初中数学概念有效获得的案例研究.doc

初中数学概念有效获得的案例研究-对“图形的旋转”一课教学环节设计的思考摘要 初中几何从本质上来说，还是处于实验几何阶段，许多几何概念的生成离不开实际生活背景的支撑和对此展开的抽象演绎。从概念生成的有效性、二期课改理念及学生的认知结构、情感需求等方面来看，有效的“教学环节”设计决定着几何概念有效地生成。本文从“图形的旋转”的教学案例出发，通过对教学环节不断的反思和改进，阐述了有效的教学环节设计对概念生成产生的作用，强调了良好的教学流程和教学意图对学生的认知发展、概念的自我完善乃至良好的数学思维培养的重要作用。这种作用体现在师生之间有意义的思维互动上，在这种互动中，学生对概念的理解随着求知欲的提升逐步逼近目标。在整个过程中，学生经历着“生活现象”数学化的转变，这种用数学知识研究生活现象的方式正是课程标准中需要学生着重加强的。关键词 初中数学 概念的形成与获得 教学环节设计一、问题的提出什么是概念？概念是“揭示一类事物本质特征的思维形式，是人脑对客观现实的反映”。而数学概念是对客观事物的数量关系、空间形式或结构关系的特征概括，是对一类数学对象的本质属性的反映。因此，概念是直观现象抽象表示的结果，作为几何概念来说，其抽象程度与其它类型概念相比，认知难度往往会更高。这种直观思维到抽象思维的转化过程对每个学生来说是有所不同的。抽象思维质量的高低，有时直接决定着几何概念能否真正的形成。因此，如何合理地引导学生进行自然、高效地抽象思维，这对几何概念的教学而言也就至关重要了。新的课程标准提出：关注学生学习的过程，通过创设学习情境、开发实践环节和拓宽学习渠道，帮助学生在学习过程中体验、感悟、建构并丰富学习经验，实现知识传承、能力发展、积极情感形成的统一。二、“初中几何概念”有效获得的前期分析1对学生认知结构的分析初中学生对几何的初始感觉还是比较陌生的，因此，他们对几何概念的理解，往往是知其内容，而不知其用途，这是实验几何初期大多数学生的特征表现。因为，真正论证几何的逻辑推理还未形成，所以，此时几何概念的教学不可能依托纯的几何论证，而必须符合学生的心知层次，要从生活中逐步呈现它们的几何原型，这在二期课改的新教材中，也大量地予以了体现。这种引入几何概念的方式与学生实际的认知发展之间是相互吻合的。数学课程改革过程中需要教师达成一个共识：学生学习数学是一个连续不断地同化新知识、构建新意义的过程。教育改革的要点中明确了：重视教学与现实生活的联系。完整的数学教学过程区分为抽象、符号变换和应用三段，以往的教学以单纯地处理中段为重点，这导致了数学教学脱离实际的倾向。现在，强调数学抽象和数学应用已成为国内外课程内容改革的共同取向。学生在对现实生活中几何原型的“数学化”过程中，矫正并浓缩了概念的内容；在不断地操作、辩析和归纳中，巩固了已有的认知，同时，激发了认知新的增长点。我们的教学不只是知识的传授，更是一种学习品质和学习兴趣的塑造和培养。2对教学热点的分析当前教学理念的热点不碍乎二个字：有效。这里的“有效”不只是知识和方法在单位时间里获取的很多，它还包括很多与学习有关的潜在思维、合作交流、归纳总结等因素的充分发展和释放。因此，这里的“有效”应该是广义范畴下的有效，它是学生在二期课改理念实施过程中我们所期望达到的全方位的效果。教师的教学设计在很大程度上影响着学生学习的有效性。要实现有效的学习，作为学习组织者的教师就应该关注学生的心理环境，把焦点放在每位学生的认知活动和情感体验上，把有效激发学生的学习活动作为自己教学的首要任务。要设计一堂以促成概念有效获得为目标的教学活动，关键是要将“以教材为中心”转为“以学生发展为中心”，教师要对学生的发展有全面的认识，因此，备课必须遵循以学生为本，各个环节都要尽可能多的从学生的角度去思考，从学生的年龄、心理特点、认知水平、认知方式出发去反思教师的教学过程。3对概念形成和概念获得的分析什么是概念获得的标志？是得到概念的定义，还是能用概念进行应用？这两者之间存在本质区别。布鲁纳对概念形成与概念获得作了区分。概念形成(concept formation)是指学生知道某些东西属于这一类别，其他东西不属于这一类别；概念获得(concept attainment)则是指学生能够发现可用来区别某一类别的成员与非同一类别的事物的各种属性。课堂学习不只是形成概念，还要让学生获得概念。他们获得概念的主要形式是概念同化。通过对学生原有认知结构进行调整、改造、重建的“顺应”过程，有助于学生同化抽象的新概念，因此，优化教学环节设计是促进学生理解和掌握数学概念的一种有效途径。概念的形成是概念获得的基石，概念获得是对概念形成的深化。在很多概念课的讲授过程中，两者之间不能相互割裂。有时概念的获得取决于概念形成过程中的一个微小环节。在概念形成过程中，教学环节设计的愈细腻，愈有分辨性和目的性，那么概念的获得也就愈加有效，而且这是一个良性的循环。在此循环的趋势下，又可使学生形成更新的概念。因此，教师在教学环节设计的过程中，一定要关注学生能否借助已有的知识去获得知识，这是教学技巧主要内涵之一。所以，好的教学环节设计是概念形成和概念获得的催化剂，它起到的作用是有益和高效的。4对学生情感价值取向的分析新的课程标准要求学生懂得数学与人类生活有密切的联系，初步了解数学对个人发展和社会发展的作用；形成正确的学习动机，激发学习数学的兴趣，树立数学学习的自信心，养成良好的学习习惯，勇于克服困难，在学习中不断进取。然而要做到以上的要求，对当代中学生而言，光靠单一的情感教育和片面的动机教育是不够的，课堂是教书育人的主阵地，新课标中对学生情感态度与价值观的要求，必须潜移默化地落实进课堂教学的每一个环节。让学生在学习的过程中，不断磨练自身学习的品质，逐渐形成良好的学习观和价值观，同时，在良好的学习习惯形成的过程中，完善自己正确的主体意识和自我评价意识。三、实施过程（一）教学分析1本节课是七年级上学期的教学内容，属于直观经验几何向实验几何学习的过渡阶段。图形的旋转是图形运动的基础知识，也是整章的难点，学好图形的旋转能够为之前的平移和之后的翻折学习起到承前启后的作用，也为进一步学习平行、全等形等几何知识及推理做好数学知识的储备。 2生活中旋转的现象随处可见，学生凭直观观察较容易获得旋转的初步感受。但是对图形旋转要素的提炼与确立是一个难点。3复杂的图形都是由简单的点、线段等组成的，因此，弄清楚一个点、一条线段绕着某个点旋转过程中的变化与联系是理解图形在运动过程中的变化与联系的必要前提与基础。 4关于图形旋转的性质有两个方面：（1）图形旋转后，图形的形状、大小不变；（2）图形旋转过程中，对应点到旋转中心的距离保持不变。性质（1）凭借直观观察容易发现，性质（2）可能会有一定的困难。 5本章属于实验几何的初始阶段。学生理解的获得主要依靠直观感知和动手操作。因此应该加强观察、操作、画图等活动，促进概念理解的形成。 6本次执教的学生正在进行六年级第二学期的学习，他们已经具备了对三角形、正方形、圆和扇形等基本图形的描述与周长、面积的计算。对线段和角的学习还处在小学的知道阶段，并未深入学习。大多数学生习惯处理静止的简单几何图形，图形旋转的学习是学生首次用运动的观点看待几何图形，加之学生年龄和能力的差异，抽象分析的能力较弱。（二）教学目标的确定1通过对生活中有关旋转现象的观察与提炼，感知物体的旋转与图形的旋转；通过观察、比较、辨析与动手操作，理解图形的旋转是由旋转中心、旋转角和旋转方向共同决定的。2通过对旋转前后图形之间变化与联系的观察、操作实验与理性思考，发现并概括图形旋转的有关性质，体验实验几何的研究方法和图形运动的数学思想，增强探究意识。3感受数学与生活的联系，感受数学美，在操作实验中体会“实践出真知”的道理。（三）教学流程的设计 概念中要素的提炼 巩固对概念的理解 学生尝试发出指令 画图操作提供支架：方格图去支架 图形是由点、线段等组成 点、线段的旋转是图形旋转的基础 （四）课堂教学环节的设计与研究数学源于生活，又运用于生活。概念的形成和获得不是一躇而就，教师关注的不只是教学的结果，而应该更关注教学实施的过程。教学过程实施的是否流畅、有效，取决于教师对教学环节的准确把握。教师对教学环节的把握和调整要增进学生的思维，要让学生在有效的环节设计中经历有质量的思维活动，这是概念获得和形成的关键。为此，我们经历了如下教学环节的改进过程。1最初教学环节的设计（1）由生活中物体的旋转抽象出图形的旋转，并形成对图形旋转的初步认知。（2）学生动手操作、感受图形的旋转。通过“发指令”环节（注：老师如果希望大家完成同样的旋转操作，该如何说才能让大家听的懂？），提练出图形旋转的概念和要素。（3）依靠支架（小方格）依次完成5道关于点、线段、三角形的旋转作图。（4）从前期练习中抽取二副图，观察并提炼出旋转的性质。（5）归纳小结在实际试讲中我们发现：学生在环节（1）、（2）中的思维活动比较流畅和活跃。学生通过对生活中物体旋转的观察，能够形成图形旋转的初步感知，但此时学生都有各自不同的理解，而且是不完整的。通过环节（2），特别是在“发指令”的环节中，学生基本上能够强烈地感知图形旋转的概念和要素。实 录：前提：先请学生观察一个三角形旋转的动画展示（三角形ABC绕点A顺时针旋转60度，以上旋转要素先不告知），然后要求学生对三角形的旋转进行语言描述生1：将三角形顺时针旋转师： 若老师用你的描述向大家发出指令，同学们能正确地完成同样的操作吗？大家：不能师： 那该如何发出指令？生2：需要转过的度数（老师马上告之图形旋转了60度）生3：需要说出绕哪一个点转的度数（大家积极的观察、思考、发言）师： 谁能给出一个大家都满意的指令？（学生小声的进行语言组织）生1：三角形ABC绕点A顺时针旋转60度。 在2道类似的“发指令”练习后：师： 大家觉得什么是图形的旋转？要准确描述图形的旋转必须交代清楚哪些要素？生4：把一个图形绕着一个点朝顺时针或逆时针方向转动一个角度。生5：要描述一次图形的旋转需要告知：绕着哪一个点旋转、朝什么方向转动以及转动了多少度。此刻学生的回答已经基本上和书本中的概念吻合了。但在环节（3）中，我们发现学生虽然知道图形旋转的概念和要素，但在实际运用这一块，还是存在相当的难度，约有3/4左右的学生无法完成三角形旋转的作图。学生缺少点的旋转相对于图形旋转的作用的感知。我们反思学生概念形成和获得的过程觉得：教学环节（2）和（3）之间过渡地偏快。学生只是形成了图形旋转的概念，但对一个图形旋转后的位置和旋转图形作图要点的把握还未形成。这几个环节把握不好，图形旋转概念的真正获得就有困难，因此我们适当地在原来的教学环节中进行了几处修改。2教学环节的改进1为了加强学生对动态图形位置和点的旋转作图方法的感知，我们在环节（2）和环节（3）之间增加了如下铺垫：铺垫1：如图：若将长方形ABCD绕点D逆时针旋转90度,则旋转前后图形位置正确的是下面哪一个?ADCB 铺垫2：如图： ABC是等边三角形,将ABP绕点顺时针旋转后能与CBP重合,那么:旋转中心是点 ；AB的对应边是： ；APB的对应角: ；旋转角是: ；旋转角等于 度；如果M点是AP的中点，那么旋转后M点的对应点是 。针对环节（3），我们在第2题后作了如下补充：铺垫3：将点B绕点A顺时针旋转900B A这个铺垫应该是一个亮点。其目的：通过从有支架到无支架的变化，使学生在思维上产生对比。通过教师不断的引导，使学生真正感知到在实际操作中点的旋转的作法：首先要联结已知点和旋转中心，然后按要求画出旋转角，最后定位。当然这个过程的讲解是在黑板上完成的。之后，我们引出第2个点C，要求完成同样要求的作图，由此引导学生去感知线段旋转的作图方法；最后，我们再引出第3个点D，也要求学生完成与前面同样要求的作图，由此再引导学生感知三角形旋转的作图方法。通过上述步步深入的挖掘和探究，学生的思维质量得到了提高，学生的原有认知得到了不断的发展。事实证明：学生在绘图过程中，对图形前后位置变化的感知和点的旋转绘制方法得到了加强，有近2/3的同学能够大致完成环节（3）中的第3和第4题。当然还有相当数量的错误，但我们认为：图形旋转的作图本身就是一个不断对比、矫正和获得的过程。学生在操作中完成了对概念的实践和进一步的感知，这是一个循序渐进的过程。然而新的问题又加以产生：环节的增加势必导致教学时间的紧张，在作图完成后，我们几乎没有足够的时间进行图形旋转性质的总结，在不断的思考和对比后，我们对教学环节又进行了修改。3教学环节改进2经过讨论，大家深刻地感觉到：性质和规律的获得不是在小结中开始形成的，而是发生在某些教学关键环节的实施过程中的。于是大家对教学实录和教学设计进行了仔细的挖掘和分析，进而发现在改进1增设的铺垫1中，当问及学生为什么不选选项5时，学生回答到：图形旋转后，图形的大小不应该发生变化。这个回答其实已经昭示了图形旋转的性质1：图形在旋转的过程中，图形的形状、大小不变，对应线段的长度、对应角的大小相等。因此我们决定在此回答后面安排一个追问环节：既然图形在旋转前后的大小不会发生变化，那么也就意味着图形中还有什么也不会发生变化？学生通过对这个问题的思考和回答，也就自然地领悟到了图形旋转的性质1。其次，在环节3的第1题中（将线段AB绕点A顺时针旋转90度），我们发现学生有如下作图：B1 AB 前期，这种结果是作为一种错误的例子与正确作法进行对比的，以此帮助学生形成正确的画法，而且在问及该结果为什么错误时，学生的表述为：点B1应在点A上方4格的位置。细思学生这句话背后的思维活动，我们感觉到学生的思维其实已经触及到了图形旋转的性质2，等待我们的就是如何抓住时机、趁热打铁，在操作中将图形旋转的性质2一气呵成。于是，我们将性质2的归纳前移，通过对图形旋转过程中点的运动路线的探究，顺势完成性质2的总结：图形在旋转的过程中，对应点到旋转中心的距离保持不变。通过对上述细节的修改，我们发现学生的思维质量和效率较以前又提高了不少，而且在实际操作中，图形旋转性质归纳的环节和整个实际操作的环节完全融合，课堂教学过程较以往更加流畅，教师不是为了归纳而归纳。学生完全是在活动中不断地发现新知，教学效率也大为提升。通过上述对教学环节和细节的不断修改，我们感到后期的教学环节更趋合理，导向性和目的性更为明确，几何概念形成的某些障碍点也一一扫平，而且有效地突破了教学重点和难点，最终达成了教学的目标。四、教学实践过程的亲身感悟1提高了教师对课程理念实践的认识中小学课程的基本理念是以学生发展为本，坚持全体学生的全面发展，关注学生个性的健康发展和可持续发展。很明显，教师对学生教育活动的主要目的不是传授学生多少知识，而是有效利用传授知识这个过程为学生提供人格发展、认知发展、身心发展等各方面的学习经历，这种经历是实现学生“终身学习”的重要经验。作为一堂数学概念课亦是如此。几何概念的形成和获得以及几何规律的建立大多是一种学生探究新知的实践历程，这种历程体现在课堂中，就是学生在每个教学环节中的思维发展。往常的教学环节之间经纬分明，学生在各个环节中完成预设好的几个问题，虽然每个环节中问题的目的性比较明确，但缺少各个环节之间的指向性的联系，由此导致的结果就是课堂教学环节各主要内容孤立性的呈现，教学内容的整体性变弱。学生在一个环节中的思维是连续的、递进的，但在环节之间的思维联系不强。在整个教学实践过程中，我们最终的教学环节如下：初步感知图形的旋转概念的形成和要素的提炼 用概念解 决问题 性质从生活实例抽象出图形的旋转尝试描述图形的旋转并加以辨别进行旋转的操作对图形旋转发出指令并加以矫正辨别图形旋转的正确位置辨识旋转角、对应边和对应角完成图形旋转的绘制小结这样的环节设计增强了问题和问题之间、环节和环节之间的联系，并且相互呼应，层层铺垫。每一步都为学生的思维跳跃做足了准备，学生的思维、情感和价值取向在这些环节之间不断得以加强，从而真正实现了知识传承、能力发展和积极情感形成的统一。2促进了教师教学能力和魅力的提升一堂好课首先要有一个好的教学设计，良好的教学环节设计是综合了教师对学生、教材、媒体等多方面因素掌握的程度。因此，经历一次好的教学环节设计的过程，本身就是在考验一个教师的各种教学能力，同时又在潜移默化之间提升教师对综合教学能力的运用。所有这些运用体现在教学环节中的三个主要部分：情境引入、教师引导下的学生认知活动、归纳和总结。首先，良好的情境导入能快速地吸引学生的注意力，激发学习兴趣，在学生头脑中建立良好的第一印象，为下面的学习活动做好铺垫。其次，教师引导下的学生认知活动是课堂教学的核心。教师要对学生实际的认知情况做到准确适度的把握。著名心理学家维果斯基把学生认知水平的发展分为两个阶段：第一发展水平是“现有发展水平”，即学生接触新知识前的原有认知结构；第二发展水平是“最近发展区”，即在原有认知结构的基础上最易被学生同化和顺化的认知结构。学生的认知活动设计应渗透“以学生发展为本”的理念，围绕学生已有的经验、体验及未来的发展展开，在学生的“最近发展区”着力，引导学生主动参与，从而使学习过程成为学生满足需要和体验成功的愉悦过程。最后，在前期教学环节的充分垫衬下，课堂知识的归纳也就不会花费很大力气，因为它发生在学生的认知过程之中，并在该认知过程中逐渐完善。通过对教学环节的优化设计，可以充分展现教学的意图，大幅提升教学效率，同时也能充分彰显教师的个人教学魅力。如此坚持下去，教师专业化发展也就愈加迅速，这是年轻教师走向成熟的重要途径。3有利于学生学习兴趣的培养兴趣是促进学生努力学习的动力的源泉。教师要有目的地激发和培养学生持久的认知兴趣，使之不仅成为认知过程的动力，也成为促进学生心理品质良好发展的重要因素，而这正是教学环节设计的目的之一。教学环节的设计就是通过关注学生的特点和采取适当的策略使教学变成吸引人的活动。激发学习兴趣应贯穿于各个教学环节，教师要在教学环节的设计中，引导和鼓励学生主动操作、观察、描述、思考、发现和总结，这是知识获得的关键所在。学生在观察和体会数学现象的同时，就是在对具体的数学知识进行认知；学生在对数学现象做出描述时，就是在应用已有知识，结合自己的理解进行分析，因此，有效的教学环节设计是培养学生的观察能力、思维能力的有效方法，也是提高他们发现问题、分析问题和解决问题能力的有效途径。随着课改的深入，新教材与实际生活的联系更为紧密，学生学习活动的空间更为宽广，更富有挑战性，学生完全可以在学习过程中获得不同的发展。因此，当前教师一定要抓住课改这个契机，努力修炼内功，在教学环节的有效性上多思考，只有这样，才能使学生爱其师好其科，从而激发学生的学习兴趣，使学生的综合素质得到提高，使他们终身受益。4对教学环节设计过程的思考首先，教学环节的设计过程不是随着课堂教学而开始和结束的。一个有效的教学环节设计，在授课前需要完成许多复杂而又必要的分析。教师要能正确地解读所授内容在整个学科体系和知识章节中的地位和作用，同时要深入地了解自己的学生：他们已经具有了哪些知识结构？具备了什么认知能力？他们还需要什么？他们能够达到一个怎样的认知高度？此外，教师必须知道所教学生在当前年龄特征下的兴趣激发点是什么。在一堂课结束后，对教后的反思和总结也是造就下次有效教学环节设计的经验积累。课堂教学只不过是将前期大量的分析予以呈现和实施而已。在这次教学实践中，我们对教学环节的设计经历了如下过程：确定课题和教学目标改进已有教学环节新教学环节的实施 反思 可以看出，教学环节设计的过程是经历了多次反复和斟酌的，其目的就是为了让学生更有效地进行概念的获得。这种对教学环节设计的研究是“自求”，是教师对提升自身教学素养的要求，是一种自我完善的过程，最终是要成为教师的一种自觉行为。正是这种“自求”，才能使教师不断成长，形成自己的教学风格，提升教学境界，实现课堂的真正“有效”教学。 五、教学实践后的反馈上海市教研室、上海市数学特级教师康士凯名师培养基地、上海市数学特级教师胡仲威、江苏常熟骨干教师高级研修班、宝山区教师进修学院教研室、宝山区张波初中数学教学研究工作室在我校开展了以“概念教学”为主题的教研活动。在这次活动中，我以“图形的旋转”这一课进行了教学实践。在课后的研讨中，大家进行了广泛地交流：1教师对本节内容的感受大家普遍认为这是一堂容量和要求极高的教学，要在40分钟内完成所有概念的传授和概念的应用几乎是不可能完成的任务。这一点在专家的发言中也可感知一二。大家对整堂课的引入，概念形成和获得过程中的环节设置评价较高。作为一节几何概念课，整个教学环节十分注重概念的生成，学生在观察、操作、描述、辨别及归纳中完成了一次又一次的认知增长。整堂课中，学生都处在积极的主动思维之中，教学过程的流畅程度以及教学效率都很好，如果能在概念的应用中再多一点时间，那么整堂课的效果会更好。2与会专家的感受和建议专家一：整堂课，学生都在与老师做着积极的思维互动，而且，教学内容的引入和整个教学环节的设计让人有一种耳目一新的感觉，特别是旋转性质得到的方式使人感受深刻。专家二：在整个授课过程中，各种为知识形成而做的铺垫让人感到细腻，而且每个环节的目的性明确，但在动手操作环节中，是否可以让一个学生到黑板上进行旋转操作的展示？专家三：我看了书本中关于图形的平移和图形的旋转的概念表述，前者强调了“图形上的每一个点”，而后者没有强调“图形上的每一个点”，这里的区别很大，大家要给予重视。专家四：在用概念完成作图应用的过程中，应该再加强一下：点的旋转相对与图形旋转作用的引导。专家五：图形的旋转在外省市是八年级的教学内容，是否可以直接让学生尝试完成三角形旋转的作图？在此任务的引导下，从中探究点的旋转相对与图形旋转作用。专家六：关于“图形的旋转”这堂课，很多地方都开过，但有一个问题始终没有解决：学生知道了旋转的概念和性质，但还是