课标背景下数学史与教师MPCK的优化案例.pdf

2 0 1 0年第 2期 福建中学数学 l 9 箜 一一 鱼 鲁S 4 a i 5 S c岳S 是S a S a S a 臼l 4 1 十 一 设 f x 0 则f 三 x 0 L厂 0 由琴 生不等式知 3 口 j3 口 4 4 4 4 一 综合 得 a 十 3 1 x 4 6 类似定理 1 至定理 6对原问题的推广 也可 类 比推 广定殚 7 在 此不 再瞀 述 参考文献 1 孙志坤 数学问题解答 1 7 4 8 数学通报 2 0 0 8 8 课标背景下数学史与教师 M P C K的优化案例 张红 孙立坤 李 昌勇 四川师范大学数学与软件科 学学院 6 1 0 0 6 6 1 数学教学内容知识 MP C K 简介 数学教学内容知识 Ma t h e ma t i c s P e d a g o g i c a l C o n t e n t Kn o wl e d g e 简称 MP C K 主要由以下 三部分组成 1 数学学科知识 Ma t h e ma t i c s K n o w l e d g e 简称 MK 2 一般教学法知识 P e d a g o g i c a l Kn o w l e d g e 简称 P K 3 有 关数学学 习的知识 C o n t e n t Kn o wl e d g e 简称 C K MP CK 是数学教师从事专业教 学所应具 备 的核心知识 在 日常数学教学中 教师不断的 运 用 MP C K去指导教学设计 评估教学过程 呈 现数学背景 体现数学本质等 教师一旦建构起 自己的 MP C K 就会逐渐 内化为教师解释 认识 评价教学事件的框架和模型 并以此分析 说明 论证和评价教学中的问题 形成个人独有的处理 各种教学问题 的原则和方法 2 可见针对教师 开展 MP C K的研究 对促进教师的专业化成长具 有及其重要意义 本文选取教师培训 中使用的数 学史案例 数学史在 日常课堂教学中的功能进行 剖析 并阐述数学史学习对丰富教师 MP C K的作 用 2 数学史教学与教师的MP C K的优化案例 剖析 对于数学史与教 IJ MP C K的关系 世界范围 内已经有许多教 育家和学者对其进行了不同程 度的探讨 如第1 0 届 国际数学教育大会上 由香港 大学数学史家萧文强教授带领 的第 l 7 研讨小组 其研究课题为 数学史在数学教育中的角色 从 数学史的研究 讲授数学史 数学史融入数 学教学 等方面对如何利用数学史帮助教师扩展 数 学知识 丰富教学方法 学会如何帮助学生提 高学 习兴趣 最终在数学 历史 教学法三个领 域之间找到和谐 有效且对数学教育具有丰富启 发性的内隐关系 我国中小 学的数 学课程 改革在 引入现代数 学的观念和思想方法 的同时 还强调了教学内容 与数学史 的联系 而高 中课程标准则把 体现数 学的文化价值 作为一条基本理念 并将 数学史 选讲 作为选修课程 的专题 对于数学教师来说 如何创设情景 培养和提高学生的解题能力是一 个永恒 的话题 而数学史问题则为教学设计提供 了内容丰富的资源 下面就以笔者在教师培训中 使 用的案例作为切入点 从 如何培养学生解题 能力 方面对不同层次教师的MP C K 进行解读 并 指 出拓展教师的数学史知识对于优化课堂设计 2 0 福建中学数学 2 0 1 0年第 2 期 和扩展自身MP C K的重要作用 案例 一道古算诗题 今携一壶酒 游春郊外走 逢朋加一倍 入店饮斗九 相逢三处店 饮尽壶 中酒 试问能算士 如何知原有 斗九 1 9 升 选 自程大位 算法统宗 2 1 小学教师的 MP C K分析 设原有酒为 1 1 6 6 2 5 升 从 MK的角度 这道题的解题重心在于理解 条件 中倍数增减之间的关系 此外 比率思想也 是数学解题中一个重要的思想方法 从 P K 的角度 这道题的解决重点需要教师 引导学生对已知条件进行拆分和理解 教学法上 可采用讲授法和适当的提问实时掌握学生对题 目的理解程度 从渗透数学文化的角度上讲 教 师可告知学 生这种 算法就是中国古代数学家所 使用的解题方法 激发学生的思想火花 鼓励学 生 像古算家那样思考 从 C K的角度 多数小学生的思维以直观思 维为主 而小学阶段的培养重点是让学生形成初 步的逻辑思维能力 这道题 目中倍数与增减之间 的关系较复杂 教师不妨从此处寻找突破点 MP C K的综合运用 教师首先引导学生利用 中算 比率 的思想 设原有酒为 1 理清 倍酒量 和 饮酒量 之间的比例关系 首先分析倍酒量 入第一店添一倍为 2 入 第 二店 添一 倍 为 2 4 入第 三 店添 一 倍 为 2 8 三次倍酒后相当于原有酒的 8 倍 其次分析饮酒量 入第一店饮斗酒 1 9升 经第二 三店的倍酒关系 应扣减2 1 9 升 第 二店饮 1 9 升 经第三店的倍酒 应扣减 2 1 9升 第 三 店 实 饮 1 9升 故 应 从 总 酒 量 中 扣 减 1 2 4 1 9 7 1 9 升 最后分析正好饮尽 说明 8倍的原酒量为 一 7v 1o 7 x 1 9 升 所以原酒量为 1 6 6 2 5 升 2 2 初中教师的 MP C K分析 设 壶 中 原 有 酒 升 依 题 意 有 2 1 2 2 x 一1 9 一 1 9 卜 1 9 0 解得X 1 6 6 2 5 升 从MK的角度 这道题在初中范围内属于列 一 元一次方程解应用题问题 将所求设为未知数 X 并按照题 目条件逐个列出倍数与增减量之间 的关系 从 P K 的角度 中学生的思维方式正处于从 直观思维向逻辑思维转变的重要过程 本题 目条 件清晰且难度适中 因此教学法上教师可以适当 选择启发式教学策略或小组讨论的形式引导学 生找出题 目特点并列出方程 从C K的角度 列方程解应用题是初中数学 的重要内容 考查学生收集和处理信息的能力 分析问题和解决问题 的能力及创新实践能力 是 历年中考命题 的重点和热点 因此教师在设定教 学 目标上要注重训练对数学语言转换的能力 逐 步培养学生建立方程的思想和转化思想 MP C K的综合运用 教师首先让学生认真阅 读题 目 并标注题中的未知和 已知信息 由题 目 可知要求壶中原有的酒量 那么可设其为 X 逢 朋加一倍 即原来的酒量增倍为 2 x 入店饮斗 九 即 2 一 1 9 相逢三处店 即在路上遇到了 三个朋友 每遇到1 个朋友就要将酒量加一倍 而每进一次店就要减掉斗酒 此处可做适当提 示 由学生讨论后再进行总结 则 第一次逢友 入店后壶中的酒量变为 2 x一1 9 第二次逢友 入店后壶 中的酒量变为 2 2 x 1 9 1 9 第三次逢友 入店后壶 中的酒量变为 2 E 2 2 x 一 1 9 一 1 9 一 1 9 最后由题 目中 饮尽壶中酒 知 第三次后壶 中酒量为 0 即2 f 2 2 x 1 9 一 1 9 f 一 1 9 0 最后 解得 X 1 6 6 2 5 升 教师运用 MP C K 选择适应学生学习水平的 解题方法和引导过程事实上是教师 MP C K 知识 的重建和提高学生解题能力的一个双循环过程 教师在解决数学问题过程中如何把握教材 如何 从多个角度看到大局 在教学环节中运用 P K C K MK将问题中隐含的知识点暴露出来 让学 生充分运用已有的知识经验进行问题解决等 都 是初中教师 MP C K丰富与灵活运用的体现 2 0 1 0 年第 2 期 福建中学数学 2 l 2 3高中教师的 MP CK分析 设原有酒 a 升 依题意知 q 2 a 一 1 9 a 2 2 a 1 1 9 3 2 a 2 1 9 a 2 a l 一1 9 由通项公式 a 一1 9 2 a 0 1 9 2 2 日 f1 1 9 an 2 a 一 2 一1 l 9 最后总结 由这道 题引出一 个常 用的递推 关 系式 a 2 a 一1 9 a 7 p a r 当 P 1 时 a 0 l 一 1 r 当 P 1 时 考虑 2 a 卜 一 1 9 转化为等比 数列 设有常数 a 一 p a 一 口 那么新数列 a n 一 是以 P为公比的等比数 如果在第 店 饮尽壶中酒 即 a 0 有 列 2 C o 2 1 x 1 9 整理得 Q O 1 9 1 当 3 时 有 1 9 1 6 6 2 5 数列 a 一 1 9 是一个公比为 2的等比数列 从 MK的角度 递推公式和等比数列是高中 阶段的教学重点 从 P K 的角度 在实际教学时 以数学史为 背景创设 问题情境 引起学生的注意 可选择启 发式教学策略 引导学生从基本的递关系向数列 这一更深层次延伸 从 C K的角度 对问题思考的角度决定学生 是否能够摆脱低水平的思维方式 向较高水平拓 展 在本题中体现在是否能够成功引导学生利用 等差数列解题 MP C K 的综合运用 首 先设原有酒量为 a 升 在三店饮酒后所余酒量分别为 a 1 2 a 0 1 9 a 2 2 a 1 1 9 a 3 2 a2 1 9 到这里有 2种处理方法 1 N用递推公式令 直接求出a 2 富有经验 的高 中教师会 利用题 中的递推 关系 引导学生继续思考在第 n 店时的酒量情况 如 果 店 数 逐 一 增 加 第 n个 店 饮 后 余 酒 a 2 a l 一1 9 这 时学生便会发现 数列 a 一 l 9 是一个公 比为 2的等比数列 由通项公式 Q n 一 1 9 2 a n 一1 9 x 2 一 2 o 一1 9 口 2 a 0 一 2 一1 1 9 如果在第 店 饮尽壶中酒 即 a n 0 有 1 2 2 一1 1 9 整理得 a 1 9 二 1 当 3 时 有 1 9 1 6 6 2 5 事实上 这样 的 口是存在 的 由上述可得 a l p a 一 P 1 a 与 I p a r比较知 0 5 一 p 1 I P 教 学过程 中的直觉 知识和 默会 知识是教师 决策的核心依据 在解决任何结构松散或层次丰 富的开放性 问题时所需的高水平技能都基于教 师丰富的实践经验 教师如何把握学科的特点 知识的科学性 课堂教学结构 各环节的逻辑关 系 科学方法的运用等 在不同程度上体现出教 师 MP C K的运用程度 3 数学史对教师的 MP CK优化作用和意义 在新课程理念 的指导下许 多教师 已经开始 有意识 系统的尝试将数学史和数学文化渗透到 课堂教学 如利用著名的数学问题创设情境 使 用重要数学思想方法等 用已有知识解决数学名 题等 并取得了一定得效果 但 高评价 低运 用 的现象仍然很普遍 因此笔者建议在对职前 在职教师进行定期的专业化 的培训 中应适当选 讲数学史或剖析古代数学中的一些问题 以此 向 教师展示数学文化并让教 师深刻 品味数学问题 中所蕴含 的不同层次数学知识 这对提升教师自 身的教学知识 让教师喜爱数学 珍视数学为一 项文化成果 最 终形成一个覆盖广泛的知识体 系 拥有更多的 MP C K是大有裨益的 参考