321 求由基 321321 到基的过渡 矩阵 二 1994 年试题 1994 年试题 一 填空题 每小题 3 分 1 已知 3 1 2 1 1 3 2 1 设 T A 其中 n A T 的转置 则是 二 选择题 每小题 3 分 1 已知向量组 4321 线性无关 则向量组 A 14433221 线性无关 B 14433221 线性无关 A 14433221 线性无关 A 14433221 线性无关 一 三 本题满分 8 分 设四元组线性齐次方程组 I 为 0 0 42 21 xx xx 又已知某线性齐次方程组 的通解为 k k12210110 21 1 求线性方程组 I 的基础解系 7 2 问线性方程组 I 和 II 是否有非零公共解 若有则求出所有的非零公共解 若 没有则说明理由 一 四 本题满分 6 分 设 A 是n阶非零方阵 A是 A 的伴随矩阵 T A是 A 的转置矩阵 当 T AA 时 证明 A 0 一 1995 年试题 1995 年试题 一 填空题 每小题 3 分 1 设三阶方阵 A B 满足关系式BA6ABAA 1 且 A 7 1 00 0 4 1 0 00 3 1 则 B 一 二 2 设 A 543 022 001 A是 A 的伴随矩阵 则 1 A 四 五 二 选择题 每小题 3 分 1 设 A 333231 232221 131211 aaa aaa aaa B 133312321131 131211 232221 aaaaaa aaa aaa 100 001 010 P1 101 010 001 P2 则必有 A BPAP 21 B BPAP 12 C BAPP 21 D BAPP 12 一 二 2 设矩阵 nm A的秩为 m nmI A R 为m阶单位阵 下属结论中正确的是 A A 的任意m个列向量必线性无关 B A 的任意一个m阶子式不等于零 C 若矩阵 B 满足 BA 0 则 B 0 8 D A 通过初等行变换 必可化为的形式O Im E 非齐次线性方程组 AX b一定有无穷多组解 四 五 三 本题满分 7 分 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 T 1 1321 1 1 0 1 1 s的特征向量为对应于 求 A 一 二 四 本题满分 6 分 设 A 是 n 阶矩阵 满足AAnIIAA TT 是阶单位阵 是 的转置矩阵 A 0 求 A I 一 二 五 本题满分 7 分 设 332 1 123 421 432 4321 xxx axaxx xxxx 问a为何值时方程组有解 并在有解时求出方程组得通解 二 六 本题满分 8 分 对于线性方程组 2 2 3 1 321 321 32 xxx xxx xxx 讨论 取何值时 方程组无解 有唯一解和有无穷多 组解 在方程组有无穷多组解时 试用其导出组的基础解系表示全部解 四 七 本题满分 8 分 设三阶矩阵 A 满足 3 2 1 iiA ii 其中列向量 TTT 2 1 2 1 2 2 3 2 1 321 试求矩阵 A 四 八 本题满分 9 分 已知向量组 I 321 II 4321 III 5321 如果各向量组的秩分别 为 R I R II 3 R III 4 证明 向量组 45321 的秩为 4 五 九 本题满分 10 分 已知二次型 323121 2 3 2 2321 84434 xxxxxxxxxxxf 1 写出二次型f的矩阵表达式 2 用正交变换把二次型f化为标准型 并写出相应的正交矩阵 五 9 1996 年试题 1996 年试题 一 填空题 每小题 3 分 1 设 A 是34 矩阵 且 A 的秩2 Ar 而 B 301 020 201 则 r AB 一 二 2 设 A 11 3 1 2 1 1 22 3 2 2 2 1 321 1 111 n n nnn n n aaaa aaaa aaaa X n x x x x 3 2 1 B 1 1 1 1 其 中 i a j a i j i j 1 2 n 则线性方程组BXAT 的解是 四 3 五阶行列式 D a aa aa aa aa 11000 1100 010 0011 0001 二 选择题 每小题 3 分 1 四阶行列式 44 33 22 11 00 00 00 b00 ab ab ba a 的值等于 A 43214321 bbbbaaaa B 43214321 bbbbaaaa C 43432121 bbaabbaa D 41413232 bbaabbaa 一 二 2 设 n 阶矩阵 A 非奇异 n 2 A 是矩阵 A 的伴随矩阵 则 A A A A 1 n B A A A 1 n C A A A 2 n D A A A 2 n 四 五 3 设 有 任 意 两 个n维 向 量 组 m1m1 和若 存 在 两 组 不 全 为 零 的 数 10 m kkk 21m1 和 使0 k k k k mmm111mmm111 则 A m1m1 和都线性相关 B m1m1 和都线性无关 C mm11mm11 线性无关 D mm11mm11 线性相关 四 五 三 本题满分 6 分 设 T IAss 其中 I 是n阶单位矩阵 s是n维非零列向量 1 T ss时 A 是不可逆矩 阵 一 二 四 本题满分 8 分 已知二次型 323121 2 3 2 2 2 1321 66255 xxxxxxcxxxxxxf 的秩为 2 1 求参数c及此二次型对应矩阵的特征值 2 指出方程1 321 xxxf表示何种二次曲线 一 二 五 本题满分 6 分 求齐次线性方程组 0 xxx 0 xxx 0 xxx 543 321 521 的基础解系 二 六 本题满分 8 分 设矩阵 A 2100 1y00 0001 0010 1 已知 A 的特征值为 3 试求y 2 求矩阵 P 使 AP AP T 为对角矩阵 四 七 本题满分 8 分 设向量 t21 是齐次线性方程组 AX 0 的一个基础解系 向量 不是方程组 AX 0 的解 即 A 0 试证明 向量组 t21 线性无关 四 11 八 本题满分 9 分 已知线性方程组 tx6xxx 17xpx2x3x 14x6xx2x 03x2xxx 4321 4321 4321 4321 讨论参数p t取何值时 方程组有解 无解 当 有解时 试用其导出组的基础解系表示通解 五 九 本题满分 7 分 设有 4 阶方阵 A 满足条件的阶单位去阵 求方阵是其中A4I 0 A 2IAA 0 A3I T 伴随 矩阵 A 的一个特征值 五 1997 年试题 1997 年试题 一 填空题 每小题 3 分 1 设 113 34 221 At B 为三阶非零矩阵 且 AB 0 则t 一 2 已知向量组 2 5 4 0 0 t 0 2 1 1 2 1 321 的秩为 2 则 t 二 3 若二次型 3221 2 3 2 2 2 121 xtxx2xxx2xx x xf 3 是正定的 则t的取值范围是 三 4 设n阶矩阵 01 111 10 111 11 011 11 101 11 110 A 则 A 四 二 选择题 每小题 3 分 1 设 3 2 1 a a a 1 3 2 1 3 2 1 c c c b b b 32 则三条直线 0cybxa 0cybxa 0cybxa 333 222 111 12 其中 22 ii ba 0 i 1 2 3 交于一点的充要条件是 A 321 线性相关 B 321 线性无关 C 秩 r r 21321 秩 D 321 线性相关 321 线性无关 一 2 设向量组 321 线性无关 则下列向量组中 线性无关的是 A 133221 B 3213221 2 C 133221 3 32 2 D 321321321 553 2232 三 四 3 设 A B 为同阶可逆矩阵 则 A AB BA B 存在可逆矩阵 P 使BAPP 1 C 存在可逆矩阵 C 使BACCT D 存在可逆矩阵 P 和 Q 使BPAQ 三 4 非齐次线性方程组b AX中未知量个数为n 方程个数为m 系数矩阵 A 的秩为r 则 A r m时 方程组 AX b有解 B r n时 方程组b AX有唯一解 C m n时 方程组 AX b有唯一解 D rn 时 必有行列式 AB 0 B 当 m n 时 必有行列式 AB 0 C 当 n m 时 必有行列式 AB 0 D 当 n m 时 必有行列式 AB 0 一 18 2 记行列式 3475344 53542333 32221222 3212 xxxx xxxx xxxx xxxx 为f x 则方程f x 0 的根的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 二 3 设向量 可由向量组 1 2 m线性表示 但不能由向量组 1 2 m 1线 性表示 记向量组 1 2 m 1 则 E m不能由 线性表示 也不能由 线性表示 F m不能由 线性表示 但可由 线性表示 G m可由 线性表示 也可由 线性表示 H m可由 线性表示 但不可由 线性表示 三 四 三 本小题满分8分 设矩阵A ac b ca 01 35 1 其行列式 A 1 又A的伴随矩阵A 有一个特征值 0 属于 0的 一个特征向量为 1 1 1 T 求a b c和 0的值 一 三 四 本小题满分6分 设A为 m 阶实对称阵且正定 B为 m n 实矩阵 BT为B的转置矩阵 试证 BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r B n 一 五 本小题满分6分 设矩阵A 111 111 111 矩阵X满足A X A 1 2X 其中A 是A的伴随 矩阵 求矩阵X 二 六 本小题满分8分 设向量组 1 1 1 1 3 T 2 1 3 5 1 T 3 3 2 1 p 2 T 4 2 6 10 p T 1 p 为何值时 该向量组线性无关 并在此时将向量 4 1 6 10 T用 1 2 3 4线性表出 2 p为何值时 该向量组线性相关 并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组 二 七 本小题满分7分 设A为 m n 实矩阵 E为 n 阶单位矩阵 已知矩阵B e A TA 试证 当 0时 矩阵B为正定矩阵 三 19 八 本小题满分7分 设矩阵A 324 1 223 kk 问当 k 为何值时 存在可逆阵P 使得P 1AP 为对角阵 并求出P和相应的对角阵 四 九 本小题满分9分 已知线性方程组 0 0 0 3 2 2 2 1 2 321 321 xcxbxa cxbxax xxx 1 a b c 满足何种关系时 方程组仅有零解 2 a b c 满足何种关系时 方程组有无穷多组解 并用基础解系表示全部解 四 2000 年试题年试题 一填空题 本小题3分 1 已知方程组 0 3 1 21 232 121 3 2 1 x x x a a无解 则a 一 2 设A 76 00 0540 0032 0001 E为4阶单位矩阵 且B E A 1 E A 则 E B 1 二 3 若四阶矩阵A与B相似 矩阵A的特征值为 5 1 4 1 3 1 2 1 则行列式 B 1 E 三 4 设 1 0 1 T 矩阵A T n 为正整数 则 n aAE 四 5 已知四阶矩阵 A 相似于 B A 的特征值为 2 3 4 5 E 为 4 阶单位矩阵 B E 二选择题 每小题3分 1 设 n 维列向量组 1 m m n 线性无关 则n维向量组 1 m线性无关的充分必 要条件 A 向量组 1 m可由向量组 1 m线性表示 B 向量组 1 m可由向量组 1 m线性表示 C 向量组 1 m与向量组 1 m等价 D 矩阵A 1 m 与矩阵 B 1 m 等价 2 设 1 2 3是四元非齐次线性方程组AX b 的三个解向量 且秩 A 3 1 1 20 2 3 4 T 2 3 0 1 2 3 T C表示任意常数 则线性方程组AX b 的通解X A 1 1 1 1 C 4 3 2 1 B 3 2 1 0 C 4 3 2 1 C 5 4 3 2 C 4 3 2 1 D 6 5 4 3 C 4 3 2 1 3 设A是n阶实矩阵 AT是A的转置矩阵 则对于线性方程组 AX 0和 ATAX 0 必有 三 A 的解是 的解 的解也是 的解 B 的解是 的解 但 的解不是 的解 C 的解不是 的解 的解也不是 的解 D 的解是 的解 但 的解不是 的解 三 本题满分6分 设矩阵A的伴随矩阵A 8030 0101 0010 0001 且ABA 1 BA 1 3E 其中E为4阶单位矩阵 求矩 阵B 一 四 本题满分8分 某试验性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计 然后将1 6的熟练工支援其他 生产部门 其缺额由招收新的非熟练工补齐 新 老非熟练工经过培训及实践至年终考核有2 5 成为熟练工 设第 n 年1月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 xn和 yn 记成向量 n n y x 1 求 1 1 n n y x 与 n n y x 的关系式并写成矩阵形式 1 1 n n y x A n n y x 2 验证 1 1 4 2 1 1 是A的两个线性无关的特征向量 并求出相应的特征值 3 当 1 1 y x 2 1 2 1 时 求 1 1 n n y x 一 五 本题满分6分 21 设 1 2 1 0 2 1 1 8 0 0 A T B T 其中 T是 的转置 求解方程2B2A2X A4X B4X 二 六 本题满分7分 已知向量组 1 1 1 0 2 1 2 a 3 0 1 b 与向量组 1 3 2 1 2 1 0 3 3 7 6 9 具有相同 的秩 且 3可由 1 2 3线性表示 求 a b 的值 七 本题满分8分 设向量组 1 a 2 10 T 2 2 1 5 T 3 1 1 4 T 1 b c T 试问 当 a b c 满足什么条件时 1 可由 1 2 3线性表示 且表示法唯一 2 不能由 1 2 3线性表示 3 可由 1 2 3线性表示 但表示法不唯一 并求出一般表达式 三 四 八 本题满分9分 设有 n 元实二次型 f x1 x2 xn x1 a1x2 2 x 2 a2x3 2 x n 1 an 1xn 2 x n anx1 2 其中 ai i 1 2 n 为实数 试问 当a1 a2 an满足何种条件时 二次型 f x1 x2 xn 为正定二次 型 三 九 本题满分9分 设矩阵A 533 4 111 yx 已知A有3个线性无关的特征向量 2是A的二重特征值 试可 逆矩阵P 使得P 1AP为对角形矩阵 四 2001 年试题年试题 一填空题 每小题3分 1 设矩阵A满足A2 A 4E 0 其中E为单位矩阵 则 A E 1 一 2 设方程 2 1 1 11 11 11 3 2 1 x x x a a a 有无穷多个解 则 a 二 22 3 设矩阵A k k k k 111 111 111 111 且秩 A 3 则 k 三 四 4 设 行 列 式D 2235 0070 2222 0403 则 第4行 各 元 素 余 子 式 之 和 的 值 为 四 二选择题 每小题3分 1 设A 1111 1111 1111 1111 B 0000 0000 0000 0004 则A与B A 合同且相似 B 合同但不相似 C 不合同但相似 D 不合同且不相似 一 2 设A 44434241 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa aaaa B 41424344 31323334 21222324 11121314 aaaa aaaa aaaa aaaa P1 0001 0100 0010 1000 P2 1000 0010 0100 0001 其中A可逆 则B 1等于 三 四 A A 1P1P2 B P1A 1P2 C P1P2 A 1 D P2A 1P1 3 设A是n阶矩阵 是 n 维列向量 若秩 0 T aA 秩 A 则线性方程组 三 A AX 必有无穷多解 B AX 必有唯一解 C 0 X 0 A T y 仅有零解 D 0 y X 0 A T 必有非零解 23 三 本题满分6分 设 1 s为线性方程组 AX 0 的一个基础解系 1 t1 1 t2 2 2 t1 2 t2 3 s t1 s t2 1 其中t1 t2为实常数 试问 t1 t2满足什么关系时 1 2 s也为 AX 0 的一个基础解系 一 四 本题满分8分 已知3阶矩阵A与三维向量X 使得向量组X AX A2X线性无关 且满足A3X 3AX 2A2X 1 记P X AX A2X 求3阶矩阵B 使A PBP 1 2 计算行列式 A E 一 五 本题满分6分 已知矩阵A 111 011 001 B 011 101 110 且矩阵X满足AXA BXB AXB BXA E 其中E是3 阶单位阵 求X 二 六 本题满分6分 已知 1 2 3 4是线性方程组AX 0的一个基础解系 若 1 1 t 2 2 2 t 3 3 3 t 4 4 4 t 1 讨论实数t满足什么关系时 1 2 3 4也是AX 0 的一个基础解系 二 七 本题满分9分 设矩阵A 11a 1a1 a11 2 1 1 已知线性方程组AX 有解但不唯一 试求 1 的值 2 正交矩阵 Q 使 Q TAQ 为对角矩阵 三 四 八 本题满分8分 设A为 n 阶实对阵矩阵 秩 A n A aij n n中元素 aij的代数余子式 i j 1 2 n 二次 型f x1 x2 xn 1 记 X x1 x2 xn T 把 f x1 x2 xn 写成矩阵形式 并证明二次型f X 的矩阵为 A 1 2 二次型 g X XTAX与 f X 的规范形是否相同 说明理由 三 九 本题满分8分 设 i i1 i2 in T i 1 2 r rm 时仅有零解 B 当 n m 时必有非零解 C 当 m n 时仅有零解 D 当 m n 时必有非零解 4 设A是 n 阶实对称阵 P是 n 阶可逆矩阵 已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向 量 则矩阵 P 1AP T属于特征值 的特征向量是 三 A P 1 B PT C P D P 1 T 5 设 A B 为n阶矩阵 A B 分别为 A B 对应的伴随矩阵 分块矩阵 C 则 C 的伴随矩阵 C 四 A B B 0 0A A B A A 0 0B B C A B 0 0B A D B A 0 0A B 三 本题满分6分 已知4阶方阵A 1 2 3 4 1 2 3 4均为 4 阶列向量 其中 2 3 4线性无 关 1 2 2 3 如果 1 2 3 4 求线性方程组 AX 的通解 一 二 四 本题满分8分 设A B为同阶方阵 1 如果A B相似 试证A B的特征多项式相等 2 举一个二阶方阵的例子说明 1 的逆命题不成立 3 当A B均为实对称矩阵时 试证 1 的逆命题成立 一 五 本题满分6分 已知A B为3阶矩阵 且满足2A 1B B 4E 其中E是3阶单位矩阵 1 证明 矩阵A 2E可逆 2 若B 200 021 021 求矩阵A 六 本题满分8分 26 设齐次线性方程组 0 axbxbxbx 0 bxbxaxbx 0 bxbxbxax n321 n321 n321 其中 a 0 b 0 n 2 试讨论 a b 为何值时 方程组仅有零解 有无穷多组解 在有无穷多组解时 求出全部解 并用基础解系表示全部解 三 七 本题满分8分 设A为三阶实对称矩阵 且满足条件A2 2A 0 已知A的秩r A 2 1 求A的全部特征值 2 当 k 为何值时 矩阵A kE为正定矩阵 其中E为三阶单位阵 三 八 本题满分8分 设四元齐次线性方程组 为 0 xx2xx 0 x3x2x 4321 321 且已知另一四元齐次线性方程组 的一个基础解系为 1 2 1 a 2 1 T 2 1 2 4 a 8 T 1 求方程组 的一个基础解系 2 当 a 为何值时 方程组 与 有非零公共解 在有非零公共解时 求出全部非 零公共解 九 本题满分8分 设实对称阵A a11 1a1 11a 求可逆矩阵P 使APP 1 为对角矩阵 并计算行列式 A E 的值 2003 年试题年试题 一 填空题 每小题4分 1 从 2 R的基 0 1 1 1 1 2 到基 0 1 1 2 1 2 的过渡矩阵为 一 2 设 为3维列向量 是 T 的转置 若 TT 111 111 111 则 二 27 3 设三阶方阵A B满足 BABA2E 其中E为3阶单位矩阵 若 102 020 101 A 则 B 二 4 设n维向量E0aa00a T 为n阶单位矩阵 矩阵 TT a 1 EB EA 其中 A的逆矩阵为B 则a 三 四 5 设 A B 均为三阶矩阵 E 是 3 阶单位矩阵 已知 AB 2A B B 202 040 202 则 1 EA 四 二选择题 每小题 4 分 1 设向量组 I r21 可由向量组 II s21 线性表示 则 A 当 rs 时 向量组 II 必线性相关 C 当 rs 时 向量组 I 必线性相关 2 设有齐次线性方程组 AX 0 和 BX 0 其中 A B 均为nm 矩阵 现有 4 个命题 若 AX 0 的解均是 BX 0 的解 则秩 A 秩 B 若秩 A 秩 B 则 AX 0 的解均是 BX 0 的解 若 AX 0 与 BX 0 同解 则秩 A 秩 B 若秩 A 秩 B 则 AX 0 与 BX 0 同解 以上命题正确的是 A B C D 3 设 3 阶矩阵 A abb bab bba 若 A 的伴随矩阵的秩等于 1 则必有 A a b或a 2b 0 B a b或a 2b 0 C a b且a 2b 0 D a b且a 2b 0 4 设 s21 aaa 均为n维向量 下列结论不正确的是 三 28 A 若对于任意一组不全为零的数 ss2211 kkk 0 则 s21 aaa 线性无关 B 若 s21 aaa 线 性 相 关 则 对 于 任 意 一 组 不 全 为 零 的 数 s21 k k k 有 ss2211 kkk 0 C s21 aaa 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s D s21 aaa 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关 5 设矩阵 B 001 010 100 已知矩阵 A 相似于 B 则秩 A 2E 与秩 A E 之和等于 A 2 B 3 C 4 D 5 三 本题满分 10 分 设矩阵 A PAPB 100 101 010 P 322 232 223 1 求 B 2E 的特征值和特征向量 其中 A为 A 的 伴随矩阵 E 为 3 阶单位矩阵 一 四 本题满分 8 分 已知平面上 3 条不同直线的方程分别为 03b2aycxl 03a2cybxl 03c2byaxl 3 2 1 试证这三条直线交于一点的充分 必要条件为a b c 0 一 二 五 本题满分 10 分 若矩阵 A 600 a28 022 相似于对角矩阵 A 试确定常数a的值 并去可 逆矩阵 P 使 APP 1 二 六 本题满分 13 分 已知其次线性方程组 0 xbaxaxaxa 0 xaxbaxaxa 0 xaxaxbaxa 0 xaxaxaxba nn332211 nn332211 nn332211 nn332211 29 其中 1i i a 0 试讨论 n21 aaa 和b满足何种关系时 1 方程组仅有零解 2 方程组有非零解 在有非零解时 求此方程组得一个基础解系 三 七 本题满分 13 分 设二次型 0bx2bx2x2xaxAXXxxxf 31 2 3 2 2 2 1 T 321 其中二次型的矩阵 A 的特征 值之和为 1 特征值之积为 12 1 求a b的值 2 利用正交变换将二次型f化为标准形 并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵 三 八 本题满分 13 分 设 有 向 量 组 I T 3 T 2 T 1 2a11311201 和 向 量 组 II T 3 T 2 T 1 4a126a123a21 试问 当a为何值时 向量组 I 与 II 等价 当a为何值时 向量组 I 与 II 不等价 四 九 本题满分 13 分 设矩阵 A a11 121 112 可逆 向量 1 b 1 是矩阵 A的一个特征向量 是对应的特征值 其 中 A是矩阵 A 的伴随矩阵 试求a b 和 的值 四 2004 年试题 2004 年试题 一 填空题 每小题 4 分 1 设矩阵 100 021 012 A 矩阵 B 满足E2BAABA 其中 A为 A 的伴随矩阵 E 是单位 矩阵 则 B 一 二 2 二次型 2 13 2 32 2 21321 xxxxxxxxxf 的秩为 三 30 3 设 A 100 001 010 APPB 1 其中 P 为 3 阶可逆矩阵 则 22004 2AB 四 4 设 A 33ij a 是实正交矩阵 且 T 11 001b1a 则线性方程组 AX b的解是 四 二 选择题 每小题 4 分 1 设 A 是 3 阶方阵 将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B 再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C 则满足 AQ C 的可逆矩阵 Q 为 一 二 101 001 010 A 100 101 010 B 110 001 010 C 100 001 110 D 2 设 A B 为满足 AB 0 的任意两个非零矩阵 则必有 一 二 A A 的列向量线性相关 B 的行向量线性相关 B A 的列向量线性相关 B 的列向量线性相关 A A 的行向量线性相关 B 的行向量线性相关 A A 的行向量线性相关 B 的列向量线性相关 3 设 n 阶矩阵 A 与 B 等价 则必有 三 四 A 当 A a a 0 时 B a B 当 A a a 0 时 B a C 当 A 0 时 B 0 D 当 A 0 时 B 0 4 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A 0 若 4321 是非齐次线性方程组 AX b的互不相等的解 则对应的齐次线性方程组 AX 0 的基础解系 三 A 不存在 B 仅含一个非零解向量 C 含有两个线性无关的解向量 D 含有三个线性无关的解向量 三 本题满分 9 分 31 设有齐次线性方程组 0 xan nxnx 0 2x xa22x 0 xxxa1 n21 n21 n21 n 2 试问a取何值时 该方程组有 非零解 并求其通解 一 四 本题满分 9 分 设矩阵 51 341 321 A a 的特征方程有一个二重根 求a的值 并讨论 A 是否可相似对角化 一 二 五 本题满分 9 分 设有齐次线性方程组 0 xa44x4x4x 03xxa33x3x 0 2x2xxa22x 0 xxxxa1 4321 4321 43