数学建模案例香烟店主订货.pdf

香烟店主的最佳定货策略 1 香烟店主的香烟店主的最佳定货最佳定货策略策略 何蒸 3013001042 毛明 3013001072 摘要 摘要 本文针对固定资金 s 提出了一种最佳的订货方案 依据实际情况知 顾客的 需求量是随机变化 问题也转化为随机性的决策问题 运用了随机决策与优化的数学思想 提出了两个数学模型 一是离散型 而连续型模型是在第一个模型的基础上 将它连续化 这两个模型都可化成求最大值的非线性的优化模型 再运用数学软件 Matlab 进行求解 得 出不同价格和需求量下 追求最大利润率的最佳订货方案所满足的关系式 见式 并 利用实际调查的数据进行验证 基本上符合 说明了该模型还是较合理的 在模型改进中具体考虑了两方面的内容 即 总费用增加和价格变化分别对利润率的影 响情况 本模型总思路较为简单 易于推广 一 问题重述问题重述 某店主储备了大量各种品牌的香烟 由于顾客改变了对各种牌子香烟的选择 店主常常 碰到以下问题 有的牌子的香烟脱销 而有的牌子的香烟积压 其后果是减少了店主的收益 为了解决这个问题 店主需要考虑不同牌子香烟搭配的最佳订货策略 二 二 问题假设问题假设 1 该店处于一个人口流通量较大的环境中 则各商品的需求量是符合正态分布 N ui 2 2 店主进货价 销售价在每周期 T T 取一个星期 内保持不变 3 店主在这个周期内可用资金 S 是一定的 4 除了购买香烟的费用外 其它费用 如订购费 交通费 摊位费等 一概不计 三 符号定义三 符号定义 1 ni 第 i 种商品的每次订货的批量 i 1 m 2 ai 第 i 种商品的出售价 i 1 m 3 bi 第 i 种商品的进货价 i 1 m 4 ri 在该周期内第 i 种香烟的需求量 i 1 m 5 Ii 这一周期初的第 i 种香烟的积压量 6 W 为周利润率 7 qi 第 i 种商品的出售量 二 二 问题分析问题分析 在假设中 把该周期内店主投入的资金设为定值 s 这是因为若订购总资金 s 不定 可 能出现一种情况 利润率很大 而净利润却很小 为了解决这个问题 就假设这个周期内的 总成本就是可用资金 S 现用这些资金来选择一种最佳的订购方案 使店主赢得最大的利润 率 同时也可使利润达到最大 另外 根据实际情况可知 顾客对香烟的需求量是随机变化 这必造成供过于求或供不 应求的情况 这就成为随机性决策的问题 其中考虑最佳订货策略当然是为了使 W 最大 在 具体建模当中 先作离散型 再将离散型连续化 而在模型改进中 分别对供过于求或供不 应求情况进行分析 若订货量超出需求量 则需考虑积压损失费 若订货量低于需求量 则 需考虑缺货损失费 而对于调动价格来提高利润率的情况也在模型改进中进行了分析 香烟店主的最佳定货策略 2 三 三 模型的建立与求解模型的建立与求解 一 确定各个参数 根据调查的数据 表 1 进行方差分析 可确定各种商品需求量服从正态分布的参数 u 2 香烟销售情况调查香烟销售情况调查 销量 品牌 周 期 1 包 周 期 2 包 周 期 3 包 周 期 4 包 周 期 5 包 期望值 u 包 标准差 盖双喜707170697270 4 1 0198039 黄红梅141613121514 1 4142136 盖红河141415131514 2 0 7483315 白云烟212021232021 1 0954451 红山茶424042434141 6 1 0198039 红云烟768797 4 1 0198039 茶花789767 4 1 0198039 盖 白 红塔山767977 2 0 9797959 金装红塔山778977 60 8 劲牌776987 4 1 0198039 总督778777 20 4 盖阿诗玛141315151414 2 0 7483315 南洋双喜706969727070 1 0954451 软耶树636265606262 4 1 6248077 软双喜353534353635 0 6324555 盖金驼353536343334 6 1 0198039 软金驼141516131414 4 1 0198039 盖红梅424342404342 1 0954451 三五787697 4 1 0198039 表 1 附 数据参照某市烟草公司 由上表可知 在该地区各种香烟每周的平均销售量以及销售量的随机变化情况 现针对 该店实际销售情况 建立随机型模型 二 简单离散型模型 先考虑一个周期的情况 设该周期内的总投资为 S 初始库存为 0 另外为了简化模型 不考虑积压费和缺货损失费 则可建立以最大利润率为目标的离散型优化模型 即 香烟店主的最佳定货策略 3 Max s qba nW m i iii i 1 1 s t snb m i ii 1 i 1 m i r ii nr 0 i q i n ii nr i r N ui 2 对模型 一 进行分析求解 其中需求量 ri是一个符合正态分布的随机变量 而进货 批量 ni是依据店主的经营经验或上一周期的销售情况来定的 在该模型中把它看成离散型 即把各个周期孤立出来 现要对它进行求解 有一定的难度 且有一定的波动性 它随着 ri的波动而变化 即最大的利润率是一个相对而言的 可见 离散型模型有一定的不合理性 现对它进行改进 即可得连续型的随机模型 二 二 连续化模型 每种香烟每周的需求量 ri是一个符合正态分布的随机变量 因此店主每天的收入也是 随机的 符合正态分布 所以作为优化模型的目标函数 应该考虑他长期卖烟的周平均利润 率 则第 i 种香烟的平均利润为 G ni ii ii In iiiiiiii In iii drrpInbadrrprba 0 而目标式使平均利润率 W ni 最大 Max s nG nW i m i i 1 2 S t snb m i ii 1 i 1 m i r 0 i 1 m i r N ui 2 从条件 1 可推得 m m i ii m b nbs n 1 1 把它代入 2 式可得一个 m 1 元的非线性的优 化模型 再将 W ni 分别对 ni i 1 m 1 求偏导数 可利用数学软件 Matlab 进行求解 最 后可求得最大值利润率下 各种香烟的最优进货量 ni之间的应满足关系表达式为 香烟店主的最佳定货策略 4 iim mmi In ii In ii bab bab drrp drrp mm ii 其中 m m i ii m b nbs n 1 1 i 1 m 1 三 数据验证 根据调查的数据 表 2 设总资金为 s 2000 元 对以上的模型进行检验 并可求出最 大的利润率 香烟销售情况调查香烟销售情况调查 项目 品牌 销售价出厂价 实际进货量实际销售量 实际 上次 库存 理论进货量 连续模型 盖双喜 8 007 4500 7171071 黄红梅 4 003 6500 1413013 盖红河 5 004 1500 1313013 白云烟 5 504 7500 2122022 红山茶 4 003 3000 3637136 红云烟 7 006 0000 7717 茶花 6 506 0300 7808 盖 白 红塔山 7 506 8000 7707 金装红塔山 10 009 0000 7707 劲牌 3 002 7000 7707 总督 4 50 4 0000 7808 盖阿诗玛 6 005 8000 1213013 南洋双喜 4 003 2000 6967069 软耶树 2 502 1800 5766156 软双喜 6 005 3700 3332033 盖金驼 3 002 7500 3333132 软金驼 2 502 2400 1414014 盖红梅 4 003 4700 4241041 三五 9 007 0000 7808 表 2 附 数据参照某市烟草公司 用上面的实际调查数据进行验证 可得这周期内各种香烟的最优连续型进货策略 见表 香烟店主的最佳定货策略 5 2 而相应的最大利润率为 W ni 13 65 与实际的利润率 13 63 还是较为符合 同时参 考网上消息可知 我国烟草行业的平均利润率为 10 3 因而要达到 15 的要求是较难的 而本模型提供的最佳方案还是可行的 也比较稳定 二 二 模型改进模型改进 一 总费用的改进 在实际中 常出现由于产品的积压必造成资金的积压 以及由于缺货造成潜在利润损失 这两种情况 因而应加上这两个费用 则该店的总费用就得考虑三方面 总费用 订购费 缺货损失费 积压损失费 定义定义 单位商品的积压损失费是指由于产品的积压 而造成资金的周转停止 其与进价 成正比 即 c1 k1 bi 单位商品缺货的损失费是由于缺货而造成的损失 且与出售价成正比 即 c2 k2 ai F ri 为分布函数 p ri 为分布密度函数 现先从一种香烟来分析 1 供过于求 即 ii rn 香烟积压 由数学期望的定义可知 供过于求的平均损失费 ii In ri iiii rFrInc 0 1 3 2 供不应求 即 ii rn 香烟脱销 由数学期望的定义可知 供不应求的平均损失费 iii Inr iiii rFnnrc 2 4 因此 总的平均损失费即为 3 和 4 式之和 即 ii In ri iiii rFrInc 0 1 iii Inr iiii rFInrc 2 第 i 种香烟的平均利润为 ii In iiiiiiiii drrprIncrbanG 0 1 ii In iiiiiiiii drrpnIrcInba 2 所以 m 种香烟的平均利润率为 Max s nG nW m i i i 1 5 s t snb m i ii 1 i 1 m i r 0 i 1 m c1 k1 bi i 1 m c2 k2 ai i 1 m i r N ui i 2 香烟店主的最佳定货策略 6 从条件 1 可推得 m m i ii m b nbs n 1 1 把它代入 5 式可得 一个 m 1 元的非线性的 优化模型 再将 W ni 分别对 ni i 1 m 1 求偏导数 即可求得利润率达到最大值时 各 中香烟的进货量 ni 二 价格变动 在上面的模型改进中 考虑了其它的一些费用对总利润率的影响 而通常中也可通过 改变商品的出售价来提高其利润率 这可运用经济学 1 中的 商品的需求的价格弹性厂商的 销售收入 这一概念 假设假设 需求函数是关于出售价的线性函数 即 ckar ii k c 都是参数 需求的价格弧弹性需求的价格弧弹性 表示某商品需求曲线上两点之间的需求量的变动对于价格的变动 的反应程度 即 i i i i d r a da dr e 现考虑改变价格对销售收入的影响 从三方面来考虑 见图 1 1 对于 d e 1 的富有弹性的商品 降低价格会增加厂商的销售收入 相反 提高价格 会减少店主的销售收入 即商品的价格与店主的销售收入成反方向的变动 见图 a 2 对于 d e 1 的缺乏弹性的商店 减低价格会使店主的销售收入减少 相反 提高 价格会使店主的销售收入增加 即商品的价格与销售收入成同方向的变动 见图 b 3 对于 d e 1 的单一弹性的商品 减低价格或提高价格对店主的销售收入都没有影 响 见图 c 若该店主结合以上两个问题进行订购货物 那么可能会获得更大的利润和利润率 aaa a1A a1ABa2Ba1A a2ri kai cri kai ca2Bri kai c 0r1r2r0r1r2r0r1r2r a b c 图 1 三 另外 在实际中还得考虑香烟的收税问题 只需在本模型的基础上 增加一个变 量税收率就可以了 具体处理过程中 可以根据税率的不同把香烟分为几类 分别求解 然 后进行加和处理 即可得出更合乎实际的最优解 六 模型评价六 模型评价 本文在理解题意的基础上 进行了合理的假设 并确定问题的最终目标 即追求利润率 最大 然后从简单到复杂逐步分析 建立了离散型模型和连续型优化模型 由于这两个模型 与实际仍由一些差距 如没考虑商品积压损失费和商品脱销损失费 现对模型进行改进 使 其更符合实际情况 本模型思路较为简单易懂 且易于推广 而对于实际问题稳定性也较高 香烟店主的最佳定货策略 7 另外通过总资金的假设 简单的把利润和利润率最优的问题得到同一 但该模型中对顾客的 需求变化考虑的较少