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第一节空间几何体的结构及三视图和直观图1.空间几何体的结构特征2空间几何体的三视图(1)三视图的形成与名称空间几何体的三视图是用_得到的，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是_的，三视图包括_、_、_.(2)三视图的画法在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的_方、_方、_方观察几何体画出的轮廓线3空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用_画法来画，基本规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为_，z轴与x轴所在平面垂直(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中_.平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中_，平行于y轴的线段长度在直观图中_.一规律三视图的长度特征：“长对正，宽相等、高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法两个概念(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心.答案：平行且相等全等公共顶点平行于底面 相似平行投影完全相同正视图 侧视图 俯视图正前正左正上斜二测45(或135)还是线段保持不变变为原来的一半1.空间几何体概念定义空间几何体在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分如果我们只考虑物体的 和 ，而不考试其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体2.棱柱图形表示法上图中的棱柱可记为棱柱 ABCDEABCDE分类按底面多边形的 分为三棱柱、四棱柱、五棱柱破疑点有两个面互相平行，其余各面为平行四边形的几何体，却不一定是棱柱，如图所示的几何体就不是棱柱1.下列几何体中，柱体有() A1个 B2个 C3个 D4个3.棱锥:图形表示法上图中的棱锥可记为棱锥 分类按底面多边形的 分为三棱锥、四棱锥、五棱锥其中三棱锥又叫 破疑点判断一个几何体是否是棱锥，关键是紧扣棱锥的三个本质特征：(1)有一个面是多边形；(2)其余各面是三角形；(3)这些三角形有一个公共顶点这三个特征缺一不可下图是一个三棱锥吗？4.棱台图形表示法上图中的棱台可记为棱台 分类按底面多边形的 分为三棱台、四棱台、五棱台1.下面四个几何体中，是棱台的为()1.圆柱：图形表示法用它的轴的字母，即表示两底面 的字母表示， 上图中的圆柱可记作圆柱 规定 和 统称为柱体1.下列命题正确的个数为()圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线；圆柱的母线是连接圆柱上底面上一点和下底面上一点的直线；矩形的任意一条边都可以作为轴，其他边绕其旋转围成圆柱；矩形绕任意一条直线旋转，都可以围成圆柱A1 B2 C3 D42.圆锥定义以 三角形的一条 所在直线为旋转轴， 其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥图形有关概念如上图所示，轴为 ，底面为 ，SA为母线 另外，S叫做圆锥的 ，OA(或OB)叫做底面O的 表示法圆锥用表示它的 的字母表示，上图中的圆锥可记作圆锥 规定 与 统称为锥体1.以图1所示的直角三角形的一条边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体有哪些？ 知识拓展圆锥的简单性质：(1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等(2)平行于底面的截面都是圆，如图a所示(3)过轴的截面是全等的等腰三角形，如图b所示(4)过任意两条母线的截面是等腰三角形，如图c所示3圆台定义用平行于 底面的平面去截圆锥， 与 之间的部分叫做圆台图形有关概念原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的 底面和 底面 与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、 、母线， 所示，轴为 ，AA为母线.表示法用表示的轴的 表示，上图中的圆台可记作圆台 规定 与 统称为台体1.关于圆台，下列说法正确的是_两个底面平行且全等； 圆台的母线有无数条；圆台的母线长大于高； 两底面圆心的连线是高4球以半圆的 所在直线为旋转轴，半圆面旋转 形成的旋转体叫做球体，简称球有关概念半圆的 叫做球的球心；半圆的 叫做球的半径；半圆的 叫做球的直径图形表示法球常用表示 的字母表示，如上图中的球记作球 简单几何体的结构特征例1判断下列说法是否正确(1)棱柱的各个侧面都是平行四边形； (2)一个n(n3)棱柱共有2n个顶点；(3)棱柱的两个底面是全等的多边形； (4)如果棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面也都是矩形【例2】给出下列命题：圆柱的母线与它的轴可以不平行；圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的 其中正确的是()A B C D【例3】如下图所示，下列几何体中_是棱柱.简单组合体的结构特征【例4】如下图所示，它们是不是棱锥、棱台、圆柱、圆锥等几何体？空间几何体的平面展开图【例5】如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？几何体的展开问题【例6】一个六棱锥PABCDEF，底面是边长为1米的正六边形，侧棱长为2米，M为PA的中点，从D点拉一条绳子，沿锥体侧面(不经过底面)到达M点分组讨论，在什么情况下，绳子最短？1投影定义由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的 ，这种现象叫做投影，其中，我们把光线叫做 ，把留下物体影子的屏幕叫做 分类中心投影光由 向外散射形成的投影，叫做中心投影 中心投影的投影线交于 平行投影在一束 光线照射下形成的投影，叫做平行投影平行投影的投影线是 的在平行投影中，投影线 着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影破疑点当图形中的直线或线段不平行于投影线时，平行投影具有下述性质：(1)直线或线段的平行投影仍是直线或线段 (2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线(3)平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长(4)与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等2.三视图分类正视图光线从几何体的 面向 面正投影，得到投影图侧视图光线从几何体的 面向 面正投影，得到投影图俯视图光线从几何体的 面向 面正投影，得到投影图分类说明几何体的正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的 ， 三视图是 投影特征一个几何体的侧视图和正视图 一样，俯视图与正视图 一样，侧视图与俯视图 一样.破疑点三视图的排列规则是：先画正视图，俯视图安排在正视图的正下方，长度与正视图一样；侧视图安排在正视图的正右方，高度与正视图一样正视图反映物体的主要形状特征，是三视图中最重要的视图；俯视图与侧视图共同反映物体的宽度要相等即“正侧等高，侧俯等宽正俯等长”1.如左下图所示的是物体的实物图，其俯视图是()【补充】当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影具有的性质：(1)直线或线段的投影仍是直线或线段；(2)平行直线的投影仍然平行或重合；(3)平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；(4)与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；(5)在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比另外，考察一个几何体的投影是什么图形，首先要分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何例1给出以下结论：矩形的平行投影一定是矩形；梯形的平行投影一定是梯形；两条相交直线的投影可能平行；如果一个三角形的平行投影仍是三角形，那么它的中位线的平行投影一定是这个三角形的平行投影的中位线其中正确结论的序号是_1.下列图形中采用了中心投影画法的是()画简单几何体的三视图【例1】画出如下图所示几何体的三视图 由三视图还原空间几何体【例2】下面是两个几何体的三视图则(1)中几何体是_，(2)中几何体是_【例3】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AA1、C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图中的_(填序号) 如图(1)所示，E、F分别为正方体面ADDA、面BCCB的中心，则四边形BFDE在该正方体的各个面上的投影可能是图(2)中的_ 【例4】某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()【例5】下图是一个物体的三视图,该物体由多少个小长方体组成1用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)在已知图形中取互相 的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x轴与y轴，两轴交于点O， 且使xOy45 (或135)，它们确定的平面表示水平面(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成 于x轴或y轴的线段(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度 ，平行于y轴的线段， 长度变为原来的 破疑点用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形的直观图的画法，而画水平放置的平面图形的关键是确定多边形的顶点因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这些顶点就可画出多边形1.在已知图形中平行于x轴的线段AB6cm，则在直观图中线段AB_cm；2.在已知图形中平行于y轴的线段CD4cm，则在直观图中线段CD_cm.2画空间几何体的直观图的步骤(1)在几何体中取水平平面，作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴，使xOy90，xOz90.(2)画出与Ox，Oy，Oz对应的轴Ox，Oy，Oz，使xOy45 (或135)，xOz90，xOy所确定的平面表示水平平面(3)几何体中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成 于x轴、y轴或z轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同(4)几何体中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度 ，平行于y轴的线段，长度为原来的 (5)擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间几何体的直观图1.在空间几何体中，平行于z轴的线段AB10cm，则在直观图中对应的线段AB_cm.水平放置的平面图形直观图的画法例1画正五边形的直观图分析建立坐标系xOy后，B、E两点不在坐标轴上或平行于坐标轴的直线上，故需作BGx轴于G，EHx轴于H.画法(1)以正五边形的中心为原点O，建立如图(1)所示的直角坐标系xOy，再建立如图(2)所示的坐标系xOy，使xOy45；(2)在图(1)中作BGx轴于G，EHx轴于H，在坐标系xOy中作OHOH，OGOG，OAOA，OFOF，过F作CDx轴使CDCD且F为CD的中点(3)在平面xOy中，过G作GBy轴，且GBBG，过H作HEy轴，且HEHE，连接AB，BC、CD、DE、EA，得五边形ABCDE为正五边形ABCDE的平面直观图1.如图所示，梯形ABCD中，ABCD，AB4cm，CD2cm，DAB30，AD3cm，试画出它的直观图(答案图)画几何体的直观图例2用斜二测画法画出六棱锥PABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF是正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心O(尺寸自定)解析直观图的还原例31.如图所示，正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是多少？1.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是()A. B1 C1 D2【例4】斜二测画法可以画任意多边形水平放置的直观图，如果把一个圆水平放置，看起来像什么图形？画出水平放置的圆的直观图【例5】用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图 跟踪训练将例1中三角形放置成如图所示，则直观图与例1中的还一样吗？ 【例6】用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCDABCD的直观图【例7】如图，一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形，它的底角为45，两腰和上底边长均为1，求这个平面图形的面积跟踪训练已知ABC的平面直观图ABC是边长为a的正三角形，那么原ABC的面积为( )A.a2 B.a2 C.a2 D.a2(提示）第二节空间几何体的表面积与体积1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 S圆柱侧_ S圆锥侧_ S圆台侧_2空间几何体的表面积和体积公式两种方法(1)解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图(2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是求三角形的高和三棱锥的高这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.答案：2rlrl(rr)lShSh(S上S下)h4R2R3【例1】已知棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥SABCD，求它的表面积【例2】已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积，体积V台(SS)h. V圆台(SS)hh(r2rRR2)(r、R分别为圆台上底、下底半径)【例3】圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180，那么圆台的表面积是多少？(结果中保留)【例4】如图所示的三棱锥PABC的三条侧棱两两垂直，且PB1，PA，PC，求其体积(一直线和一平面内两相交直线垂直，则直线与平面垂直) (等体积,换位思考）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ()A22 B42 C2 D4（跟踪4图） （例5提示图）【例5】球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为34，则球的体积与圆台的体积之比为()A613 B514 C34 D715简单组合体的表面积和体积【例6】如图，梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ADa，BC2a，DCB60，在平面ABCD内过点C作lCB，以l为轴旋转一周求旋转体的表面积和体积【例7】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B3 C. D6(例7图）（跟踪7图）一几何体的三视图如图所示(1)说出该几何体的结构特征并画出直观图； (2)计算该几何体的体积与表面积【例8】圆柱有一个内接长方体AC1，长方体对角线长是10cm，圆柱的侧面展开平面图为矩形，此矩形的面积是100 cm2，求圆柱的体积跟踪训练8如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为_ 【例9】如图，在底面半径为1，高为2的圆柱上A点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？ 跟踪训练9一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个高为x的内接圆柱(1)用x表示圆柱的轴截面面积S； (2)当x为何值时，S最大？ 1下列说法中正确的是()A棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C棱柱中一条侧棱就是棱柱的高 D棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形2下列说法中，正确的是() A有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 是棱锥 B用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台C棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形3下列说法错误的是 () A多面体至少有四个面 B九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形 C长方体、正方体都是棱柱 D三棱柱的侧面为三角形4下图是由哪个平面图形旋转得到的 ()5下列说法正确的是 () A圆锥的母线长等于底面圆直径 B圆柱的母线与轴垂直 C圆台的母线与轴平行 D球的直径必过球心6下面几何体的截面一定是圆面的是 () A圆台 B球 C圆柱 D棱柱7下列说法从投影角度看，三视图是在平行投影下画出的；平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线交于一点； 空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线有可能变成相交了； 如果一个三角形的平行投影仍是三角形，那么它的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中位线 其中正确的有 ()A1个 B2个 C3个 D4个8某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是() A三棱锥 B四棱锥 C四棱台 D三棱台9将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的左视图为 ()10已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为 ()A16 B64 C16或64 D无法确定11棱柱的侧棱() A相交于一点 B平行但不相等 C平行且相等 D可能平行也可能相交于一点12棱台不一定具有的性质是()A两底面相似 B侧面都是梯形C侧棱都相等 D侧棱延长后都交于一点13下列命题中正确的是()A有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体叫棱台C有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D棱台各侧棱的延长线交于一点14如下图所示，在一个封闭的立体图形的6个面分别标出1,2,3,4,5,6这6个数字，现放成下 3个不同的位置，则数字1,2,3对面的数字是()A4,5,6 B6,4,5 C5,4,6 D5,6,415如图，下列几何体是台体的是()A B C D16下列几何体是组合体的是()17充满气的车轮内胎可由下面某个图形绕过对称轴(虚线为对称轴)旋转而成，这个图形是()18下列各项不属于三视图的是()A正视图 B侧视图 C后视图 D俯视图19.下列说法正确的是()A平行投影的投影线相交于一点，中心投影的投影线相交于一点B平行投影的投影线相交于一点，中心投影的投影线互相平行C平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线互相平行D平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点20已知ABC，选定的投影面与ABC所在平面平行，则经过中心投影后所得的三角形与 ABC()A全等 B相似 C不相似 D以上都不对21一条直线在平面上的平行投影是()A直线 B点 C线段 D直线或点22下列说法错误的是()A正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度B俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度C侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度D一个几何体的正视图和俯视图高度一样，正视图和侧视图长度一样，侧视图和俯视图宽度一样23一图形的正投影是一条线段，则这个图形不可能是()A线段 B长方体 C圆 D梯形24添线补全下列物体的三视图25下列图形中，采用中心投影画法的是()A(1)(3)B(2)(3) C(1)(4) D(2)(4)26已知某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体为()A圆台 B四棱锥 C四棱柱 D四棱台27下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是()A(1)(2) B(2)(3)C(3)(4) D(1)(4)1下列关于直观图的说法不正确的是()A原图形中平行于y轴的线段，对应线段平行于直观图中y轴，长度不变B原图形中平行于x轴的线段，对应线段平行于直观图中x轴，长度不变C画与直角坐标系xOy对应的xOy时，xOy可以画成135D在画直观图时，由于选轴的不同所画直观图可能不同2如果平面图形中的两条线段平行且相等，那么在它的直观图中对应的这两条线段()A平行且相等 B平行不相等