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第一章 课后练习题解第一章 课后练习题解 1 2 一速度场用 23 111 xyz uvw ttt 描述 1 求加速度的欧拉描述 2 先求 矢径表示式 000 rr xy z t 再求此加速度的拉格朗日描述 3 求流线 1 解 加速度的欧拉描述 2 22 22 1 0 1 11 2222 1 11 1 3336 1 11 1 x y z Duuuxx au Dxtxttt vvyyy av tytttt wwzzz aw tztttt 1 23 23 000 102030 2 00 2 lnln 1 11 1 1 1 0 c 1 1 dxxdxdt xtc dttxt xct yctzct txxyyzz xcycz rxt iytjz 先求迹线 同样可求得 由时 得 于是位置矢量可表示为 3 0 1 t k 加速度的拉格朗日描述 2 0 2 2 2 00 2 2 3 00 2 1 0 1 2 1 6 1 x y z axt t ayty t aztzt t 1 11 2 1 22 3 1 33 2 3 ln 11 2 ln 2 11 3 ln 3 11 1 s t s t s t dxs dsxcxc e xtt dys dsycyc e ytt dzs dszczc e ztt xyzs t yc x z 求流线 从 表达式中消去得 3 c x 1 5 已知流体质点的空间位置表示如下 23 00000 1 1 tt xxyyx ezzx e 求 1 速度的欧拉表示 2 加速度的欧拉和拉格朗日表示 3 过点 1 1 1 的流线及0t 时在 000 1 1 1 xy z 处的流体质点的迹线 4 散度 旋度及涡线 5 应变率张量和 旋转张量 解 1 速度欧拉表示 2233 0 00 0 22 33 tttt xxyz uvx exewx exe tttt 2 加速度拉格朗日表示 23 00 0 4 9 tt xyz uvw aax eax e ttt 加速度欧拉表示 23 0 4 9 tt xyz uvw aaxeaxe ttt 3 流线与迹线 由于0u 这是一个平面流动问题 流线微分方程为 23 00 23 0102 23 2 3 tt tt dydz ds x ex e yx esczx esc 由初始条件 012 0 1 1 1 1 1 1 sx y zxxcc 于是 23 1 21 31 tt xyeszes 消去参数 s 得流线方程 2 1 11 3 t xyze 将 000 1 1 1 xy z 分别代入题目给出的 x y 和 z 表达式 即得迹线方程 2233 1 11 11 tttt xyeezee 4 散度 旋度和涡线 23 0023 tt uvw uxexe xyzyz 32 23 32 023 tt tt ijk uejek xyz xexe 涡线方程 1 2 32 2 323 t tt xc dydz zyec ee 5 应变率张量和旋转张量 2323 22 33 33 00 22 00 00 33 0000 22 tttt tt tt eeee ee ee S A 1 8 设速度场 0ux t vy w 求经过空间固定点 x y z 在 t 时刻的脉线方程 解 将速度式代入迹线微分方程 0 dxdydz dt x ty 积分得 123 t xc tyc ezc 由 tx y zx y z 时得 1 123 cxcy ecz 将以上常数代入迹线方程 1 t xx tyy ezz 以上即所求脉线方程 式中t 1 11 设一很长的风洞中 温度 T 的变化规律为 0 sin 2 x L TTaet 其中 0 TaL 均为常数 x是从入口处量起的距离 流体质点以常速度 U 进入风洞 求流体质点通过风洞时温度的变化率 解 求流体质点温度变化率即求温度的随体导数 222 cossin1 x Lx L DtTTtt UaeUaeL Dttx 222 sincos x L Utt ae L 1 17 已知流场 22 16 10 uxy vwyz 1 沿下边给出的封闭曲线积分求速度环 量 010 0 05 10 xyyx 010 5 05 0 xyyx 2 求涡 量 然后求 A ndA 式中 是 1 中给出的矩形面积 n 是此面积的法线单位矢量 10 5 0 0 22 0 0 10 5 33 1 1610165 10 10 50000 1616 10 5 10 5 50 00101051033 L u dl x dxdyxdxdy xyxxyx 解 求环量 2 22 2 2 1610 1 5 1050 AAA ijk uz ik xyz xyyz ndAz ikkdAdAA 求涡量和涡通量 比较以上结果得 LL u dlndA 1 19 在p点的应力张量由下式给出 702 050 204 求 1 在p 点与法线单位矢量 221 333 n 垂直的平面上的应力矢量 n P 2 垂直于该平面的应力矢量分量 3 n 与 n P 之间的夹角 702 22110 1 0504 0 3333 204 n pn 解 2 3 1044 2 4 0 2 3 39 1 3 nnn pn 3 cos nn pnpn 5 10 2 22 44 9 cos0 9389 10 40 3 20 1 n n pn p 1 23 设流动速度场 0u