构造特殊三角形解题.doc

构造特殊三角形求解1、如图，在等腰直角ABC中，A=900,P是ABC内一点，PA=1,PB=3,PC=,则CPA的大小是 。2已知：如图，为等边ABC内一点，且PA=3,PB=4,PC=5，则APB的度数为 3、如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，ABC是等边三角形ADC=30，AD = 3，BD = 5，则CD的长为（ ）（A） （B）4 （C） （D）4.5ABCPD4、如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，如果DAC=56，CAB=20，那么BCD= 5、如图，设P到等边两顶点A、B的距离分别为2、3，则PC所能达到的最大值为（ ） 6、如图，在中，,以为边的是等边三角形，则的最大值为 ，最小值为 。7、在正中，P是内的一点，已知，则以PA、PB、PC为边的三角形的每个内角的度数为 。8、如图，P是等边ABC中的一个点，PA=2,PB=,PC=4,则ABC的边长是 。9、如图：已知ABC中，ABAC，BAC900，直角EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：AECF;EPF是等腰直角三角形;EFAP;当EPF在ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个ABPDC10、如图所示，是矩形内一点，,则 。11、如图，为正方形内一点，若，则的度数是（ ）A、120B、135 C、145D、15012.（2010永州）探究问题：（1）阅读理解：如图（A），在已知ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P为ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为ABC的费马距离；如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有ABCD+BCDA=ACBD此为托勒密定理；（2）知识迁移：请你利用托勒密定理，解决如下问题：如图（C），已知点P为等边ABC外接圆的上任意一点求证：PB+PC=PA；根据（2）的结论，我们有如下探寻ABC（其中A、B、C均小于120）的费马点和费马距离的方法：第一步：如图（D），在ABC的外部以BC为边长作等边BCD及其外接圆；第二步：在上任取一点P，连接PA、PB、PC、PD易知PA+PB+PC=PA+（PB+PC）=PA+ ；第三步：请你根据（1）中定义，在图（D）中找出ABC的费马点P，并请指出线段 的长度即为ABC的费马距离（3）知识应用：2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的ABC（其中A、B、C均小于120），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值（2）证明：由托勒密定理可知PBAC+PCAB=PABCABC是等边三角形AB=AC=BC，PB+PC=PA，PD、AD，（3）解：如图，以BC为边长在ABC的外部作等边BCD，连接AD，则知线段AD的长即为ABC的费马距离BCD为等边三角形，BC=4，CBD=60，BD=BC=4，ABC=30，ABD=90，在RtABD中，AB=3，BD=4，AD=5（km），从水井P（即图中的D点）到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度的最小值为5km（2）知识迁移问，只需按照题意套用托勒密定理，再利用等边三角形三边相等，将所得等式两边都除以等边三角形的边长，即可获证问，借用问结论，及线段的性质“两点之间线段最短”数学容易获解13.如图，在ABC中，ACB=900，BC=2,P是ABC内一点，使得PA+PB+PC的值最小为，求ABC的度数。解：即P点是费马点，根据费马点的结论，以BC边向外作等边BCD，AD长即为PA+PB+PC的最小值即，AD=，现在问题就变得简单了，不难求得AC=2,故B = 6014、如图，设P是边长为1的正内的一点，求证：。15、如图，正方形ABCD内一点E，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长解：以A为旋转中心，将ABE旋转60得到AMN，连NE，MB，过M作MPBC交BC的延长线于P点，如图，MN=BE，AN=AE，NAE=60，ANE为等边三角形，AE=NE，AE+EB+EC=MN+NE+EC，当AE+EB+EC取最小值时，折线MNEC成为线段，则MC=，AB=AM，BAM=60，ABM为等边三角形，MBC=150，则PBM=30，在RtPMC中，设BC=x，PM=，所以所以x=2，BC=2，即正方形的边长为216如图9所示，在等腰ABC中，AB=AC, BAC=1000,延长AB到D，使AD=BC,连接DC,则BCD的度数是 .17、如图：在ABC中，C=900，CAD=300,AC=BC=AD,则CBD= 。18如图12所示，在ABC中，AC=BC, ACB=800,在ABC内取一点M，使得MBA=300,MAB=100那么AMC的度数是 19、如图，在ABC中，ABC=46，D是BC边上一点，DC=AB，DAB=21，求CAD的度数。 20、如图，在ABC中，ACB=40，D是BC边上一点，BD=AC，DAC=30，求ADB的度数。21.已知：如图，在等腰直角ABC中，ACB=90，AC=BC，点D是ABC内的一点，且AD=AC，若DAC=30，试探究BD与CD的数量关系并加以证明解：BD=CD证明：作BEBC，AEAC，两线相交于点E，ABC是等腰直角三角形，即AC=BC，四边形AEBC是正方形，DAC=30，DAE=60，AD=AC，AD=AE，AED是等边三角形，AED=60，DEB=30，在ADC和EDB中，ADED，DACDEB30，ACBEADCEDB（SAS），BD=CD22、如图，在等腰ABC中，延长边AB到D，延长边CA到E，连接DE，恰有AD=BC=CE=DE。求证：BAC=100。证明：过C作AD 的平行线，与过D所作的BC的平行线交于点F，连结EF，可知BCFD为平行四边形 DBCFBCDF EADECF 在ADE与CEF中 ADCEAEDBCF EADECF EDEF 但EDBCDF DEF为等边三角形 DEF60 设BAC，则 ADFABCDAE（180 ）ADE1802DAE 1802（180）2180 由ADFADEEDF60可知 解之得100 即BAC10023.如图，在ABC中，ABCBAC70，P为形内一点，PAB40，PBA20，求证：PAPBPC截长法证明：过P作AB的平行线PD，再以B为圆心，AP为半径画弧，与PD交于D，连接BD,CD,过C作CEPD于E，延长BP与AC交于F，因为PDAB且AP=BD,则四边形ABDP为等腰梯形，BAP=ABD=40,ABP=20,DBP=BPD=20,AP=BD=PD,又因为AC=BC, CAP=CBP=30.AP=BD,所以ACPBCD,则CP=CD,ACP=BCP.又因为CEPD,所以PE=DE=PD,PCE=DCE,延长BP与AC交于F，因为BAP=40,ABP=20,FAP=30,所以AFP=90,PF=AP,则CFP=CEP=90,PE=PF=PD,CP=CP,所以CFPCEP,FCP=ECP,FCP=PCE=ECD=DCB=10,在CP上截取PG=AP，则CAG=GCA=10,所以CG=AG,则APGBPD,所以AG=BP,所以CP=CG+GP=BP+AP,结论得证。补短法证明：因为ABC=BAC=70，所以AC=BC,ACB=40。如图，在BP延长线上取一点G，使PG=PA，连接AG,CG，APB=120,所以APG=60，因此APG是等边三角形。由PAC=30=GAC,可得AC为PG的垂直平分线，所以GC=PC, GCA=PCA,将CAG逆时针旋转到BCD的位置。因此GCD=GCA+ACD=ACD+BCD=40,作CEPD,交PD于E，由PC=DC,得CEPD,因此PDAB,由DBC=GAC=30, DBA=40, DBP=20,所以PD=BD=PG,此时GCPDCP,所以DCP=GCP,所以GCA=GCP=GCD=ACB=40=10,所以GCB=GCA+ACB=10+40=50=GBC,GB=GC,但PC=GC,所以PC=BG=GP+PB=PA+PB.19、在ABC中,ABC=BAC=70,P为ABC内一点,使得:PAB=40,PBA=20.若AP+BP=10，求点P到BC的距离。解：过P作PDCB于D点，延长BP到E，使PE=PA,因为APE=60,所以PAE为等边三角形，以BA为对称轴，作点E的对称点F，连接BF，作BF的中点G，连接PG,PF,因为PAE为等边三角形，所以E=PAE=60,AE=AP=PE,所以BAE=40+60=100,由对称性，有BAF=BAE=100,AE=AF, AFB=E=60, PBA=FBA=20,BF=BE,所以PAF中，有PA=AF, PAF=100+40=140,所以AFP=20,所以PFB=6020=40。因为PBA=FBA=20,所以PBF=PFB=40.所以PB=PF,又G为BF的中点，所以PGBG,因为DBG=DBA+PBA=70+20=90,又PDB=90,所以DPGB为矩形，所以PD=BG,因为BE=BP+PE=BP+PA=10,所以BF=10,所以BG=5,PD=5.24、在ABC中，ABC=40，ACB=40，P为三角形内一点，且PCA=20，PAB=20求PBC的度数解:取点P关于BC的对称点E，连接BE,PE,CE,AE,则：BCE=BCP=ACBPCA=4020=20,ECA=BCE+ACB=60, ABC=ACB=40,则AB=AC, BAC=100,又PAB=20,则CAP=80,CPA=180PCACAP=80,即CPA=CAP,得CA=CP=CE,所以AEC为等边三角形，AB=AC=AE, EAC=60.则BEC=BACEAC=40,又PAB=20,故BAP=EAP,又AP=AP所以BAPEAP,得PE=PB=BE,即PBE也是等边三角形，故PBE=60, PBC=EBC=30.ACPBQM25（2011数学周报杯）、如图，ABC中，BAC60，AB2AC。点P在ABC内，且PA，PB5，PC2，求ABC的面积。解：如图，作ABQ，使得：QABPAC，ABQACP，则ABQ ACP，由于AB2AC，相似比为2于是，AQ2 AP2，BQ2CP4QAPQABBAPPACBAPBAC60由AQ：AP2：1知，APQ900于是，PQAP3BP225BQ 2PQ 2 从而BQP900作AMBQ于M，由BQA1200，知AQM600，QM，AM3，于是，AB2BM 2AM 2 (4) 232288故SABCABACsin600AB 226如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM 求证：AMBENB； 当M点在何处时，AMCM的值最小；当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由；EA DB CNM 当AMBMCM的最小值为时，求正方形的边长（2）当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小理由如下：连接MN，由（1）知，AMBENB，AM=EN，MBN=60，MB=NB，BMN是等边三角形BM=MNAM+BM+CM=EN+MN+CM根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短当M点位于BD与CE的交点处时，