广西科技大学时间序列分析计算题复习题.doc

广西科技大学20132014学年第 2学期时间序列分析计算题复习题1. 设时间序列来自过程，满足 , 其中是白噪声序列，并且，（1） 判断模型的平稳性。（5分） （2） 利用递推法计算其一般线性过程表达式的前三个系数：， 。（5分） 解答：（1）其 特征方程为，特征根为，在单位圆外，故平稳！ 也可用平稳域法见（P52公式（4.3.11）。 （2)由P57公式（4.4.7)知道 。2. 某国1961年1月2002年8月的1619岁失业女性的月度数据经过一阶差分后平稳（N500），经过计算样本其样本自相关系数及样本偏相关系数的前10个数值如下表k12345678910-0.470.06-0.070.040.000.04-0.040.06-0.050.01-0.47-0.21-0.18-0.10-0.050.02-0.01-0.060.010.00（1） 利用所学知识，对所属的模型进行初步的模型识别。（5分）（2） 对所识别的模型参数和白噪声方差给出其矩估计。（5分）解答：（1） 样本自相关系数1阶截尾，样本偏相关系数拖尾， （2） 由于模型有，。3. 设是二阶滑动平均模型,即满足，其中是白噪声序列，并且，（1） 求的自协方差函数和自相关函数。（2） 当时，计算样本均值的方差。解答：（1）（2） 4. 设是正态白噪声序列，并且，时间序列来自，问模型是否平稳？为什么？解答： 该模型是平稳的，因为其AR特征方程的根为1.25，大于1。5.假定Acme公司的年销售额（单位：百万美元)符合AR(2)模型： 其中。（a） 如果说2005年、2006年和2007年的销售额分别是900万美元，1100万美元和1000万美元，预测2008年和2009年的销售额。（b） 证明模型里的。（c） 计算问题（a)中2008年预测的95%预测极限。（d） 如果2008年的销售额结果为1200万美元，更新对2009年的预测。解答: (a)应用P142公式(9.3.28)得 5 + 1.1(10) 0.5(11) = 10.5（百万美元） 5 + 1.1(10.5) 0.5(10) = 11.55（百万美元）(b）由课本54页公式(4.3.21) , ，。（c)由课本第140页公式（9.3.15）知道：，2008年预测的95%预测极限为，这里，故，代入后简单计算得2008年预测的95%预测极限为（7.67,13.33）。（d)由148页更新方程（9.6.1）知 ，所以 （百万美元）6.设的长度为10的样本值为0.8,0.2,0.9,0.74,0.82,0.92,0.78,0.86,0.72,0.84，试求（1） 样本均值；（2） 样本的自协方差函数和自相关函数；（3) 对模型参数给出其矩估计，并写出模型的表达式。（1） 样本均值。 0.758（2） 样本的自协方差函数值和自相关函数值。注意，而(这里，具体计算略过）（3） 对AR(2)模型参数给出其矩估计，并且写出模型的表达式。由Yule-Walker方程，7.设服从模型：，其中。（1） 给出未来3期的预测值；（2） 给出未来3期的预测值的的预测区间（）？。解答：（1） （2）应用延迟算子B表达式，我们有。由（P143公式（9.3.38）知道，。因为故有，。所以未来期的预测值的的预测区间为: 。故未来3期的预测值的的预测区间为：101 101 （0.136，0.332）102 （0.087，0.287）103 （-0.049，0.251）。8.设平稳时间序列服从模型：，其中是白噪声序列，并且，证明：。证明： 由题意 ，两边求方差得 （因为与相互独立） （因为平稳） 整理即得 。 9.设平稳时间序列服从模型：，其中是白噪声序列，并且，证明其偏自相关系数满足：。证明：因为模型偏自相关系数2阶截尾，即当时，。（其一般证明见课本P80页）这里仅证明。事实上，满足如下Yule-Walker方程：（见课本P81公式（6.2.8），其中分别为该模型前2阶自相关系数。由课本P52页的公式（4.3.14）和P53页的公式（4.3.15）知：。于是，解Yule-Walker方程得。10.设时间序列服从模型：，其中是白噪声序列，并且，证明其自相关系数满足：。解：方程两边乘以再取数学期望得，整理得 (1)方程两边求方差得 整理得 （2） 将（2）代入到（1）可得： ，所以 。 注意到 ，而当时，方程两边乘以再取数学期望可得 整理得 （3）在（3）式两边同除，即得 ， 。证毕！ 11.设时间序列服从AR(1)模型：，其中是白噪声序列，为来自上述模型的样本观测值，试求模型参数的极大似然估计。解：依题意，故无条件平方和函数为 易见(见p113式(7.3.6)）其对数似然函数为 所以对数似然方程组为，即。解之得。12.对下列每个ARIMA模型，求和。（a)（b)解：（a) 原模型可变形为 , 注意到为零均值方差为的白噪声序列。所以有 （b)原模型可变形为 , 因此为一个平稳可逆的模型。同时注意到为零均值方差为的白噪声序列，所以我们有 （平稳性） 另一方面， 所以有 。13. 若一时间序列长度为35，现对该时间序列拟合模型得其残差的前6个样本自相关系数如下：计算统计量并由此对残差的自相关性进行检验（显著性水平）。解：易见，（见课本P132）故检验统计量等于 此时服从一个自由度为的卡方分布，因为，所以没有证据来拒绝残差项是不相关的零假设。 14. 若一时间序列长度为100，现对该时间序列拟合模型得其残差的前8