用二重积分求旋转体的体积.pdf

第1 9 卷第1 期 2 0 0 7 年2 月 宁德师专学报 自然科学版 J o u r n a lo fN i n g d eT e a c h e r sC o l l e g e N a t u r a lS c i e n c e V 0 1 1 9N o 1 F e b 2 0 0 7 用二重积分求旋转体的体积 隋亚莉 山东工商学院 山东烟台2 6 4 0 0 5 摘要 在微积分中 平面图形绕x 轴或Y 轴旋转所成旋转体的体积用定积分计算已经解决 对于平面图形 绕任意直线旋转所成的旋转体的体积如果仍用定积分计算则比较复杂 通过微元法讨论如何用二重积分计算 平面图形绕任意不穿过其内部的共面直线旋转一周所成旋转体的体积的一般方法 进而得出一般积分公式 关键词 旋转体的体积 微元法 二重积分 中图分类号 01 7 2 2 文献标识码 A文章编号 1 0 0 4 2 9 1 1 2 0 0 7 0 1 0 0 0 1 一0 3 在微积分中 平面图形绕戈轴或Y 轴旋转所成旋转体的体积用定积分计算已经解决 但在平面图形 较复杂时以及对于平面图形绕任意直线旋转所成的旋转体的体积如果仍用定积分计算则比较复杂 本 文通过微元法讨论如何用二重积分计算平面图形绕任意不穿过其内部的共面直线旋转一周所成旋转体 的体积的一般方法 进而得出一般积分公式 引理1 设有平面上的有界闭区域D z 为不穿过区域内部的共面直线 则D 上任一面积微元d 盯绕 直线Z 旋转所得的旋转体的体积微分为d V 2 r r d d o 其中d 0 为d 盯上任一点 Y 到z 的距离 证明设面积微元d 盯的直径为A 盯 由二重积分面积微元的意义知 当且仅当A 盯 珈时d 盯 灯 面积元d o 绕Z 旋转所得截面为d c r 的环体的体积A V 满足 2 仃 d A o r d o 5 y s 2 丌 d A 盯 d o 又d 盯枷同时A 盯 珈 因此a V 与2 z r d d o 相差面积微分d o 的高阶无穷小 由微元法思想 体积微 分可取为d V 2 7 r d d o 定理1由连续曲线Y 八算 火石 O 直线戈 口 石 b 及菇轴所围成的曲边梯形D 绕不穿过曲 边梯形内部的共面直线Z 血 研 c 0 旋转一周所成的旋转体的体积为 y 斋J f l A 戈 B Y c d o 2 南r 出r IA x B y c d y 证明 曲边梯形D 上任取一点P x Y 则戈 Y 的变化范围为0 Ys 八戈 口s 戈 b 点尸 戈 Y 到f 的距离 图1 d 丝 坐 g 以2 B 2 在点P 菇 Y 处分别给出x y 的微分出 曲得曲边梯形上的 面积微元d o 且知d o 出毗 由上述引理知 面积为d o 的面积微元绕2 旋转所形成 的立体体积微元 一 d V 2 7 r d d o 兰兰兰lA 石 B CId 戈d A 2 B 2 图1定理1 证明示意图 收稿日期 2 0 0 6 1 2 1 0 作者简介 隋亚莉 1 9 6 3 一 女 副教授 黑龙江人 现从事高校计算数学研究 万方数据 2 宁德师专学报 自然科学版 2 0 0 7 年2 月 所以y 了署等矿UA B cd 盯 了去挈寿f 6 以r lA x B y C I 母 几种常见情形下的计算公式 1 若D 戈 Y lg z 曼Ys 以菇 os 戈sb 贝I V 了i i f lA 戈 B y c d 盯 了急r 如f 2 若D x y I 妒 冬戈 q t y csY d 1 V 磊等UA x B y CI 扣磊等j 1 4 d y f 1 A 戈 B y Cd y A x B y Cd x 3 若D r 0 Ir 0 rsy 0 a 冬0s 卢 贝uy 了寿j flA 菇 B c d 矿 了j 等r d 口 l A r c o s O B r s i n O Cr d r 4 若D Y 10 冬Ys 八并 口 茗 b z 菇 0 即Y 轴 就得常用公式 6 y 2 仃 x f d x a 5 若D r 0 10sr y 0 as0s 卢 l Y 0 即石轴或极轴 可得公式 y 孕广 3 日 s i n 曲 计算实例 例1 求由Y 戈2 Y 戈所围成的平面绕直线Y 戈旋转一周所成旋转体的体积 解D 菇 Y I 菇25Y 菇 0s 菇s1 D 在Y 菇右下方 即V 菇 Y D 都有菇 所 以石一Y 0 戈 Y D 由上述公式有 y 万舞丽 刊虻压1 1 出 删y 2 历1 1 手 一手 出 鲁 例2求椭圆石2 2 y 2 1 绕直线戈 Y 2 旋转一周所成旋转体的体积 解 小 孚s 1 X 2 l 一1s 菇s1 舶线的位置关蒯图2 V 菇 Y D 都有茗 Y 一2 0 所以I 戈 Y 一2I 2 一戈一Y 菇 y D y 弃等仃l x y 2 1 扣廊M 算m 油 届f 1 2 2 一戈 J 一1 2 7 r 2 例3 求圆搿2 Y 2 1 绕直线菇一Y 一3 0 旋转一周所成 旋转体的体积 解D r 0 10srs1 0s0s2 7 r 由D 与直线的位 置关系知 V 戈 Y D 都有戈一Y 一3 0 所以I 戈一Y 一3I 3 一菇 Y x y D y 圣互 R 弋雨 一 一3 d o D L V 参 x y 2 o 所 以 y 焉等俨扣孙f f r s i n 池嘞知咖r 刚舳 2 订 矾4 3 1 c s 扫3 s i n 甜9 1 6 0 仃 参考文献 1 同济大学数学教研室 高等数学 第3 版 上册 M 北京 高等教育出版社 1 9 8 8 3 3 5 3 4 2 2 韩玉良 微积分 第2 版 M 长春 吉林人民出版社 2 0 0 3 1 6 1 1 6 5 C a l c u l a t e s v o l u m eo fr e v o l v i n gb o d y 丽t hd o u b l ei n t e g r a l S U IY a l i S h a n d o n gI n s t i t u t eo fB u s i n e s sa n dT e c h n o l o g y S h a n d o n gY a n t a i2 6 4 0 0 5 C h i n a A b s t r a c t I nt h ef l u x i o n a r yc a l c u l u s t h ev o l u m eo fr e v o l v i n gb o d yf o r m e ds p i n n i n ga r o u n dx a x i so rY a x i sb yt h ep l a n ef i g u r eb e c a m ew i t ht h ed e f i n i t ei n t e g r a lc o m p u t a t i o na l r e a d yt os o l v e r e g a r d i n gt h ev o l u m eo f r e v o l v i n gb o d yc i r c l e dt h ef r e es t r a i g h tl i n er o t a t i o nb yt h ep l a n ef i g u r eb e c o m e si fs t i l lu s e dt h ed e f i n i t ei n t e 一 孕a l t oc a l c u l a t et h e nq u i t ew a sc o m p l e x T h i sa r t i c l ed i s c u s sh o wt oc a l c u l a t ev o l u m eo fr e v o l v i n gb o d yf o r m e d t h ep l a n ef i g u r et oc i r c l ew i l l f u l l yt h es t r a i g h tl i n ed i dn o tp a s st h r o u g hi t si n t e r i o rt or e v o l v eaw e e k t h r o u g h t h ee l e m e n ta n a l y t i cm e t h o da n dt h eu s ed o u b l ei n t e g r a l t h e no b t a i n st h eg e n e r a li n t e g r a lf o r m u l a K e yw o r d s v o l u m eo fr e v o l v i n gb o d y t h ee l e m e n ta n a l y t i cm e t h o d d o u b l ei n t e g r a l 万方数据 用二重积分求旋转体的体积用二重积分求旋转体的体积 作者 隋亚莉 SUI Ya li 作者单位 山东工商学院 山东 烟台 264005 刊名 宁德师专学报 自然科学版 英文刊名 JOURNAL OF NINGDE TEACHERS COLLEGE NATURAL SCIENCE 年 卷 期 2007 19 1 被引用次数 1次 参考文献 2条 参考文献 2条 1 同济大学数学教研室 高等数学 1988 2 韩玉良 微积分 2003 相似文献 6条 相似文献 6条 1 期刊论文 袁俊华 张文武 YUAN Jun hua ZHANG Wen wu 一般旋转体的体积和侧面积计算公式 安庆师范学院学 报 自然科学版 2008 14 2 在一般数学分析教材中 关于旋转体的体积和侧面积的计算都是就旋转体的对称轴是X轴或Y轴这两种特殊情况进行研究的 但实际上 由于曲线 y f x 经坐标变换后 有时会变得非常复杂 为此提出将微元法和解析法相结合 推出一般旋转体体积和侧面积的计算公式 使这类计算变得简洁明了 2 期刊论文 吴振林 Wu Zhenlin 旋转体的体积与旋转面的面积 潍坊教育学院学报2005 18 2 本文借助中学物理的静力矩和重心概念 以及几何中的相关知识 引入计算旋转曲面面积 旋转体体积的两个 初等 公式 使计算简单化 代数化 同 时加深学生对积分思想以及微元法的理解 提高解决积分应用问题的能力和兴趣 3 期刊论文 节存来 求旋转体体积的一种新方法 河北农业大学学报2004 27 5 利用通常的方法求旋转体的体积是相当繁琐的 本方法由重积分微元法推导出一个求旋转体体积的新公式 并给出了它的几何解释 该公式将旋转体的 体积与生成旋转体的平面图形的重心联系起来 使计算简便直观 4 期刊论文 谷琼 朱莉 袁红星 旋转体体积的计算方法 高等数学研究2006 9 1 利用坐标平移及旋转变换法或微元法计算光滑曲线绕任意直线旋转所得旋转体的体积 5 期刊论文 朱雄才 杨志芳 关于旋转体的二个积分公式 云南师范大学学报 自然科学版 2004 24 4 文章运用微元法 给出了计算平面图形绕这个平面内的任意一条直线旋转而成的旋转体的体积与侧面积的二个积分公式 6 期刊论文 聂智 NIE Zh