关于数学教学中问题的设计_高中数学教学设计案例分析之二.pdf

1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 教学研究 关于数学教学中问题的设计 高中数学教学设计案例分析之二 李善良 江苏省中小学教学研究室 210013 众所周知 在数学学习中 问题是非常重 要的 有了问题 学生的思维才能有效地启 动 才能产生积极的活动 普通高中数学课程标准 实验 提出 提高数学地提出 分析和解决问题 包括简单 的实际问题 的能力 苏教版高中数学课程标 准实验教材的编写 试图进行这方面的尝试 为 教师与学生提供一些示范与启示 在教材编写 过程中 始终贯穿着一种基本指导思想 通过问 题 特别是问题串的形式 不断引导学生进行积 极的思维活动 在解决问题的过程中 通过观 察 发现 归纳 类比 猜想 推理等活动 不断揭 示数学本质 建立数学理论 本文结合教材与数学教学实践中的一些 案例 就 问题 的价值 含义 设计等内容进 行简要的分析 一 问题 的价值 关于数学问题的作用或价值 许多数学 家作了精辟的论述 问题是数学的心脏 哈 尔莫斯 你要求解的问题可能不大 但如果 它能引起你的好奇心 如果它能使你的创造 才能得以展现 而且 如果你是用自己的方法 去解决它们的 那么 你就会体验到这种紧张 心情 并享受到发现的喜悦 在易塑的青少年 时期 这样的体验会使你养成善于思维的习 惯 并在你心中留下深刻的印象 甚至会影响 你一生的性格 波利亚 在数学教学中 数 学问题是引发学生思维与探索活动的向导 有了问题 学生的好奇心才能激发 有了问 题 学生的思维才开始启动 有了问题 学生 的探究才真正有效 有了问题 学生的学习动 力才能持续 1 问题是数学课堂的心脏 在数学研究过程中 问题是数学的心脏 同样 在数学教学过程中 问题也是课堂的心 脏 没有问题 学生便没有思维 那种简单的 是不是 对不对 等没有思维含量的提问 充斥课堂 只能弱化学生的智力 通过问题 才能把知识的逻辑结构与学生的思维过程有 机地联系起来 使知识的逻辑结构转化为学 生的认知结构 通过问题 学生主动探究 发 现数学的内在规律 认识 理解数学本质 并 在活动过程中建构数学 2 问题是数学活动的载体 数学课堂是在教师引导下学生思维活动 的场所 然而 我们往往以简单的记忆 训练 操作来替代学生的思维 实际上 许多所谓的 活动 都不是有效的数学活动 因为没有学 生思维的参与 或者没有学生思维的深度参 与 怎样引导学生进行有效的活动呢 那就要 设计合理 恰当的 问题 问题是数学活动的 载体 没有问题的活动 没有思维参与的外在 操作活动 只能是 假活动 在这次课程改革 过程中出现许多误区 其中较为普遍的误区 就是没有思维参与的 假活动 有了问题 就需要解决问题 这样 学生 的思维就动起来了 在解决问题的过程中 又 会不断地产生新的问题 促进原来问题的进 一步解决 同时 随着新问题的提出 思维又 向前推进 因此 问题是数学思维活动的结 1 第1期 高中数学教与学 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 果 思维从问题开始 思维活动又导致新的问 题的产生 这样 循环往复 思维便得以发展 3 问题体现发现和学习的统一 在数学发现过程中 首先是通过一系列活 动 观察 操作 实验 归纳 类比 联想 推理等 提出猜想 实际上是一个问题 为了解决这个 问题 又进行大量的思维的活动 寻找反例 验 证 推理 逻辑论证等 同时 解决问题的每一 步都是不断提出问题与解决问题的过程 这个过程 在教学中同样被同构地加工 着 所不同的是 经过教学法的加工 使历史 过程变得缩短 使历史进程中的 险阻 变得 适度 便于学生在适当的时间与空间内 能 够达到思维活动的目的 但两者的思维过程 原理都是相似的 因此 通过问题 使数学探 索过程得以再现 在教师引导下学生进行再 发现 再创造 学生只有经历类似的过程 思 维才能得到锻炼 能力才能得到提高 综上所述 在数学教学设计中 树立 以 问题为中心 的设计意识是十分必要的 二 问题 的含义 问题 在数学学习中是十分重要的 然 而 许多教师对 问题 的含义却十分模糊 有 些教师把问题等同于数学习题 等同于提问 实际上 在数学教学中 数学问题 是引导学 生发现数学 探究数学 建立数学 运用数学 的一种心理困境 这种困境是学生有目的待 追求而尚未找到适当手段解决的 希尔伯特 关于数学问题的论述对我们的教学有一定的 指导意义 一个数学问题应该是困难的 但 却不应是完全不可解决而致使我们白费力 气 在通往那隐藏的真理的曲折道路上 它应 该是指引我们前进的一盏明灯 最终并以成 功的喜悦作为对我们的报偿 根据数学内容与教学环节的不同 教学 中的 数学问题 可以分成多种类别 有的是 为了揭示核心内容的核心性问题 有的是为 了引出新内容的导向性问题 有的是为了渗 透数学思想方法的启迪性问题 案例1 集合的引言 蓝蓝的天空中 一群鸟在欢快地飞翔 茫茫的草原上 一群羊在悠闲地走动 清清的湖水里 一群鱼在自由地游泳 鸟群 羊群 鱼群 都是 同一类对象 汇集在一起 这就是本章将要学习的集合 其实 在学习 自然数 有理数 等内 容时 我们已经使用了 自然数集 有理数 集 等术语 我们知道 所有的自然数在一起 构成 自然数集 所有的有理数在一起构成 有理数集 这里 用 集合 来描述研究的 对象 既简洁又方便 那么 我们要问 集合的含义是什么 集合之间有什么关系 怎样进行集合的运算 评析 这里的问题就是本章要研究的核 心内容 三个问题实际上是集合内容的核心 概念 本章的学习实际上就是要解决这三个 问题 为了解决这三个主问题 又产生出若干 小问题 每个小问题的解决 就构成整个内容 的学习与探究过程 核心性问题有利于学生 对知识的整体把握 通过核心性问题的引领 学习过程可以有序 有效 案例2 解析几何初步的引言 引进平面直角坐标系 用有序数对 x y 表示平面内的点 根据曲线的几何性质 可以 得到关于x y的一个代数方程f x y 0 反 过来 把代数方程f x y 0的解 x y 看作 平面上点的坐标 这些点的集合是一条曲线 我们知道 直线和圆是基本的几何图形 那么 如何建立它们的方程 如何通过方程来研究它们的性质 评析 这里的问题就是为了揭示解析几 何的思想方法 整个解析几何的教学始终贯 穿着这两个问题 实际上就是反复启迪学生 不断感悟解析几何的思想方法 我们知道 解 析几何的学习最为重要的是它的思想方法 而这种思想方法的掌握 说起来容易但达到 2 高中数学教与学 2008年 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 自觉行为阶段却是很难的 通过高中阶段的 学习应当使学生感悟这种思想方法 而不仅 仅是记忆有关概念 掌握有关计算技巧 整个 解析几何的内容安排始终围绕这两个问题进 行 启迪性问题有助于学生掌握数学思想方 法 有助于学生理性精神的成长 三 问题 的设计 如果一个教师 给他的学生以适合他们 认知水平的问题去引起他们的好奇心 并用 一些吸引人的问题来帮助他们解题 他就会 引起学生们对独立思考的兴趣并给他们一些 方法 波利亚 课程改革以来 随着对高中 数学课程改革基本理念的深入认识 广大教 师在进行教学设计时 普遍重视问题情境设 计 重视问题的设计 如何进行问题设计 根据问题在数学学 习中的作用 必须注重问题的整体性 层次 性 探究性等基本内容 1 注重问题的整体性 传统教学设计 往往重视初始问题的设 计 引入 而之后便变成教师的讲解 在讲解 过程中 尽管也会提出一些问题 但这些问题 多是孤立的 随意的 实际上 整个课堂应成 为一个有机的整体 从初始问题开始 到回顾 反思为止 应当是一个系统的 完整的思维整 体 否则 课堂便被分解得支离破碎 没有合 力感 带给学生的只是知识与技能 而不是思 维的整个过程 孤立的问题对学生思维的发展几乎没有 什么作用 问题只有以 问题串 的形式出现 在问题串的引领下 学生进行系列的 连续的 思维活动 才能不断攀升新的思维高度 因 此 在设计问题时 必须从整体出发 注重问 题串的设计 避免出现单一的 孤立的 问题 从不同的角度出发 问题串可以有多种形式 核心发散式 直线序列式 偏序分支式 分层 嵌套式 等等 无论是进行一章的设计 还是进行一节 课的设计 都应当考虑学生整体思维的过程 在知识建构 学生探究 反思升华等方面给出 一个系统的完整的动态设计 而这些过程又 是通过问题有机联系 引申 逐步深入的 在 大的框架下逐步衍生出每一个小的框架 再 到每一个内容 最后 通过反思又形成整体的 思维 问题情境 问题的提出 问题的 解决 学生的活动 建立数学 运用数学 反思升华 对这个过程进行凝缩 就不断 精练着思维 案例3 解析几何中的问题串 3 第1期 高中数学教与学 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 评析 解析几何中的每一个内容都可以 通过问题串 来逐步使学生获得整体的内容 与思想方法 这里的问题串好比一棵树 从树 干到树枝 从树枝到树叶 是一个脉络极为清 晰的整体 解析几何的两个核心问题贯穿到 每一个细节中 如图1 案例4 任意角的三角函数的问题串 评析 当然 问题串并非单一的 固定的 形式 在整体问题设计中 有些是靠核心性问 题贯穿 有些是靠导入性问题引领 有些是靠 启迪性问题渗透 在 任意角的三角函数 的 内容中 启迪性问题是 如何建立周期性的数 学模型 而导入性问题是 如何表示任意 角 核心性问题是 怎样表示不同旋转方向 所形成的角 怎样将锐角的三角函数推广到 任意角的三角函数 如何用数学语言刻画函 数的周期性 通过这些问题的交互 分解 生 成整个内容 在具体设计时 可以从一个侧面 切入 逐步展开 将整个内容串成一个有机的 整体 不仅一个模块 一章内容要整体设计 一 节课的教学更要进行整体设计 下面的案例 可以说明这一点 2 注重问题的层次性 问题之间应具有层次 由浅入深逐步展 开 这种层次不仅是逻辑之间的层次 更为主 要的是思维过程的生成性 在进行问题设计 时 应充分关注学生的思维活动过程 根据经 验进行合理的预设 同时根据课堂上学生的 实际反映情况 进行恰当的生成 案例5 用二分法求方程的近似解 问题1 能否求解以下几个方程 1 2 x 4 x 2 x 2 2x 1 0 3 x 3 3x 1 0 问题2 能否解出方程x 2 2x 1 0的 近似解 问题3 不解方程 如何求方程x 2 2x 1 0的一个正的近似解 精确到0 1 问题4 能否描述二分法 问题5 二分法实质是什么 问题6 利用二分法求解方程 f x 0 或 g x h x 的近似解x0的基本步骤 是什么 4 高中数学教与学 2008年 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 问题7 利用二分法求函数零点的条件 是什么 评析 怎样想到创立一种新的方法求解 方程的近似解 这里从具体问题入手 不断设 疑 层层深入 具体方程 方法 本质 操 作步骤 一般条件 最终使学生获得对二分 法的整体认识 在进行问题设计时 整个问题串的层次 分明 不仅利于学生思维的飞跃 加深对数学 本质的认识 同时 通过经历解决问题的整个 过程 还能使学生学会提出问题 分析问题 解决问题的一般方法 3 注重问题的探究性 引导学生进行自主探究是本次课改提出 的核心理念 如何引导学生进行有效的数学 探究 关键在于 问题 的设计 问题本身应具 有探究性 案例6 函数的单调性 如图2为某地区2006年元旦这一天24小 时内的气温变化图 观察这张气温变化图 问题1 说出气温在哪些时段内是逐步 升高或下降的 问题2 怎样用数学语言刻画上述时段 内 随着时间的增大气温逐渐升高 这一特 征 问题3 对于任意的t1 t2 4 16 时 当t1 t2时 是否都有f t1 f 1 那么函数 f x 是R上的单 调增函数还是单调减函数 2 若定义在R上的单调减函数 f x 满 足 f 1 a f 3 a 你能确定实数a的取 值范围吗 评析 本节课通过 1 创设情境 提出 问题 2 探究发现 建构概念 3 自我尝试 运用概念 4 回顾反思 深化概念这四个环 节完成整个内容的学习 本节课从具体图形入手 逐步设问 引导 学生探究给出单调增函数概念 进一步要学 生自己探究单调减函数概念 再返回实际中 进行判断 之后 要学生进行证明 为了有效 地促进学生理解掌握函数的单调性概念 设 计了6个问题 这6个问题实际上是不断进行 探究 不断在已有的认识基础上进行推进 探 究的内容愈来愈深入 上述通过教材与教学中