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1 可靠性数学基础知识可靠性数学基础知识 1 集合与事件 2 1 1 集合的定义和符号 2 1 2 集合的基本组合规则 3 1 3 集的集合的概念 4 1 4 事件及其集合表达 5 2 概率基本概念 6 2 1 定义 6 2 2 概率的基本运算规则 7 2 3 概率分布的概念 12 3 马尔可夫随机过程概念 30 3 1 引言 30 3 2 离散马尔可夫链 31 3 3 连续马尔可夫过程 38 4 不可修和可修系统可靠性分析 44 4 1 不可修系统可靠性分析 44 4 2 可修系统可靠性分析 55 5 Monte Carlo 模拟基本概念 72 5 1 Monte Carlo 模拟原理 75 5 2 随机数的产生 76 5 3 随机变量的产生 76 5 4 可靠性的 Monte Carlo 抽样方法 77 5 5 模拟方法举例 83 2 1 集合与事件集合与事件 概率是事件的一定属性 事件可以通过集合 简称 集 来描述 因之在研 究概率之前 讨论一下集合的基本概念 1 1 集合的定义和符号集合的定义和符号 具有某种规定性质的事物的总体称为集 合 组成集合的这些事物的每一个 体称为集的元素或成员 只有有限个元素的集称为有限集 具有无限个元素的集 称为无限集 例如 A 城中 18 岁及以上的全体公民 是一个有限集 所有正 整数的全体 则是一个无限集 集合常用大写字母表示 元素常用小写字母表示 如果某一个体 x 是集 A 的元素 则记为 Ax 读作 x 属于 A 而 Ax 则表示 x 不属于 A 如果集 A 和集 B 具有完全相同的元素 即集 A 的每个元素都是 B 的元素 集 B 的每个元素也都是 A 的元素 则说 A 等于 B 记为 A B 有限集 A 中元素的数目叫 A 的基数 记为 A 一个集 S 可以用列举出它的全部元素的方式来表示 例如 7 5 3 2 S 与括号中元素的排列次序无关 一个集 P 也可以按照它的元素某种特定的属性来表示 例如 是质数xxP 括号中垂直线左右的记号代表集的典型元素 于是前面列出的集 S 也可写成 8 xPxxS且 或 8 xPxS 有两个集 A 和 B 如果 B 的每个元素都是 A 的元素 则说 B 是 A 的子集 记为 AB 或 BA 有时读成 A 包含 B 一个集 A 也总是它本身的一个子集 AA 集 A 中 任何一个不等于 A 的子集 B 称为 A 的真子集 记为 AB 或 BA 3 如果 BA 且 AB 则 A B 1 2 集合的基本组合规则集合的基本组合规则 通过集的运算可以将某些集合组合形成新的集合 一般有如下一些运算规 则 如果 A 和 B 是两个集 则它们的并BA 定义为 ABxBxAxxBA 或或 它们的交BA 定义为 BxAxxBA 且 例 1 如果 S 2 3 5 7 且 T 1 2 3 则 TS 1 2 3 5 7 TS 2 3 如果集 A 和集 B 没有公共元素 则称它们为不相交的集 这两个不相交集 之交得到一个不包含任何元素的集 称其为空集 以 表示 因之 BA 而 且 也是任意一个集 N 的子集 集的并和交的运算服从以下规则 1 幂等律幂等律 AAA AAA 2 交换律交换律 ABBA ABBA 3 结合律结合律 CBACBA CBACBA 4 分配律分配律 CABACBA CABACBA 集 A 和集 B 的差 A B 定义为 BxAxxBA 且 如果 B 是 A 的一个子集 则有时称 A B 为 B 在 A 中的补集 例 2 如果 S 2 3 5 7 且 T 1 2 3 则 S T 5 7 T S 1 4 1 3 集的集合的概念集的集合的概念 在可靠性评估技术中常会碰到集中的元素本身也是一个集的情况 以下用所 谓的幂集来说明这个概念 定义任意集 A 的幂集p A 为 A 的全部子集的集合 即 AxxA p 例 3 令 A x y z 则 zyxzyzxyxzyxA p 对于集的集合 其并和交的定义是 令 为任意集的集合 则并 成立对于至少一个 AAxx 而交 均成立对于所有 AAxx 如果 是有限个集的集合 例如 21n A AA 则常可写出 n k k A 1 或 n AAA 21 n k k A 1 或 n AAA 21 例 4 令 A B C 其中 A 2 3 5 7 B 1 3 5 C 1 2 3 则 1 2 3 5 7 3 还可以由其它的方式构成集的集合 如果集 A 的每一个元素至少属于集 中的一个成员 即A 则称集 A 的非空子集的集合 为 A 的覆盖 如果 A 的一个覆盖 还具有如下性质 的全部成员都是两两互不相交的 则称 是 A 的一个划分 例 5 如果 S a b c d e 则可以有如下覆盖 a b b c d b c e a b c d e a b c d e 5 并且上面第二及第三个覆盖又是 A 的两个划分 1 4 事件及其集合表达事件及其集合表达 1 4 1 样本空间样本空间 人类的生产和科研活动 或观察到的自然现象 都存在着相互联系与制约的 因素 有其一定的内在必然发展规律 但它们同时又受着各种各样外在偶然因素 的影响 呈现出现象发生的 随机性 概率论和统计学就发端于对这些 随机 现象的研究 随机现象的基本特征是 这些现象在一定条件下可能发生 也可能不发生 需要通过对现象的统计实验来研究其发生的规律 统计方法往往是在一定条件下 进行试验或现场观测 将其结果记录下来 作为研究和推断的依据 按原始形式 收集的观察记数或试验的测量记录 一般称为原始数据 在统计学中常用 实验 一词来统称产生原始数据的过程 抛掷硬币观察其出现正面或反面的现象 是最常用的统计实验例子 气象观 测 水文观测 电站运行记录 产品质量检验记录等 也都是生产和科研工作中 的统计实验方法 通常将一个给定条件的统计实验中所有可能结果的总和称为 样本空间 通常将一个给定条件的统计实验中所有可能结果的总和称为 样本空间 或者用集合的术语描述为 一项统计记录的全部可能结果的集合称为样本空间 或者用集合的术语描述为 一项统计记录的全部可能结果的集合称为样本空间 并常用并常用 S 表示 表示 例 6 将一枚硬币抛掷两次 可能出现的全部结果是 正 正 正 反 反 正 反 反 则样本空间 S 正 正 正 反 反 正 反 反 例 7 统计某类型设备 一年内可能出现的故障次数 即全部可能次数的样 本空间 S 0 1 2 3 1 4 2 事件事件 事件总是与某些实验的结果相关联 理论研究中一般作出以下假设 1 在相同条件下重复进行 2 实验的结果可能不只一个 3 不可能预先判定每一次实验将出现的结果 工程研究中的事件一般都可以用集合来描述为 样本空间中的一个子集称为 事件事件 例 8 设某种电子元件使用寿命的样本空间为 0 ttS 式中 t 为 该元件的寿命 则 6 5 ttA是该元件寿命等于或小于 5 年的事件 为研究和叙述问题方便 还常常定义以下事件 如果一个事件只包含样本空 间集合中的一个元素 则称这个事件为基本事件基本事件 或简单事件简单事件 如果一个事件在 某个实验中一定会发生 则称这个事件为必然事件必然事件 如果一个事件在某个实验中 一定不会发生 则称这个事件为不可能事件不可能事件 如果一个事件在某个实验中可能发 生也可能不发生 则称这个事件为随机事件随机事件 概率论就是研究随机事件规律的一 门数学分支 例 9 在对电网的事故统计中 如果说 某一条供电线路一年内可能发生故 障的次数在 0 1 2 n 的范围内 则这是一个必然事件 如果说 某一 条供电线路一年内发生 2 次故障 则这是一个不可能事件 如果说 某一条 供电线路一年内发生 1 次故障 则这是一个随机事件 为了能更易于理解所要讨论的问题 可利用图形来对概念进行描述 通常所 用的是一种所谓的凡恩图 凡恩图通常画成一个矩形来表示全部样本空间 S 如图 1 所示 面积 S 包含 了要讨论的整个空间 其中可能存在着两个或两个以上的事件 图 1 是只包含两 个事件 A 和 B 的特殊情况 如果事件 A 被完全包含在事件 B 中 可用符号 A B 表示 则事件 A 由属于事件 B 且只由属于事件 B 的元素构成 如图 1a 所示 一般的关系则是部分重合 图 1b 或者完全不重合 图 1c 图图 1 凡恩图凡恩图 事件既然可以用集合来描述 则前述其集合的基本组合规则完全适用于事件 的运算 2 概率基本概念概率基本概念 2 1 定义定义 概率是一种科学的 机会测度 它从定量的角度定义了事件发生的可能性 这种测度在不可能事件的零概率值和必然事件的 1 概率值之间的范围内取值 2 1 1 概率的古典定义概率的古典定义 如果某一试验的如果某一试验的全部可能结果为全部可能结果为 n 个 且每个结果都具有等可能性和互不个 且每个结果都具有等可能性和互不 相容性 而其中对应于相容性 而其中对应于事件事件 A 的结果是的结果是 m 个 则事件个 则事件 A 发生的概率为发生的概率为 A B A A B B S S S a b c 7 n m AP 1 例 10 有 50 件产品 合格品数是 48 件 令从这批产品中 任取一件是合格 品 为事件 A 则在这批产品中任取一件是合格品的概率为 P A 48 50 96 此外 由于必然事件包括了所有基本事件 设其用 U 表示 则可用概率的 观点作如下解释 1 n n UP 而不可能事件不包含任何基本事件 设其用 V 表示 也可用概率的观点作如下 解释 0 0 n VP 随机事件 A 所含基本事件数 m 必然满足不等式 0 m n 所以 0 P A 1 2 1 2 概率的统计定义概率的统计定义 由概率的古典定义可见 它要求事件数是有限的 且要求事件的发生是等可 能的 但许多实际问题不具备这种性质 例如英文书籍中 26 个字母出现的可能 性就很不相同 字母 e 就比字母 z 出现的可能性大得多 又如某流域的年 降雨量可以取某一区间的任意实数值 这就不能满足有限结果的要求 但是这些 事件仍有其本身的规律性 只要进行大量重复的试验 就会发现许多随机事件是 随着试验次数的不断增加而趋近于某一稳定值 由此可引入概率的统计定义 设 n 次重复试验中 事件 A 出现 f 次 则称 f 为事件 A 出现的频数 称nf 为事件 A 出现的频率 定义 当试验次数定义 当试验次数 n 足够大时 事件足够大时 事件 A 出现的频率渐趋于一个稳定值出现的频率渐趋于一个稳定值 P A 则称这一稳定值则称这一稳定值 P A 为事件为事件 A 发生的统计概率发生的统计概率 记为 n f AP n lim 2 例如例如某设备在未来某个时间处于停运或故障的概率某设备在未来某个时间处于停运或故障的概率 有效度有效度 停运或故障时间 停运时间 运行时间 2 2 概率的基本运算规则概率的基本运算规则 依据前一节有关事件和概率的基本概念 本节按性质分类对事件及其概率运 算的基本规则加以概述 8 2 2 1 事件分类事件分类 1 独立事件独立事件 如果某一事件的发生不影响另一事件发生的概率 则这两个事件称为独立如果某一事件的发生不影响另一事件发生的概率 则这两个事件称为独立 事件事件 例如抛一枚硬币和掷一枚骰子是独立事件 因为骰子出现的点数并不影响 抛硬币的结果 实际工程中 只要相关程度不大时 都假设是独立事件 例如一个发电厂中 不同的主设备的故障事件 但如果已知具有一定的相关性时 则必须在评估中将 相关性考虑进去 事件独立性的假设可能导致可靠性的偏高估计 2 互斥事件互斥事件 如果两个事件不可能同时发生 则称它们是互斥事件 或称不相交事件 如果两个事件不可能同时发生 则称它们是互斥事件 或称不相交事件 前一节的图 1c 就表示这种情况 当然 在 A 和 B 事件以外也可能发生其它事件 因为 A 和 B 并没有充满整个样本空间 例如一个设备的成功运行和事故退出工作这两种状态就不可能同时存在 因 而是互斥事件 当然 该设备还可能处于非故障停运的第三种状态 3 对立事件对立事件 如果一个事件只存在两种可能结果 其中一种结果不发生 另一种结果就如果一个事件只存在两种可能结果 其中一种结果不发生 另一种结果就 必然发生 必然发生 则称它们是对立事件则称它们是对立事件 或称互补事件 或称互补事件 如图 2 所示 如果这两种结果 A 和 B 的概率分别是 P A 和 P B 则根据定义有 1 BPAP 或 APBP 3 图图 2 对立事件对立事件 例 11 设 一台发电机投入运行 为事件 A 该发电机停运 为事件 则事件 A 和事件 B 是对立事件 且 1 BPAP 显然 对立事件必然是互斥事件 但互斥事件并不一定是对立事件 4 条件事件条件事件 条件事件是一种在另一个或另几个事件发生的条件下发生的一类事件 如果研究事件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率 则将其记为 P A B 读 为 给定 B 发生时 A 发生的条件概率条件概率 B A 9 根据式 1 和图 3 可以得到 图图 3 事件的交事件的交 AB P AB S B P B S S P ABP AB P A B S P BP B 或 AP BAP ABP 4 2 2 2 事件的交 两个事件 A 和 B 同时发生 在数学上称之为两个事件的交 由图 3 中阴影 面积表示 并记为 BA 或 AB 1 独立事件独立事件 由于独立事件中每一事件发生的概率并不受另一事件发生概率的影响 对于 两个独立事件的情形则有 BPABP 且 P A BP A 因此根据式 4 两者都发生的概率是 P ABP B A P AP A P B 5 对于多个独立事件 则可推广给出 n i ini APAAAAP 1 21 6 例 12 有两个元件 A 和 B 元件 A 正常工作的概率是 0 9 元件 B 正常工作 的概率是 0 95 设两个元件是否正常工作互不影响 因此两个元件同时正常工作 的概率是 855 095 09 0 正常正常正常正常BPAPBAP 2 相关事件相关事件 这时 一个事件发生的概率要受另一个事件发生概率的影响 由式 4 有 可能发生的方式数 可能同时发生的方式数和 B BA BAP B A S 10 BPBAP APABPBAP 7 例 13 某工厂的产品中有 4 的次品 在 100 件合格品中一等品占 75 求 任取一件产品是一等品的概率 解 以 A 表示一等品 B 表示合格品 C 表示次品 则 96 41 1 CPBP 而 1 0 0 75 BAP 因此 72 0 100 75 100 96 BAPBPAP 2 2 3 事件的并 两个事件 A 和 B 中至少一件发生 数学上称为事件的并 由图 4 中的阴影 面积表示 记为 BA 图图 4 事件的并事件的并 1 事件独立而不互斥事件独立而不互斥 这种事件的概率计算如下 BPAPBPAPBAP 8 上式可推广到对于 n 个随机事件的情形 1 21 1 1 111 n n nkji kji nji ji n i i n i i AAAPAAAP AAPAPAP 9 例 14 某一系统由三个单元组成 每一单元的工作概率分别为 1 3 1 2 1 2 任一单元工作 系统即能成功 求该系统成功工作的概率 解 设 A B C 分别为三个单元成功工作的三个事件 根据题意 可假设 这三个事件是独立的 但不互斥 因此所求概率应为 B A 11 6 5 12 1 4 1 6 1 6 1 2 1 2 1 3 1 CPBPAPCPBP CPAPBPAPCPBPAP ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP 也可以用下一方法计算 P A P B P CP A P B Q CP A Q B P CP A Q B Q CQ A P B P C Q A P B Q CQ A Q B P C 2 事件互斥事件互斥 如果事件 A 和 B 互斥 则根据定义 它们同时发生的概率 AP BP必然 为零 由式 8 可得 BPAPBAP 10 可推广到可推广到 N 个互斥事件的情况 个互斥事件的情况 1212 NN P AAAP AP AP A 2 2 4 全概率公式 2 2 1 节中条件概率的概念 可以推广到事件 A 的发生与若干互斥事件 i B相 关的情形 如果 12N B BB 表示互斥事件的全集 即 12 1 0 N P BP BP B 由式 7 可相应于每一个事件 i B导出如下算式 11 i n i i n i i BPBAPBAP 11 则如图 5 的情形有 n i ii BPBAPAP 1 12 式 12 常被称为全概率公式 该式常用于两个条件事件的情形 如果 B1 B2互斥 A B1 B2 B3 B4 A 12 且 12 1 0P BP B 则 1122 P AP BP A BP BP A B 图图 5 条件概率条件概率 例 15 已知 1000 个电子元件中有从 0 到 5 个次品的情形是等可能的 如果 除次品而外的元件都是正品 求从 1000 个电子元件中任取 100 个都是正品的概 率 解 设事件 i B i 0 1 2 3 4 5 表示 1000 个元件中有 i 个次品 事件 A 表 示取出 100 个都是正品 则根据题意有 5 4 3 2 1 0 6 1 iBP i 根据条件概率的定义和组合公式有 ii i i i i i i C C BAP 9 0 10 9 11000 11000 1000 1900 1900 900 1000 900 100 900 100 1000 100 1000 100 1000 注 m n n C m nm 于是按全概率公式得到所求结果为 78 0 1 0 5314 01 6 1 9 01 9 01 6 1 9 09 09 09 09 01 6 1 6 5432 5 0 i i i BAPBPAP 可靠性在工程应用研究中的目的 往往是要评估系统失效 或运行 的概率 如果能够知道系统状态 失效或运行 与系统中某个元件 X 正常与故障两个互 斥事件的相关信息 则可按全概率公式写出下式 P 系统失效 P 给定 X 正常的条件下系统失效 P X P 给定 X 故障的条件下系统失效 P X P 系统失效 X P X P 系统失效 X P X 13 式中 X 代表元件 X 正常运行 X代表元件 X 故障 2 3 概率分布的概念概率分布的概念 2 3 1 随机变量随机变量 实际工程中往往需要通过试验或现场的运行记录来收集可靠性评估要求的 足够数据 例如故障率 修复时间等 这样的数据不可能得到单一的准确值 13 常常得到的是可能的取值范围 这些数值或者说发生的这些事件是带偶然性的 因此测试事件的参数是一些随时间或空间变化的变量 将其称为随机变量 并可 以用概率分布来描述这种随机变量 为了分析问题的方便 通常根据这些参数取 离散值或是取连续的实数值而区分为离散或连续随机变量 为使概念清晰 可以 了解一下它们的定义 其函数值由样本空间中每一个元素所确定的函数称为随机变量随机变量 要注意的 是 随机变量本身就是一个函数 其取值是随机的 因之可用概率来量化描述其 函数值 如果样本空间只包含有限个可能的数或一个可数无穷数列 则这个样本空间 称为离散样本空间离散样本空间 由这个样本空间定义的随机变量称为离散随机变量离散随机变量 例如 一条架空线路一年内可能发生的故障次数记为 L 其取值范围理论上是 L 0 1 2 3 这是一个可数无穷数列 因之 L是一个离散随机变量 如果样本空间包含无限个可能的实数 则这个样本空间称为连续样本空间连续样本空间 由这个样本空间定义的随机变量称为连续随机变量连续随机变量 例如 一台变压器的有效寿 命 T 的取值范围理论上是 S 0 T R 其中 R 是一个足够大的实数 因 之 T 是一个连续随机变量 在工程问题中 计数数据通常是离散随机变量 测量数据通常是连续随机变 量 2 3 2 随机变量的概率分布及其主要数字特征随机变量的概率分布及其主要数字特征 如前述 随机变量的函数值是不确定的 要由一定的取值范围来描述 通常 即用概率方法来研究这种函数取值范围的分布规律 这就是常说的概率分布 于 是 可以用概率分布来研究工程中通过试验或通过观察收集的数据 根据可靠性 评估的要求来研究对它们进行处理和估计的方法 下面将结合具体例子分别叙述 离散和连续随机变量概率分布及其数字特征的概念 1 离散随机变量离散随机变量 例 16 设有三台型号相同的水泵作灌溉之用 根据统计数据推断 每台水泵 三年内不发生故障的概率是 p 0 8 研究这三台水泵三年后还能正常运转台数 的概率分布 解 设随机变量 X 表示三年后还能正常运转的水泵的台数 并令 X 0 X 1 X 2 X 3 分别代表三年后没有水泵能正常运转 以及 1 台泵 2 台泵和 3 台泵能正常运转的事件 根据题意可假设这些事件是相互独立的 则 按前两节的基本规则可知 三台水泵组合可能出现的全部状态为以下 8 种结果 SSS SSF SFF FFF FSS FFS SFS FSF 其中 S 和 F 分别表示三年后水泵正常运转和失效的基本事件 于是事件 X 0 由 FFF 构成 事件 X 1 由 SFF FFS FSF 构成 事件 X 2 由 SSF FSS SFS 构成 事件 X 3 由 SSS 构成 从而有以下概率 P X 0 3 2 0 0 008 14 P X 1 3 0 8 2 2 0 0 096 P X 2 3 2 8 0 0 2 0 384 P X 3 3 8 0 0 512 以上四个等式就构成离散随机变量概率分布的一种表列形式 通常将其称作 概率密度函数 PDF probability density function 也可将它表示成如图 6a 的直观 形式 由这个例子可以注意到 对应于离散随机变量 X 的每一个取值 都有一 个确定的函数 概率 值 另一种表达这些数据的方法是累积概率分布函数 常将其简称为累积分布函 数 CDF cumulative distribution function 它的构成方式是从随机变量的最小值开 始 按随机变量递增的顺序对各相应的概率值累加 直至每个变量的概率均被计 入 得到如图图 6b 的函数 图图 6 离散随机变量离散随机变量 于是可以定义相应的离散变量 CDF 为 XSx i XSx i ii xpxXPxXPxF 14 由此可见 离散随机变量累积分布函数 CDF 的终值必为 1 即 Sx i i xP1 15 式中 i x为随机变量 X 的第 i 个取值 S 为样本空间 如果一个随机变量的分布函数及有关参数完全确定 则其概率特征可以得到 a 概率密度函数 PX Xi PX Xi 0 384 0 512 0 096 0 008 1 2 3 4 0 1 00 0 488 0 104 0 008 0 1 2 3 4 b 累积分布函数 15 完全描述 但在实际问题中可能并不知道分布函数 因而常常需要找出对它的近似描 述 这时可以用某几个主要的或者说关键的数值来近似刻画随机变量及其分布的 宏观特性 并将它们称为随机变量的数字特征 即使是在分布函数已知的情况下 这些随机变量的数字特征随机变量的数字特征也很有用 因为它们可以给出应用中随机变量有关的重 要信息 而且还可用于表达概率分布的解析函数式 这些特征量中最常用的有均均 值值和方差方差 由于一个随机变量有许多取值 就很自然地要找一个有代表性的中心值 例 如平均值 又因为随机变量的不同取值有不同的概率 显然用概率来加权的平均 值就更有意义 数学上将这种加权平均值称为数学期望数学期望 实用中常简称为均值均值 用 E X 表示 并定义为 i Sx i xPxXE i i x i x 16 为了进一步刻画分布的特征 还引用一个对均值离散程度的量度 称其为随 机变量的方差方差 用 V X 表示 并定义为 2 Sx ii i xPXExXV 17a 或 22 XExPxXV Sx ii i 17b 在实用中 从量纲处理的角度来看 使用方差的平方根更为方便 因之引用 随机变量方差的平方根 称为标标准差准差 用 X 表示 并定义为 XV X 18 协方差和相关系数 设有一 N 维随机向量 X1 X2 XN 则任意两个元素 Xi和 Xj之间的协方差定义为 ijiijj ijij cE XE XXE X E X XE XE X 协方差常用符号 cov Xi Xj 表示 一个随机变量与其自身的协方差就是它的方差 cov iii X XV X Xi和 Xj的相关系数定义为 cov ij ij ij X X V XV X A 42 ij的绝对值小于或等于 1 0 如果 ij 0 则 Xi和 Xj不相关 如果 ij 0 则 Xi和 Xj正相关 如 果 ij0 3 由共因故障而退出的元件同时修复并重新投入 独立故障退出的元件则 如 1 中所述的修复过程 如图 35b 所示 这些还不是各种可能发生的故障及修复过程的全部枚举 例如 图 35b 中状 69 态 5 和 2 以及状态 5 和 3 之间实际上是可能发生转移的 因此 应该根据工程要 求研究正确的模型 并对后续的过程和算法作相应的修系统 除共因故障外 相关多重停运也是影响系统可靠性的一个重要原因 根据近 期的研究成果 下面举例说明它们的计算思路和对系统可靠性的影响 1 1U 2U 4 1D 2D 3 1U 2D 2 1D 2U 1 2 1 2 12 12 2 1 1 2 a 1 1U 2 U 4 1D 2D 3 1U 2D 2 1D 2U 1 2 12 1 2 b 停运 12 5 1D 2D 2 1 2 1 停运 图图 35 计入共因故障的状态空间图计入共因故障的状态空间图 2 算例算例 本例分析计及共因停运和相关停运的双回平行输电线路可靠性 双回平行输电线路的共因停运是由一种外部因素引起两回线路同时停运 而 相关停运是在一回线路独立停运后另一回线路因过载而停运 若采用供电连续性 作为可靠性准则 其状态空间模型如图 36 所示 图中 1和 2分别为各回线路 独立停运故障率 c为共因停运故障率 d1 d2和 d分别为相关停运故障率 1和 2分别为各回线路独立停运单独修复率 c1和 c2分别为共因停运单独修复 率 d1和 d2分别为相关停运单独修复率 12 c和 d分别为独立停运 共因 停运和相关停运同时修复率 图图 36 双回平行输电线路的状态空间图双回平行输电线路的状态空间图 运用随机转移概率矩阵评估方法 并作适当的简化假设即可导出 cccccc ccc c rrrrrr rrr rrrrrr rrr rrU 2121 21 12212121 1221 2121 1 1 工作 2 工作 2 2 1 1 2 1 c c d c 2 d2 12 4 1 停运 2 停运 2 1 c1 d2 d d1 d1 2 1 停运 2 工作 3 1 工作 2 停运 6 1 停运 2 停运 5 1 停运 2 停运 70 dddddd ddd ddd rrrrrr rrr rr 2121 21 212121 114 2121212121dddce rrrr 115 e e U r 116 式中 U e和 re分别为双回平行输电线路的失效概率 等效故障率和等 效修复时间 r1 r2为各回线路独立停运单独修复时间 rc1 rc2和 rd1 rd2分别 为共因停运和相关停运单独修复时间 r12 rc和 rd分别为独立停运 共因停运和 相关停运同时修复时间 表 4 是一假设的双回平行输电线路的故障模式 表 5 是对应的各故障模式情 况下计及独立停运 共因停运和相关停运的故障率 次 年 和修复时 间 小时 等的输入数据 用式 114 116 进行计算 结果如表 6 所示 表表 4 双回平行输电线路故障模式双回平行输电线路故障模式 序号 考虑的因素 1 独立停运后仅单独修复 2 独立停运后单独修复和同时修复 3 独立停运同上 共因停运后仅同时修复 4 独立停运同上 相关停运后仅同时修复 5 独立停运同上 共因停运和相关停运后分别仅同时修复 6 独立停运同上 共因停运后单独修复和同时修复 7 独立停运同上 一回线停运后导致另一回线立即立即停运仅同时修复 8 独立停运同上 一回线停运单独修复时另一回线停运 9 独立停运同上 相关停运后单独修复和同时修复 10 独立停运同上 共因停运和相关停运后分别单独修复和同时修复 表表 5 双回平行输电线路可靠性双回平行输电线路可靠性计算输入计算输入数据数据 序 号 故障率 次 年 1 修复时间 h 1 2 C d1 d2 d r1 r2 r12 rC1 rC2 rC rd1 rd2 rd 1 0 1 16 2 0 1 16 24 3 0 1 0 01 16 24 160 4 0 1 0 008 0 005 16 24 120 5 0 1 0 01 0 008 0 005 16 24 160 120 6 0 1 0 01 16 24 100 160 71 7 0 1 0 005 16 24 120 续表 序 号 故障率 次 年 1 修复时间 h 1 2 C d1 d2 d r1 r2 r12 rC1 rC2 rC rd1 rd2 rd 8 0 1 0 008 16 24 80 9 0 1 0 008 0 005 16 24 80 120 10 0 1 0 01 0 008 0 005 16 24 100 160 80 120 表表 6 双回平行输电线路可靠性计算结果双回平行输电线路可靠性计算结果 序号 U h 年 1 e 次 年 1 re h 1 0 00029224 0 00003653 8 0000 2 0 00021918 0 00003653 6 0000 3 1 60021918 0 01003653 159 4395 4 0 60056986 0 00503945 119 1737 5 2 20056986 0 01503945 146 3198 6 0 38117156 0 01003653 37 9784 7 0 60021918 0 00503653 119 1732 8 0 00033607 0 00003945 8 5185 9 0 15030685 0 00503945 29 8260 10 0 53125923 0 01503945 35 3244 故障模式 1 和 2 都只计独立停运 仅修复方式不同 由表 6 看到 其相应的 失效风险概率最低 将其视为基本情况 故障模式 3 4 和 5 是在此基础上分别 增加计入共因停运 相关停运以及共因停运和相关停运的情况 故障模式 5 计及 了全部 3 种引起停运的因素 由表 6 也可看到 其失效风险最高 最高和最低风 险相差 4 个数量级 但共因故障和相关故障的故障率却分别只比独立停运故障率 小 1 个数量级 由这些数据比较可见 系统失效风险主要受共因故障和相关故障 的支配 而且共因故障的影响又略大一些 此外 由 3 和 6 两种停运模式的相应计算结果还可看出 当共因停运后 若 能一回线路单独修复 较之只能两回线路同时修复的情况 风险降低约 4 倍 由 此可见 双回平行输电线路的架设方式和维修策略也会对系统可靠性有较大影 响 72 5 Monte Carlo 模拟基本概念模拟基本概念 Monte Carlo 模拟法是利用随机数进行随机模拟的一般方法 Monte Carlo 是 摩纳哥的著名赌城 于二战期间原子弹研制时曾用作一种密码的命名 这种密码 用于中子扩散过程的随机模拟 二战后 Monte Carlo 法在许多领域中得到广泛 运用 Monte Carlo 模拟的概念可追溯到 1777 年法国科学家蒲丰 Buffon 所发表 的著名的计算圆周率 的投针试验法 试验方法如下 把一根长度为 2l 的针随 便投掷到划有等宽平行线的平面上 平行线间的宽度为 2a 且满足 l0 其均值I满足 1 lim n P II 由此可见 当 n 时样本均值I是以概率收敛于期望值 I 因此当仿真年 数 n 为给定值时 样本均值与期望值之间的误差II 具有概率不确定性关系 而当允许误差给定时 所需的仿真年数 n 也是一个随机变量 在实际的序贯 Monte Carlo 仿真中 仿真年数 n 不能太大 否则计算时间过长 而 n 也不能太 小 否则误差II 可能超出允许范围 序贯 Monte Carlo 仿真的优点在于 系统元件的运行和修复过程的状态持续 时间无论服从何种概率分布均能有效处理 能考虑复杂的电力系统运行策略和系 统负荷曲线的变化 序贯 Monte Carlo 仿真能给出可靠性指标的期望值估计 并 能提供可靠性指标的逐年样本信息 基于这些样本信息可以实现可靠性指标的概 率密度计算 当对大电力系统进行概率风险分析时 如果能够提供规划方案可靠 性指标的概率分布 以及方案发生变化时 如扩建某些线路 概率分布的变化情 况 可为规划人员的决策提供重要的参考信息 序贯 Monte Carlo 仿真的基本步骤 指明每个元件的初始状态 一般来说 元件的初始状态都假定为正常状 态或者说是运行状态 给定仿真年数 n 并令仿真起始年 i 1 在时间跨度为 1 年 即 8760 个小时的条件下 对系统元件 j j 1 2 m 处于运行和修复状态的持续时间进行随机抽样 例如 对于一状态转移率为 i 的元件 那么其状态持续时间的抽样值即为 1 ln ii i TU 其中 Ui是是对应于第 i 个元件在 0 1 间均匀分布的随机数 如果当前状态是 正常状态 i表示第 i 个元件的故障率 Ti即为该元件正常工作持续时间 如果 当前状态是故障状态 i表示第 i 个元件的修复率 Ti即为该元件故障持续时间 通过多次抽样得到各元件第 i 年中的 运行 修复 运行 修复 的状态交替过 程 如图所示 81 元件1 运行 停运 元件2 运行 停运 元件时序状态转移过程 组合各元件的运行和修复过程 得到具有时间先后顺序的系统状态序列 12 iiiNi xxx 如图所示 系统 1 运行 2 运行 1 停运 2 运行 1 运行 2 停运 1 停运 2 停运 系统时序状态转移过程 对系统状态序列 12 iiiNi xxx中的每一个系统状态进行分析计算 包括 潮流计算 最优负荷削减等 并用下式计算第 i 年的系统可靠性指标 1 1 8760 Ni iijij j If x D x 估计可靠性指标的期望值 1 1 n i i I n 并计算方差系数 令 i i 1 如果 i n 或方差系数 小于收敛条件 则结束仿真 或者转步 骤 序贯 Monte Carlo 法的关键在于系统状态转移过程的生成 一旦这一步骤完 成 指标计算则较简单 该方法的本质是建立一个虚拟的系统运行和失效的转移 循环过程 在实际应用中 重要的是认识以下几点 1 序贯 Monte Carlo 法中至关重要的一步是计算服从某个概率分布的状态 持续时间随机变量的抽样值 其基础是在 0 1 区间均匀分布的随机数的生成 82 2 如同非序贯 Monte Carlo 法一样 序贯模拟也是一个波动收敛过程 因此 需要一个适当的收敛判据 方差系数仍可用作为终止抽样的判据 可是应当注意 在序贯方法中的样本数不是抽取的系统状态数 而是抽样过程跨越的的年数 3 序贯 Monte Carlo 法的主要优点是能精确地评估频率和持续时间指标 能 灵活地模拟状态持续时间的任何分布 以及具有计算系统风险指标的统计概率分 布的能力 这些却是非序贯模拟法的弱点 4 较之非序贯 Monte Carlo 模拟法 序贯 Monte Carlo 法需要更多的 CPU 时 间和存储空间 此外 它还需要与所有元件状态持续时间分布有关的参数 即使 在指数分布假设下 也需要每一元件所有可能状态之间的转移率 在有些情况下 特别是对于多状态元件模型 可能难以获得所需要的全部输入数据 5 序贯模拟法是基于时序的概念 因而不能用于不具有时序特征情况的模 拟 例如 如果研究的时段是一个月 譬如第九月 则模拟多个九月组成的序列 是不正确的 因为按时序 一个九月跟随的并不是另一个九月 3 5 3 状态转移抽样技术状态转移抽样技术 27 状态转移抽样以连续马尔可夫过程为基础 其基本原理