（运筹学与控制论专业论文）基于极值理论的保证金研究.pdf

基于极值理论的保证金研究 摘要 预留保证金的合理设定是确保股指期货交易高效和安全的保证。保证金水平 通常用风险价值来衡量。风险价值法是当今国际上金融风险管理的主流方法之 一，并且形成了多种不同的计算风险价值的方法。然而，在绝大多数计算方法中， 正态分布都无一例外的被作为最基本的前提假设，但很多文献研究证明，金融回 报序列往往呈现出明显的尖峰厚尾特性，这就使得在正态分布假设下所计算出的 风险价值常常会低估实际风险。为此，本文引入基于极值理论的新算法来克服正 态分布的这一缺陷，以达到提高风险价值估算精度的目的。 本文在极值理论广义帕累托分布下，研究了以沪深3 0 0 和上证5 0 为标的、 考虑了不同头寸的胶指期货的保证金水平，并且与正态分布假设下的保证金水平 进行比较，以证明正态分布假设下的风险价值的确被低估。在模型改进中，本文 将极值理论和传统的基于g - h 分布的方法结合起来，比较其与使用帕累托拟合的 优异性。 关键词t 极值理论，p o t 模型，v a r , e s , g - h 分布 基于极值理论的保证金研究 a b s t r a c t t h ee x i s t e n c eo f m a r g i nm o n e yg u a r a n t e e st h es a f e n e s sa n dh i g ha v a i l a b i l i t yo f f u t u r e sb a r g a i n v a l u ea ti u s k ( v a r ) i sn o wo n eo f t h em o s tp o p u l a rm e t h o d sw h i c h a r eu s e dt om a n a g ef i n a n c i a lr i s ki nt h ew o r l d m a n yc o r p o r a t i o n sa n ds c h o l a r st a k e g r e a te f f o r t st os t u d yt h i sp r o j e c t h o w e v e r ，i nt h em o s tm e t h o d so f v a rc a l c u l a t i o n , n o r m a ld i s t r i b u t i o no f r e t u r n si su n q u e s t i o n a b l yc h o s et os e r v e 嬲t h ee l e m e n t a r y h y p o t h e s i s m a n ye m p i r i c a ls t u d i e si n d i c a t et h a tt h er e a ld i s t r i b u t i o no f t h ep e r c e n t a g e p r i c ec h a n g ei sn o tn o r m a ld i s t r i b u t i o nf o ri th a sp a l p a b l ef a t t e rt a i l sa n dat h i n n e r w a i s t s ot h ev a ro nt h eb a s i so f n o r m a ld i s t r i b u t i o no f t e nl e a d st ou n d e r e s t i m a t i o n o f t h er e a lr i s k i nt h i sp a p e ran e wa l g o r i t h mb a s e do nt h ee x t r e m ev a l u et h e o r ya r e a p p l i e dt oc o n q u e rt h es h o r t c o m i n go f n o r m a ld i s t r i b u t i o nh y p o t h e s i si no r d e rt o i n c r e a s et h ea c c u r a c yo f v a re s t i m a t i o n t h i sp a p e re x a m i n e st h ep r o p e rm a r g i nl e v e lo f t h ef u t u r ec o n t r a c to f h n s h c n 3 0 0i n d e xa n ds h a n g h a i5 0i n d e x ，a p p l i e sg e n e r a l i z e dp a r e t od i s t r i b u t i o ni n h e r i t e d f r o me x t r e m ev a l u et h e o r yt oe x a m i n et h ep r u d e n tm a r g i np o l i c yf o rp r i c ee x t r e m e m o v e m e n t s t h i sp a p e rs u g g e s t ss e l e c t i n ge x p e c t e ds h o r t f a l lu n d e rg p da sb a s i so f m a r g i nl e v e ls e t t i n g ，a n dc o n s i d e r i n gs e t t i n gd i f f e r e n tm a r g i nl e v e lf o rl o n ga n ds h o r t p o s i t i o n s w ea l s oi m p r o v et h em o d e la tt h el a s tp a r t ，w h i c hi sa s s o c i a t i n ge x t r e m e v a l u et h e o r y 谢t l lg - hd i s t r i b u t i o nt oe x a m i n et h em a r g i nl e v e l k e yw o r d s ：e x t r e m ev a l u et h e o r y ，p o tm o d e l ，v a l u ea tr i s k , e x p e c t e ds h o r t f a l l ， g - hd i s t r i b u t i o n i i 基于极值理论的保证金研究 一、引言 作为风险管理和控制的有效工具，适时、科学地推交易所衍生品是完善我国 金融体系的必经之路。从新兴市场经济国家和发展中国家发展金融衍生产品的经 验来看，股指期货是新兴市场开设金融衍生品交易的首选品种。我国股票市场的 发展、机构投资者的逐步壮大、监管体系和期货市场的完善都为股指期货开展提 供了良好的基础。另外，包括沪深3 0 0 指数、上证1 8 0 指数、上证5 0 指数在内的各 种指数已经或者正在得到市场的广泛认同。我国开设股指期货的基本条件已经具 备，股指期货的推出呼之欲出，与此同时风险控制就显得尤为重要。 在整个期货市场制度建设中，其中最重要的环节是保证金水平的合理设定。 相对于原有的商品期货，股指期货的现货市场无论是在规模、市场参与者、社会 影响力还是在价格形成与涨落机制、价格涨跌的限制方式、期现两市场之间的联 动性以及市场效率等方面均非商品现货市场可以比拟。这从互相矛盾的两方面对 期交所提出了更高的要求。一方面要求期交所有更高的控制违约风险的能力；另 一方面要求期交所吸引更多的市场参与者，保持较高的市场流动性以充分发挥股 指期货市场的转移与分散风险的功能。因此在设定保证金水平时，必须兼顾到市 场流动性与违约发生可能性两者间此消彼涨的关系。当保证金水平设定过低时， 则期货价格波动的幅度容易超过保证金要求的水平，导致交易一方不支付违约风 险的产生，而让交易所面临巨大的风险进而可能危及整个金融秩序。另外一方面， 如果完全消除违约风险而设定非常高的保证金水平，则此时又会增加投资者的交 易成本，降低其参与市场的积极性，导致股指期货的流动性水平降低。因此，设 定适当的保证金水平是我国推出股指期货过程中重要的研究课题。 同时，对于股指期货的一个重要参与者基金公司而言，如何预留合适的风险 准备金就更为重要了。由于期货头寸是逐日盯市的，如果股指期货空头开仓后指 数上涨，或者股指期货多头开仓后指数下跌，那么套利者应准备为变动保证金融 资，变动保证金风险通常是通过维持储备保证金来管理的。如果这笔资金规模太 小，那么套利者必须平掉部分期货仓位或者借入资金补充保证金，如果这笔资金 规模太大，那么将降低资金的使用效益，还要承担资金的机会成本，因此确定一 基于撮值理论的保证金研究 个最优的储备保证金规模对投资者来说非常重要。 保证金设置的基本问题是在一个交易目或者一段期闻内，在给定或是可接受 的违约概率下，最佳的保证金水平为多少? 因此保证金水平的高低主要与超过违 约概率的大幅度期货价格变动行为有关，而与小幅或者中幅度负向价格变动的行 为没有关系。对于多头头寸而言，保证金水平受到大幅度负向价格变动的影响， 而空头头寸则是受到大幅度正向价格变动的影响，因此期货价格变动的尾部分布 是决定保证金水平设置的关键所在。 本文拟采用的方法是通过计算基于极值理论( e v t ) 的p o t 模型的广义帕累托 分布( g e n e r a l i z e dp a r e t od i s t r i b u t i o n ) 下的风险价值( v a l u e 甜r i s k ) 和损失期 望值( e x p e c t e ds h o r t f a l l ) 作为确定保证金水平的依据。鉴于实际的预留保证金 和保证金水平成线形关系，因此本文只分析保证金水平。同时也对保证金设置迸 行多头和空头的区分，讨论是否应针对不同的持有部位而设定不同的期货保证金 水平。 二、国内外研究综述 自2 0 世纪7 0 年代以来，金融市场的波动日益加剧，一些金融危机事件频繁发 生，这使金融监管机构和广大的投资者对金融资产价值的暴跌变得尤为敏感。金 融资产收益序列的尖峰、厚尾现象也使传统的正态分布假定受到严重的质疑，因 此如何有效地刻画金融资产收益序列的尾部特征，给出其渐近分布形式，及各种 风险度量模型的准确估计方法和置信区间，对于金融机构改进风险度量方法、制 定投资策略，国家制定风险监管制度等都具有重大意义。 由于金融资产收益率的分布假设是现代金融理论和金融市场风险分析的重 要前提，通常假设金融资产收益率服从正态分布，而实际金融数据并非如此。大 量的实证研究表明，股票市场收益分布明显偏离正态分布，呈现厚尾特性。具有 厚尾特征的分布在金融领域的实际应用中经常出现，对这类问题往往很难用正态 分布去描述，即使这样做往往效果也很差。从最近的学术界研究成果来看，用统 计方法决定保证金水平十分流行，并向两个方向发展。一个方向是用一些新的波 动率预测方法来代替旧的波动率预测方法。如l a m e t a l ( 2 0 0 2 ) 比较研究了恒生 2 基于极值理论的保证金研究 指数期货保证金设定中的简单移动平均法、指数加权移动平均法与g a r c h 等三 种方法的效果，结果表明在同样的审慎性水平下，g 越t c h 模型的过高要价最低 第二个方向是利用极值理论的方法来估计保证金水平。如c o t t e r ( 2 0 0 1 ) 利用极 值分布理论中的h i l l 估计式研究在欧洲交易所挂牌的几个主要股指期货的保证金 水平，实证结果发现这些股指期货保证金水平的设定适当的。 本文采取的是基于极值理论的p o t 模型方法来度量风险价值( v a l u ea t 硒s k ， 简记为v a r ) 和损失期望值( e x p e c t e ds h o r t f u l l ，简记为e s ) 。极值理论的优点 在于它没有假设特定的模型，而是让数据自己去选择，对突发事件具有较强的预 见性，而g a r c h 族模型作为估计风险的一种方法，只能反映当时的波动率情况， 缺乏对突发事件的预见性。本文运用实证研究沪深3 0 0 指数日收益率分布的稳定 特性，并提出帕累托分布下的跆斤模型，同常用的正态分布下冶卉进行了比较，结 果表明正态分布拟合低估了可能发生的损失，而用稳定分布来拟合能加大对中国 股市波动率的预测，更适合于容易产生急剧变化的情况。 三、研究方法 1 、市场风险测量方法 在期货交易中，保证金充当交易者发生违约时抵消可能损失的抵押品的作 用。因此，可以通过对期货标的物风险水平的测量来确定恰当的保证金水平。风 险价值( v a l u ea tr i s k ，简记为v a r ) 和损失期望值( e x p e c t e ds h o r t f u l l ，简记为 e 譬) 是能够较好的捕捉保证金反相变动的工具。这种测量方法可以被金融机构 用来衡量它们持有头寸的风险，也可以被监管机构用来确定保证金水平。 玩置是一种被广泛接受的风险度量工具，它定义为在一定的置信水平p 下， 某一资产或投资组合在未来特定时间内的最大损失。假设z 代表某一金融资产 的损失，其密度函数为f ( x ) ，则v a r 可以表示为： v a r p = i n f x i f ( x x ) 肼 ( 1 ) 当密度函数厂( 工) 为连续函数时也可以表示为：v a r p = f 一1 ( p ) ，其中f 1 1 称为分位 基于极值理论的保证金研究 数函数，是损失分布f ( x ) 的反函数。 该模型计算简单，在证券组合损失r 符合正态分布，组合中的证券数量不 发生变化时，可以比较有效的控制组合的风险。但是l i a r 模型只关心超过v a r 值 的频率，而不关心超过v a r 值的损失分布情况，且在处理损失符合非正态分布( 如 厚尾现象) 及投资组合发生改变时表 现不稳定，会出现 殴氓p ( x + d v a r p ( x ) + v a r ，( y ) ( 2 ) 的现象，不满足一致性风险度量模型的次可加性，不鼓励进行分散投资，因此， 不是一个令人满意的风险度量标准。 强，j ，又称c p 锻，定义为在一定的最信水平p 下，某一资产或投资组合在 未来特定时间内的损失超过p 锨。的条件期望，它满足次可加性、齐次性、单调 性、平移不变性条件，是一致性风险度量模型。假设x 为某金融资产的损失， 其分布函数为f ( 工) ，则e & 们( x ) 可以表示为： 雹x ) = 击f f - ) ( 口) 亦( ( 硼 ( 3 ) 其中，f 1 ) = i n f x t f ( x ) 口) ，当损失x 的密度函数连续时，j 强，) 可以简单的表示 为：e s v = e x i f ( x ) p 。本文将分别选用这两个测量标准来度量金融资产的风险。 2 、极值理论 极值理论是次序统计理论的一个分支，其基础是1 9 4 3 年g n e d e n d o 建立的 著名的极值定理，该理论定理认为极值的极限分布与本身的分布是独立的。 g u m b e l 于1 9 5 8 年对这一学科的研究作了系统的总结，从而形成了极值理论。 极值理论是测量极端市场条件下风险损失的一种方法，它具有超越样本数据 的估计能力，并可以准确地描述分布尾部的分位数。它主要包括两类模型：b 删 模型( b l o c km a x i m am e t h o d ) 和p o t 模型( p e a k so v e rt h r e s h o l d ) 。传统的 b m m 模型，即在连续的人为划分的各个区间段中考虑其极大观察值构成的极端事 4 基于极值理论的保证金研究 件，其分布有广义极值分布( g e n e r a l i z e de x t r e m ev a l u e ，简称g e v ) ；今年新 发展起来的超越阈值( p e a k so v e rt h r e s h o l d ，简称p o t ) 模型，即观测超越了 一定人为设定的阈值的观察值以及它们所构成的极端事件，其分布有广义帕累托 分布( g e n e r a l i z e dp a r e t od i s t r i b u t i o n ，简称g p d ) 。这两类模型的共同点 就是只考虑分布尾郝的近似表达，并不是针对整个分布进行建模。然而，两类模 型也有以下区别： 在极值数据的获取方法上有区别。b 删模型通过对数据进行分组，然后 从每个小组中选取最大的一个数据构成新的极值数据组，并对该数据组进行建 模；p o t 模型则通过事先设定一个阈值( t h r e s h o l d ) ，把所有观测到的超过这 一阈值的数据构成一个数据组，以该极值数据组作为建模的对象。 b m m 模型是一种传统的极值分析方法，主要用于处理具有明显季节性 数据的极值问题；p o t 模型是一种较新的模型，对数据要求的数量比较少，是 现在经常使用的一类极值模型，本文所用的模型正是属于p o t 模型的一种。 b m m 模型主要用于对未来一段较长的时间内的v a r 和e s 预测，而p o t 则可以进行单步预测，给出在未来一段小的时间内v a r 和e s 的估计值。 b m m 模型的前提条件是样本独立同分布，p o t 模型的前提条件是超限 ( 超过阈值的变量) 发生的时间服从泊松分布，超限彼此相互独立，服从g p d ( g e n e r a l i z e dp a r e t od i s t r i b u t i o n ，广义帕累托) 分布，且超限与超限发生的时间相 互独立。样本独立同分布同样可以保证p o t 模型的前提条件。 b m m 模型适用于大样本资料，主要运用于分析压力损失；而p o t 模型适用 于样本为高过某一阈值的资料，较能有效利用有限的数据，主要用于估计v a r 和e 并且b a l k e m aa n dd eh a a n 和p i e k a n d s 提出的理论表明：只要有足够高的 门限值p ，超越门限值的分布( 尾部分布) 都可以由g p d 来近似描述，即随着 门限值的增大，所有尾部分布都可以收敛于g p d 。本文使用的就是基于极值理 论的p o t 模型。 基于极值理论的保证金研究 2 1p o t 模型的理论基础 2 1 1f i s h e r t i p p e t t 定理 在极值分布族中，单参数的分布常常被称为广义极值分布( g e v ) 。标准广义 极值分布的分布函数为 fj 日( 工) ： 麟p ( - ( 1 + s x ) 3 ) ，若s 0 ( 4 ) 【e x p ( - e 。) ，都= 0 其中满足1 + & 0 ，而s 是形状参数。作为广义极值分布的三个特例，当 s 0 时为f r e c h e t 分布；当s 0 时为w e i b u l l 分布；当s = 0 时为g u m b e l 分布。 f i s h e r t i p p e t t ( 1 9 8 2 ) 给出f e m d a ( h ) jh 属于对应于某一个s 的日。 因此如果已知经过规范化后的极大值依分布收敛，那么其极限分布必将是广 义极值分布。 若分布函数f ( x ) 的尾部以幂函数形式衰退，那么这个分布属于f r e c h e t 的吸 引区域。这一一类分布族非常大，它包括p a r e t o 、b u r r 、l o g g a m m a 、c a u c h y 、t 分布等。这类分布我们称之为厚尾分布，它们中的大多数被用来拟合损失数据。 下后面的实证分析中，我们将使用p a r e t o 分布来拟合数据，并且对其拟合效果进 行分析。 落在g u m b e l 分布( 1 i p s ：0 ) 的最大吸引域m d a ( 风) 内的分布包括正态分布、指 数分布、g a m m a 和i o n - - n o r m a l 分布，我们称这类分布为均尾分布。这类分布在保 险中有一定价值。属于w e i b u l l ( 即当s 0 ，当j 0 时其支撑集是x 0 ，而当s 甜 五。) 。 定义平均超额函数：e ( u ) = e ( y ) = 研x u l x “】 ，“- u ) + 则样本超额函数为： ) = 型f 一 z 1 “。) i = l 对于g p d 模型，积分求其平均超额函数为： 咖) = 等承1 则对u 求导确型d u = 去= 常数 1 0 基于极值理论的保证垒研究 这表明e ( u ) 是关于的线性函数，因而若将”设为横轴，e ( u ) 设为纵轴，作 散点图。选取充分大韵“作为朗值，使得当工时p ( 力为近似线性函数。另外， 如果超限期望图当x “时是向上倾斜的，说明数据来源于参数善为正的g p d 分 布：如果超限期望图当x 甜时是向下倾斜的，说明数据来源于尾部较短的分布； 如果超限期望图当x “时是水平的，则说明该数据来源于指数分布。这一判断 方法是根据广义p a r e t o 分布在参数f 咖等仃+ 渺o 2 4 确定参数以及计算v a r 和e s 当阈值“确定以后，利用样本的数据，根据公式( 9 ) 进行最大似然估计得 到善和彦。同时，我们得到拓) 的值中比阈值“大的个数，记为m ，根据公式( 7 ) 用频率代替f ( u ) 的值，可以得到，( z ) 的表达式： ，c z ，= e c y ，c ，一，c “，+ ，c ”，= 善：三：三i ：二霉：_ 。一等) 。， i 一等c + 导c 圹w 川 【卜鲁e 巾叫“ 倒 对于给定某个置信水平p ，可以由 互) 的分布函数公式( 7 ) 可以得到： 砌心= “+ 了c r ( 瓦n ( 1 一p ) ) 一1 ) 善。 瞰争，= 。 n 。 e s ，= v a r p + e ( z v a r p i z v a r p ) 根据g p d 的条件分布函数公式( 5 ) 可以得到： 基于极值理论的保证金研究 晖= p a r r + 警= 器+ 等 ， 至此，利用f 和盯我们就可以将阮心 e s v 计算出来。 三、实证分析 1 、实证内容简述 本文要做的是有关极值模型在中国的实证，由于中国金融市场中目前最易取 得也最为充足的数据只有股市的数据，因此接下来的实证用的是沪深3 0 0 等综指 的数据。当然，为了得到较好的结果，本文将对这些原始数据进行一些特殊的处 理以消除其嘈杂信息，主要办法是将日收盘价转换成日收益率，考察其平稳性、 正态分布效应及a r c h 效应等，看其是否适合极值理论的基本假设，然后对其 进行实证分析。 在这一部分中，实证分析主要是包括两个模型，第一种是传统v a r 模型， 这也是使用较广的一种模型，第二种是基于极值理论的v a r 模型( 即用极值方 法对资产p a r 和e s 求解) 。我们的首选考察对象是沪深3 0 0 指数，但鉴于沪深 3 0 0 的成立时间不长，数据量不足，我们最后也将上证5 0 指数也纳入考察范围。 2 数据处理 2 1 考察对象：沪深3 0 0 样本区间：i 0 4 2 0 0 p - 3 1 4 2 0 0 7 ，共2 8 6 个数据( 这里我们共考虑三种 情况：统一情况，空头和多头) 。 基于极值理论的保证金研究 2 2 计算出沪深3 0 0 的日收益率 我们利用e v i e w s 软件计算沪深3 0 0 在样本区间内的日收益率，计算公式为： e 岫( c 一) 珈白 ( 1 3 ) 其中，只是沪深3 0 0 第，日的收盘价，t = 1 , 2 ，2 8 6 。 得到的日收益率图如下图2 所示。 图2 2 0 0 6 m 0 4 2 0 0 6 m 0 72 0 0 6 m 102 0 0 7 m 0 1 直观上看，日收益率具有明显的波动性和聚众性，一次大的波动会伴随着多 次小的波动。 日收益率的分布直方图如下图3 所示。 基于极值理论的保证金研究 图3 从上图3 中的数据可以看出，日收益率出现较高的峰度，不是对称分布，出 现一定程度的右偏态，并且j a r q u e b e r a 统计量也明显拒绝正态分布假设。如果 用正态分布来计算风险价值，将出现低估的情形，这将在后面的实证分析中给与 说明。 沪深3 0 0 指数期货尚未正式推出，没有直接的数据可以进行v a r 量化分析。但 是，为了更好的让投资者理解股指期货市场风险，假设在以下前提下进行量化分 析： ( 1 ) 将沪深3 0 0 现货指数的收益率假设为沪深3 0 0 股指期货的收益率。虽然 我国股指期货尚未推出，但国际经验表明，股指期货的波动性基本与现货一致。 ( 2 ) 为了处理日收益率的尖峰厚尾问题，假设收益率服从帕累托分布。 ( 3 ) 根据不同客户的风险偏好，我们分别在9 5 9 9 的置信度下计算1 天 持有期的瞻以 2 3 数据检验 2 3 1 平稳性检验 基于s i c ( s c h w a r zi n f oc r i t e r i o n ) 准则，用单位根方法( a d f ) 检验时间 1 4 基于极值理论的保证金研究 序列的平稳性，得到结果如下表1 所示。 表1 a d f 检验值一1 6 7 6 0 2 9 t e s t c r i t i c a lv a l u e s ： 1 l e v e l- 3 4 5 3 2 3 4 5 l e v e l- 2 8 7 1 5 1 0 l0 9 6l e v e l- 2 5 7 2 1 5 4 上表中的检验值小与1 时的值，证明它在1 的水平下是显著平稳的。 2 3 2 自相关性检验 对这2 8 5 个数据的十二阶滞后量分别求自相关函数值与偏自相关函数值，如 下表2 所示。 表2 a u t o c o r r e l a t i o np a r t i a ic o r r e l a t i o na cp a co - s t a tp r o b 10 0 d 2 20 0 1 6 3 - 0 0 2 5 40 0 7 b 50 5 6 - 0 1 1 9 7 旬0 7 6 8 田1 0 5 900 2 1 1 00 0 6 1 ”0 0 2 b 1 20 ，0 1 6 0 ，0 0 0 8 00 7 8 2 02 6 1 7 20 3 2 1 4 ，1 2 9 5 8 2 6 5 4 9 9 8 4 9 1 3 2 5 1 1 33 j b l 1 44 7 6 1 47 1 3 1 47 9 3 由表2 中的q 统计量可知，日收益率并没有表现出显著的自相关性。 2 3 3a r c h 效应检验 利用s - p l u s 对日收益率进行a r c h 效应检验，结果现实没有a r c h 效应，因 此我们使用极值理论显得更为合适。 哪蛇辱i瑚吲抛僧似懈悦懦弼 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0啦嘶嗡啪瞄似研他瞄嘶叫哑 0 0 0 0 0 0 o 0 0 0 0 0 基于极值理论的保证金研究 3 沪深3 0 0 实证分析 3 1 用传统的v a r 模型( 基于正态分布) 求v a r 设u 和o r 分别是收益率的期望和标准差，根据风险度量模型的定义，v a r 和 e s 的计算公式如下： v a r 。= + o r + q ( p ) ( 1 4 ) 其中，g 是标准正态分布下的分位数函数，p 是给定的置信水平。 e s 。= f e x l x v a r p = u + o r + ( 2 ) ( 1 一m ( z ) ) ( 1 5 ) 其中，z = ( v a r , 一, u ) o r ，( z ) 是标准正态密度函数，中( z ) 是标准正态累积 分布函数。 利用s - p l u s 软件可以很方便的求出在给定的置信水平下的v a 8 和e s , 结果 如下表3 所示。 表3 、 置信水平 9 9 9 8 9 7 9 6 9 5 v a r 用正态分布求出的眦 0 0 3 6 1 9 6o 0 3 1 5 3 9 0 0 2 8 5 8 30 0 2 6 3 6 10 0 2 4 5 5 2 用正态分布求出的e s 0 0 4 9 0 9 00 0 4 4 9 1 6 0 0 4 2 3 0 4 0 0 4 0 3 6 10 0 3 8 7 9 6 3 2 用极值理论计算 3 2 1 确定阈值 为更准确的确定阈值，我们可以同时结合h i l l 图和超限期望图来确定阈值。 以下两个图分别是统一情况时的h i l l 图和超限期望图。 1 6 基于极值理论的保证金研究 山 c 王 图4 n 抽h 0 0 2 - o j o o o0 0 1 7 9 q o o0 0 1 1 9 0 0 0 0 0 0 7 7 0 0 0 0 0 0 4 3 6 0 0 o0 0 2 1 2 0 0 1 5 刁3 1 骝盯5 5 明7 17 98 7 蛄1 晒1 1 61 2 71 弼1 4 91 1 7 11 舰 0 r d 郇s t m i s t i c s 图5 1 7 t h r e s h o l d 一岫哑骨。丘石一_皇4 基于极值理论的保证金研究 根据h i l l 图和超限期望图，我们将阈值取为0 0 1 2 。然后将确定阈值后的 尾部数据的散点图和广义帕霰托分布进行对比，见下图6 。 图6 卫 口 卫 c 一 口 l 二 x ( 0 nj o gs c a l e ) 由图6 可以观察到，尾部数据的散点图和帕累托分布拟合的效果很好，因 此我们使用广义帕累托分布来拟合尾部数据是适合的，接下来我们将进一步求解 所需的数据。 3 2 3 利用s p l u s 求解 确定最优阈值后，用最大似然法对g p d 中的参数f 和盯进行估计，然后进一 步推算不同违约概率下的脚和e s , 结果如下表4 所示。 表4 亥q 逊1 9 9 9 8 9 7 9 6 9 5 用p a r e t o 求出的v a r 0 0 7 0 8 5 30 0 5 6 3 5 70 0 4 8 3 7 70 0 4 2 9 2 90 0 3 8 8 1 9 用p a r e t o 求出的嬲 0 0 9 5 2 7 10 0 7 8 9 7 7 0 0 7 0 0 0 80 0 6 3 8 8 30 0 5 9 2 6 4 基于极值理论的保证金研究 将表4 的数据和表3 的数据进行对比，我们发现，无论是9 9 。, 6 的置信水平 还是9 5 的置信水平，利用极值理论算出的糊和点s 都要比正态分布下算出的 要大，这说明用正态分布来计算会忽略一部分极端状况，低估了可能发生的损失， 带来极大的风险；而用极值理论来拟合能加大对中国股市波动率的预测，更适合 于容易产生急剧变化的情况。 四、补充实证分析 1 阈值的稳定性分析 在上一部分的分析中，闽值的选择是由直观确定出来的，而不是给出一个确 定解。直观的观察难免有些误差，为考察数据的可靠性，我们对选择的闽值进行 稳定性分析。如果验证结果现实阈值是可靠且稳定的话，则v a r 是可以信任的。 具体办法是，将由另一个可选作阂值的数据推出的结果和上面的结果进行对比， 看其稳定性如何。如果发生的变动很大的话，那么这个闽值的选择是不可靠的。 1 1 u = o t g 是一个可取的阈值，我们先计算出“= 0 时对应的v a r ，见下表5 。 表5 访趟逖1 9 9 9 8 9 7 9 6 9 5 用p a r e t o 求出的v a r 0 0 7 0 7 7 20 0 5 71 4 9 0 0 4 9 4 0 7 o 0 4 4 0 1 3 0 0 3 9 8 8 5 用p a r e t o 求出的e s 0 0 9 18 9 60 0 7 7 5 1 80 0 6 9 3 4 6o 0 6 3 6 5 30 0 5 9 2 9 6 1 2 将“= 0 0 1 2 和= 0 时的结果进行比较。 以= 0 0 1 2 时的数据为基准，考察“= 0 时v a r 的变动，结果如下表6 ： 表6 、置信水平 变动 9 5 9 6 9 7 9 8 9 9 、 v a t ? 百分比( ) 1 51 41 2 o 9o 3 历百分比( )0 6o 5o 3- 0 1- o 1 基于板值理论的保证金研究 我们可以看到，改变朗值对f 锨的影响在一个百分点左右，而且随着置信 水平的提高，变动有趋于0 的趋势。这样的变动是可以接受的，因此选取0 0 1 2 为阈值是合适而且稳定的。 2 考虑不同头寸 在上部分对沪深3 0 0 的分析基础上。我们考虑多头和空头两种不同情况下的 保证金水平。在曰收益率的分布直方图中，左尾对应的是多头头寸，右尾对应的 是空头头寸。我们对其左、右尾分别进行建模，采用和统一情况时相同的方法。 首先对数据的分布状况进行检验，下表7 是统一情况下、多头情况下以及空 头情况下的统计表。 表7 统一多头空头 均值 0 0 0 3 5 5 1一o 0 1 2 6 9 20 0 1 2 1 9 7 中位数0 0 0 3 2 9 30 0 0 8 6 4 0 0 。0 0 9 5 0 4 最大值0 0 5 0 9 3 68 1 6 e 0 50 0 5 0 9 3 6 最小值一0 0 9 6 9 5 2- 0 0 9 6 9 5 20 0 0 0 1 0 9 标准差 0 0 1 7 0 8 6o 0 1 5 4 1 2o 0 1 0 2 9 6 偏度 一1 1 8 8 2 8 82 7 2 6 5 1 51 1 0 5 2 5 9 峰度 8 3 6 2 2 1 51 2 6 4 2 2 03 8 6 6 8 4 4 j - b 值 4 0 8 5 1 7 35 0 6 1 6 9 0 4 3 6 9 3 0 0 0 从上表7 的数据，我们可以分析出以下几个结论： 从j - b 值上看，三种情况都拒绝正态分布。 统一情况和多头情况下的厚尾效应比空头情况下要明显。 统一情况和多头情况下的波动比空头情况下要大。 基于极值理论的保证金研究 接下来我们利用前面的方法讨论保证金水平，考虑不同头寸时的数据，结果 见下表8 表8 访喇1 9 9 9 8 9 7 9 6 9 5 用p a r e t o 求出的v a r o 0 7 0 8 5 30 0 5 6 3 5 70 0 4 8 3 7 70 0 4 2 9 2 9 o 0 3 8 8 1 9 用p a r e t o 求出的露 0 0 9 5 2 7 10 0 7 8 9 7 70 0 7 0 0 0 80 0 6 3 8 8 3o 0 5 9 2 6 4 空头头寸的v a r0 0 4 3 1 4 50 0 3 9 0 9 10 0 3 6 4 1 8o 0 3 4 3 7 10 0 3 2 6 9 1 多头头寸的v a r0 0 7 5 3 8 80 0 5 9 5 5 5o 0 5 1 1 9 30 0 4 5 6 3l0 0 4 1 5 1 6 从上表8 的数据我们可以看到，多头情况时的保证金水平普遍高于空头情况 时的保证金水平，这说明指数下跌带来的风险要大于指数上涨带来的风险，这一 点和现实的情况是很相符的。当指数急剧下跌时，投资者极可能会有恐慌性抛盘， 从而造成指数更剧烈的下跌。 3 上证5 0 指数 鉴于沪深3 0 0 指数的样本数量过少，我们再以上证5 0 指数为考察对象进行 分析。考察区间为i 0 2 2 0 0 4 至4 2 4 2 0 0 7 ，方法和前面相同。 上证5 0 指数的分布直方图如下图7 所示。 图7 2 l 基于极值理论的保证金研究 以下是上证5 0 指数的日收益率在统一情况下、多头情况下和空头情况下的 统计表。 统一多头空头 均值 0 0 0 1 2 1 0- 0 0 0 9 8 4 40 0 1 2 2 8 0 中位数 o 0 0 0 4 8 0- 0 0 0 7 6 0 20 0 0 9 1 9 5 最大值 0 0 7 8 8 0 2- 2 3 3 e 0 50 0 7 8 8 0 2 最小值 - 0 0 9 9 4 9 40 0 9 9 4 9 40 0 0 0 7 0 2 标准差 0 0 1 4 9 2 20 0 0 9 8 4 30 0 1 0 7 2 7 偏度 - 0 0 6 4 7 9 2- 3 2 5 8 5 1 41 6 4 5 3 4 5 峰度 7 1 7 5 3 8 12 3 9 1 2 9 97 0 8 1 4 1 6 j b 值 5 8 0 9 5 9 57 7 7 7 1 6 34 4 6 6 5 7 2 采用与计算沪深3 0 0 指数时相同的方法，得到的结果整理如下，统一情况下、 空头情况下和多头情况下的数据分别见下表9 、1 0 和1 1 。 表9 ( 双尾) 、 置信水平 9 9 9 8 9 7 9 6 9 5 v a r 砌置0 0 4 2 3 2 90 0 3 5 9 4 90 0 3 2 0 2 20 0 2 9 1 4 50 0 2 6 8 6 0 e s 0 0 5 0 4 8 50 0 4 4 6 4 60 0 4 1 0 5 3 0 0 3 8 4 2 00 0 3 6 3 2 9 表1 0 ( 空头头寸，右尾) 、置信水平 9 9 9 8 9 7 9 6 9 5 v a r 玩足 0 0 4 8 7 1 40 0 4 2 1 7 80 0 3 8 2 3 7 o 0 3 5 3 8 50 0 3 3 1 4 1 e s0 0 5 7 4 7 0o 0 5 1 2 8 10 0 4 7 5 4 80 0 4 4 8 4 8 o 0 4 2 7 2 3 基于援值理论的保证金研究 表1 1 ( 多头头寸，左尾) 、置信水平 9 9 9 8 慨9 6 9 5 v a r 阮足0 0 4 3 11 8o 0 3 5 0 9 l0 0 3 0 8 9 90 0 2 8 1 2 90 0 2 6 0 9 1 e s 0 0 5 8 7 5 80 0 4 8 6 5 40 0 4 3 3 7 80 0 3 9 8 9 20 0 3 7 3 2 6 五、对p o t 模型的拓展 在上一部分的模型中，我们利用极值分布近似于帕累托分布来计算风险价 值，以解决厚尾分布问题。但在以前关于v a r 的讨论中，还有一种方法可以解决 金融时间序列的不对称现象和厚尾现象，即g - h 分布。利用g - h 分布可以直接对 数掘进行建模，而不需要用帕累托分布来拟合尾部数据。在这一部分，我将传统 的g - h 分布模型和极值理论结合起来，看其对风险价值的估计效果如何。 1 g - h 分布模型及参数含义 模型定义： 若随机变量z ( o ，1 ) ，则随机变量x ：( z ；一，8 9 9 ! , 矗) ：a + b ! ! 土f 争服 g 从g - h 分布，这里假设g 与h 都是常数。 令x ，是上式中x 的p 分位数，即满足p ( x x ，) = p ，z ，是z 的p 分位数， pe ( o ，1 ) ，当上式右端在z 的一个含原点且概率接近1 的区间内单调递增时，x 。 与z 。之间有如下关系 工。：4 + b 兰 ( 1 6 ) 占 参数a 和b 的统计含义 当p = 0 5 时，z o ，5 = 0 jx 0 5 = a ，因此a 是x 的中位数。 g 的统计