浙江科技学院高等数学期末试卷.pdf

自测练习一 自测练习一 一 选择题 每小题 3 分 共 18 分 一 选择题 每小题 3 分 共 18 分 1 曲线绕 22 0 0 xyx z x轴旋转一周所成的旋转曲面方程为 A B 222 0 xxyz 22 0 xxy C D 222 0 0 xxyz z 22 0 0 xxy z 2 极限 2 0 0 lim x y x 2 y xy A 等于 0 B 不存在 C 等于 1 2 D 存在且不等于 0 和 1 2 3 曲线2sin 4cos xt yt zt 在点 2 0 2 处的法平面方程是 A 24 2 xz B 24 2 xz C 4 2 yz D 4 2 yz 4 若平面区域 D 为 则 22 11 xy D f x y dxdy化成累次积分为 A 2cos 00 cos sin df rrr dr B 2cos 0 cos sin df rrr dr C 2cos 2 0 2 cos sin df rrr dr D 2cos 2 00 2 cos sind f rrr dr 5 L 为 2 yx 从点 1 1 到 1 1 的一段弧 则曲线积分 L xy dxxy dy A B C D 2 201 6 下列级数中 发散的是 A 1 3 42 1 nn B 1 1 2 1 3 n n n C 1 1 1 1 n n n D 1 1 1 1 n n nn 二 填空题 每小题 3 分 共 18 分 二 填空题 每小题 3 分 共 18 分 1 级数 1 3 5 n n n 为 填 收敛收敛 或 发散发散 级数 第 1 页 共 2 页 2 设u x y zxyzzx 22 则 yx u 2 3 交换积分次序 2 22 12 xx x dxf x y dy 4 设L为圆周 222 xyR 上位于第一象限内的一段弧 则 22 L xyds 5 设 1 1 lim 4 n n n a a 则幂级数的收敛区间为 2 0 2 n n n ax 1 0 1 0 x ex f x x n a n n n a 1 1 下的最大值 求函数 五 五 证明题 本题 5 分 证明题 本题 5 分 若正项数列 单调减少 且发散 证明 n n n a 1 1 1 收敛 自测练习一参考答案及评分标准自测练习一参考答案及评分标准 一 一 选择题 每小题 3 分 共 15 分 选择题 每小题 3 分 共 15 分 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A B C C B D 二 二 填空题 每小题 3 分 共 21 分 填空题 每小题 3 分 共 21 分 1 收敛 2 0 3 2 111 02 y y dyf x y dx 4 3 2 R 5 4 0 6 e2 2 三 试解下列各题 每小题 7 分 共 56 分 三 试解下列各题 每小题 7 分 共 56 分 1 解 解 因为6 4 zz xy xy 于是曲面在点 2 1 3 的法向量为 3 分 12 4 1 n 所以曲面在点 2 1 3 的切平面方程为 0 3 1 4 2 12 zyx 即 031412 zyx 5 分 曲面在点 2 1 3 的法线方程为 1 3 4 1 12 2 zyx 7 分 2 解 解 D 为0 02rR 3 分 故 2222 2 00 ed de 1 R xyrR D x ydrdre 7 分 3 解 解 因为 2223332 2323 2 22 23 123 yy yy xyx ex exyyx yx eyx e yx 3322223 22 2 1 yy x exyyxxyx e xy 4 分 所以 2223332 2 22 yy L D xyx edxx exyyx dydxdy 6 分 3 7 分 4 解 解 1 1 2 limlim1 1 2 1 nn n n n n 1 分 当 x 1 时 级数发散 当 x 1 时 级数收敛 所以收敛域为 1 1 3 分 第 1 页 共 3 页 又 1 00 1 0 11 nn nn xx x nxn 记 1 01 1 nn nn xx S x nn 4 分 则 1 1 1 1 n n S xx x 第 2 页 共 3 页 所以 0 1 ln 1 1 x xdxx x S 6 分 0 1 ln 1 1 0 0 1 1 1 0 n n xxx x n x 7 分 故 5 解 解 因为 11 22 1 2 f x x 1 x 3 分 所以 0 1 2 22 n n x f xx 3 分 于是由 23 3 22 0 20 30 x y z Fy z Fxyz Fxy z xyza 5 分 解得 63 aa xyz 2 a 8 分 由问题的实际意义知 当 63 aa xyz 2 a 时 函数取得最大值 6 6 3 2432 a a aa u 10 分 五 五 证明题 本题 5 分 证明 题 本题 5 分 证明 由于正项数列单调减少可知有 且 1 分 lim n n a a0 a 又由发散知 2 分 n n n a 1 1 0 a 于是 111 limlim1 11 n n nn nn aaa 1 A 1 3 5 5 B 1 1 3 3 C D 1 1 1 0 3 设是由平面 1xyz 与三个坐标面围成的区域 则将 f x y z dv 化为 累次积分结果为 A B 111 000 dxdyf x y z dz 111 000 yxy dxdyf x y z dz C D 111 000 xy dxdyf x y z dz 111 000 xxy dxdyf x y z dz 4 设 22 xy dxx ydy 是的全微分 则 u x y u x y A 2 0 y x ydyC B 22 00 xy xy dxx ydyC C 22 0 x xyx y dxC D 22 0 y xyx y dyC 5 下列级数中 收敛的是 A 1 n n n n B 3 1 1 1nn C 1 1 n n D 1 ln n n 6 若级数在处收敛 则此级数在 1 n n n a x 2x 1x 处 A 发散 B 条件收敛 C 绝对收敛 D 敛散性与 有关 n a 二 填空题二 填空题 每题每题 3 分 共分 共 18 分分 1 已知两直线 11 22 x 1 yz 与 13 42 x1yz m 相互垂直 则 m 2 设 则 2 xy z x ye 2z x y 第 1 页 共 2 页 第 2 页 共 2 页 3 设平面区域D为半圆 222 0 xyRx 则将 D f x y dxdy 化为极坐标系 下的累次积分结果为 4 已知平面曲线 2 x 2 1 y L 其周长为则 43 L a 22 34 xy ds 5 函数 1 的林收敛域 f x 2x 麦克劳展开式为 写出其 6 设 0 f x 2 1 0 1 xx x 是以2 为周期的函数 s x是其傅里叶级数 展开式的和函数 则 s 算题算题 第第 5 题题 8 分 其余每分 其余每0 分分 1 求二次曲面 2 20 xyz 三 计各题题三 计各题题 7 分 共分 共 5 22 在点 1 1 1 处的切平面和法线方程 2 求 x2 2 ydv 22 其中 是由3xyz 及平面3z 所围成的闭区域 3 验证曲线积分 2 1 42 1 23 4 x 3 yydxxxydy 0 与路径无关 并计算积分 计算4 zdS 其中表示上半球面 22 4 xyz2 0z 5 求幂级数 n n nx 1 的收敛域以及和函数 6 判定级数 1 1 1 1 n n 的敛散性 若收敛 指出是条件收敛还是绝对 收敛 1 n n 为 周 期 的 周 期 函 数 它 在 上 的 表 达 式 为7 设 f x是 以2 0 4 x 0 4 f x x 且 12 11 1 nn nn 发散 1 n n u 发散 4 分 4 分 故 由比较审敛法知 再记 1 1 n v n n 1 1 1 n n n v 1 lim0 nnn n vvv 且 且 7 7 分 7 分 解 解 则原级数为交错级数 由莱布尼茨定理可知原级数收敛 所以原级数为条件收敛 7 分 7 分 1 cos0 n af xnxdx 0 1 2 n 2 分 2 分 1 sin 0 1 sin 2 nxdx 1 1 1 2 n n 第 3 页 共 3 页 n bf xnxdx 1 21 1 2 0 2 nk kn nk 5 分 5 分 所以 1 1 sin 21 21 k f xkx 0 2x k x 7 分 7 分 四 应用题四 应用题 8分分 解 解 立体在平面上的投影区域为 22 4D xy xoy 1 分 1 分 则所求体积 22 4 Vx D ydxdy 4 分 4 分 rdr 6 分 6 分 4 22 0 22 2 00 4 dr 2 2 8 4 r r 8 分 或 8 分 或 Vdxdydz 2 分 5 分 2 分 5 分 2 224 0 r ddz 00 rdr 0 4 rrd 22 2 0 dr 4 22 0 2 2 4 r r 8 8 分 五 证明题 6 分 8 分 五 证明题 6 分 由于数列 1 1 1 n n n x x n x单调上升 则为正项级数 1 分 1 分 321122 111 nnn n S xxxx 1 231231 2132111 22 5 nn nnn xxxxxxxxx xx xxxxxxxx xx 分 而上有界 则 n x n S上有界 故 1 1 1 n n n x x 收敛 自测练习 3 自测练习 3 一 选择题 每题 3 分 共 21 分 一 选择题 每题 3 分 共 21 分 第 1 页 共 7 页 01 平面231xz A 平行于xoz 面 B 平行于轴 y C 垂直于轴 D 经过轴 yy 2 下列曲线中 绕y轴旋转生成曲面 222 323xyz1 的母线是 A 1 22 32 0 xy x B 1 22 32 0 xy y C 22 23 0 yz z 1 D 22 23 0 yz x 1 3 记 000000 xxxyyy AfxyBfxyCfxy 则 f x y在驻点 00 xy处 取得极大值的充分条件是 A 2 0 0ACBA B 2 0 0ACBA D 2 0 0ACBA 1 n u n D 若 1 n n u 发散 则为常数 也发散 1 n n k uk 6 设级数的收敛半径为 2 则级数在处 0 n n n a x 0 1 n n n ax 2x A 发散 B 绝对收敛 C 条件收敛 D 敛散性与 n a有关 7 设 2 0 0 xx f x xx 是以2 为周期的函数 s x是其傅里叶 级数展开式的和函数 则 2 s 的值等于 A 2 B 0 C 1 D 2 二 填空题 每题 3 分 共 18 分 二 填空题 每题 3 分 共 18 分 1 曲面 22 20 xyz 在点处的切平面方程为 1 2 3 2 直线 21 20 xy xz 0 与平面的夹角为 30 xyz 第 2 页 共 3 页 3 计算 0 0 1 m xy x y e xy li 2 121 00 y dyf x y dx 4 交换二次积分的次序 5 设为连接点 0到的一线段 则L 2 2 0 L xy ds 1 1 1 n q n n 条件收敛 则q的取值范围为 6 已知级数 三 试解下列各题 1 2 每题 6 分 3 7 每题 7 分 共 47 分 三 试解下列各题 1 2 每题 6 分 3 7 每题 7 分 共 47 分 1 设函数 zz x y 由方程ez所确定 求0 z xy 2 zz xx y 2 判断级数 1 1 3 sin 4 n n n 22 2 2sin L 的敛散性 3 计算Iyxdxxy dy 其中L 沿曲线sin 4 x y 0 0 O 2 1 B 232 34 由点 到点的弧段 ky dxxyy dy yk u x y为某个函数u x的全微分 求和 x4 若 2 5 将函数 1 1 x2 的幂级数 并求出幂级数的收敛区间 展开为 x 6 计算 2 21 3 IzyxdS 其中 为平面36xyz6 2位于第一卦限的 部分 7 计算三重积分Izdv 其中 由曲面 2 2zx 2 y 与平面所围闭 区域 0z 四 应用题 8 分 四 应用题 8 分 求由曲面 22 2zxy 与 22 zxy2 所围立体的体积 五 证明题 6 分 五 证明题 6 分 设级数 1 2 n n a 收敛 证明 级数 1 1 1 n n n n a 绝对收敛 第 3 页 共 3 页 自测练习 3 参考答案及评分标准自测练习 3 参考答案及评分标准 一 选择题 每小题 3 分 共 21 分 一 选择题 每小题 3 分 共 21 分 1 B 2 D 3 D 4 A B C D 5 A 6 B 7 C 二 填空题 每小题 3 分 共 18 分 二 填空题 每小题 3 分 共 18 分 1 或2 1 4 2 3 0247xyzxyz 2 0 3 1 4 2 1 21 4 00 x dxf x y dy 5 4 2 6 12q 三 计算题 三 计算题 1 6 分 解 6 分 解 方程0 z ezxy 两边同时关于x求导得 0 z zz e xx y 2 分 2 分 得 1 z zy xe 同理 1 z zx ye 4 分 4 分 22 23 1 1 1 1 1 zz zz zzz z eye zyexyy x yy eee e 或 3 1 2 1 zz z eze e 6 分 另解 用公式法或微分法 2 6 分 解 6 分 另解 用公式法或微分法 2 6 分 解 记 1 3 sin 4 n n n u 则 13 3 sin 44 n n n u n 3 分 3 分 又级数 1 3 4 n n 收敛 4 分 4 分 由比较判别法 原级数收敛 6 分 6 分 另解另解 1 11 1 11 3sin3 3 44 limlimlim1 1 4 3 sin 44 n nn n nnn n n nn u n u 4 分 4 分 由比值判别法 原级数收敛 6 分 6 分 3 7 分 解 7 分 解 记 22 2 2sinPyxQxy 所以曲线积分与路径无关 2 分 2 分 2 x Q y P 取积分路径为折线 则有 0 0 2 0 2 1 OAB 2222 2 2 2 2 OAAB Iyxdxxsin y dyyxdxxsin y dy 21 22 00 111 4sin 5 sin 64 xdxy dy 分分2 7 分 7 分 或取折线路径积分 则有 0 0 0 1 2 1 OCB 12 22 00 111 sin 2 5 sin2 7 64 Iydyxdx 分 分 分 分 第 1 页 共 6 页 或取直线路径 1 2 yx 积分 3 分 3 分 则有 2 22 0 11 2 5 2264 x Ixxxsindx 分分 11 sin2 4 7 分 7 分 4 7 分 7 分 解 解 记 232 2 3PxkyQxyy 由题意 232 2 34 xkydxxyy dy 为函数 u x y的全微分 故有 x QPy 1 分 1 分 而 22 3 3 yx PkyQy 得1k 2 分 2 分 取 232 0 0 2 34 x y u x yxydxxyy dy 3 分 3 分 取积分路径为折线 0 0 0 xx y 第 2 页 共 4 页 22 00 2 34 xy u x yx dxxyy dy 5 分 5 分 332 2 2 3 xxyy 7 分 7 分 232 2 34PxkyQxyy 232 34 xk 另解另解 记 ydxxyy dy u x为函数y的全微分 由题意 2 xy QP 1 分 1 分 故有 22 3 3 yx PkyQy 1 得k 而 232232 2 34 2 3 4x 2 分 2 分 ydxxyy dyx dxy dxxy dyydy 4 分 4 分 332 2 2 5 3 dxd xydy 分 分 332 2 2 3 dxxyy 所以 332 2 2 3 u x yxxyy 7 分 7 分 5 7 分 7 分 解 解 因为 1111 2 13 2 3 1 3 x xx 2 分 2 分 又 0 1 1 11 1 nn n xx x 4 分 4 分 所以 1 00 112 1 1 2 15 1333 n n nn n nn x xx x 7 分 7 分 6 7 分 6 7 分 解 解 的方程为1 32 xy z 在xoy面上的投影 2 分 2 分 236 0Dxyxy 又 1 3 x z 1 2 y z 22 7 1 6 xy dSzzdxdydxdy 4 分 4 分 77 3 5 62 DD Idxdydxdy 21 2 分分 7 分 7 分 另解 另解 平面2366xyz 的法向量 2 3 6 n 方向余弦 6 c