第10章 曲线积分与曲面积分 习题 10- (4).pdf

1 第 四 节 第 一 类 曲 面 积 分 习 题 10 4 1 当 是 xOy 平面内的一个有界闭区域时 曲面积分 df x y zS 与二重积 分有什么关系 解 d 0 d d f x y zSf x yx y 2 计算曲面积分 d f x y zS 其中 为旋转抛物面 22 2 zxy 位于 xOy平面上方的部分 f x y z分别为 1 1 f x y z 2 22 f x y zxy 3 3 f x y zz 解 如图10 25所示 22 2 zxy 22 d144d d Sxyx y 在xOy面上的投影 域为 22 2 xy Dxy 1 2 2 222 00 d144d dd14d xy D Sxyx y 2 3 2 2 0 13 14 63 2 2 2 22222223 00 d 144d dd14d xy D xySxyxyx y 2 53 22 22 0 22149 14 14 16 5330 z y O x 22 2 zxy 图 10 25 2 2 3 2222 3 d3 2 144d d xy D z Sxyxyx y 222222 6144d d3 144d d xyxy DD xyx yxyxyx y 13149111 6 3 33010 根据 1 及 2 的结果 3 计算下列曲面积分 1 4 2 d 3 xyzS 其中 为平面1 234 xyz 位于第一卦限的部分 2 2 1 d 1 S x y 其中 为四面体1 0 0 0 xyzxyz 的整个边 界曲面 3 22 d xyS 其中 为柱面 22 9xy 及平面0 3zz 所围成的区域 的整个边界曲面 4 22 d xyzS 其中 为锥面 22 zxy 在01z 的部分 5 d xyzS 其中 为球面 2222 xyza 上 0 zhha 截下的有限曲面 解 22 2 d5d d zxySx y 在xOy面上的投影域为 22 2 xy Dxyax 曲面 的面积为 2 d5d d5 xy D ASx ya 5 求抛物面壳 22 01 2 xy zz 的质量 此壳面密度 x y zz 解 如图10 32所示 令 22 22 d1d d 2 xy zSxyx y 在xOy面上 的投影域为 22 2 xy Dxy 抛物面壳的质量为 ddMx y zSz S 22 22 1d d 2 xy D xy xyx y 2 2 2 2 00 2 d1 d 6 31 215 6 求密度为常数 的均匀半球壳 222 zaxy 的质心坐标 解 如图10 33所示 令 222 zaxy 222 dd d a Sx y axy 在xOy面上的投影域为 z y O x 22 2 xy z 图 10 32 1 2 z y O x 22 zxy 图 10 31 2 1 6 222 xy Dxya 设均匀半球壳的质心坐标为 x y z 则根据对称性知 0 0 xy 因为半球壳的面积为 2 d2 ASa 所以 3 222 2 222 11 dd dd d 22 xyxy DD aaaa zz