数学证明中的演绎推理与非演绎推理.pdf

1 数学证明中的数学证明中的 演绎推理与非演绎推理演绎推理与非演绎推理 汤光霖 中国矿业大学 北京 100083 E mail xhatt 摘要 推理是从若干命题 前提 直接得出一个命题 结论 的思维过程 推理分为演绎推理与非演绎推理 后者被定义为 不是演绎推理的推理 它当然 包括归纳推理 即归纳法 演绎推理从前提到结论的推导是用 逻辑推导 而 非演绎推理的推导是根据命题的内容之间的联系进行分析 演绎推理的前提与结 论之间的关系必为数理逻辑的逻辑演算中的形式定理所反映 而非演绎推理的相 应关系则不能 因此 演绎推理必遵循某个演绎推理规则 而非演绎推理则不遵 循任何形式的演绎规则 非演绎推理有各种不同的基本类型及以基本类型 简单 演绎推理为基础的整体思维形式 非演绎推理与证明定理的方法密切相关 在数 学证明中 非演义推理的主要作用是为演绎推理提供前提 因而演绎推理经常需 要非演绎推理的支持 关键词 演绎推理 前提分析 逻辑推导 非演绎推理 基本类型 整体思维形式 在数学证明中 非演义推理的主要作用是为演绎推理提供前提 因而 演绎推理经常需要非演绎推理的支持 请参阅 附言 见 P 24 2 引言引言 数学推理属于演绎推理 是数学工作者公认的 我是一个数学教师 也一直这样认为 因为这是数学的传统 但经过较长时间的反复思考 似乎发现在数学证明中存在既不是演绎 推理更不是归纳推理的推理 遂把这种推理叫做非演绎推理 在本文中列举了多个例证 并 形成了一些说法 拔高一点说算是非演绎推理理论吧 由于这些说法是不难判断的 因此可 以肯定是所提出的非演绎推理理论是正确的 另外需要说明一下 本文中的演绎推理是结合数学写的 例如有以下特点等 1 演绎推理的前提是从哪里来的 有的形式逻辑书中说 是由归纳法得到的 但从数 学上看 我认为 从原则上说 演绎推理的前提是由对存在问题进行探索 分析 研究的结 果 从方法上说 演绎推理的前提主要是由非演绎推理及已知的知识提供的 从而说明演绎 推理有时需要非演绎推理的支持 在稿子中有多个例子对此作了说明 2 在形式逻辑书中 一般是列举一些常用的演绎推理规则详加解说 但对如何从前提 推导结论却少见说明 在本文中 根据数学推理的经验 明确提出由前提推导结论的一般推 导方法 逻辑推导 并对数学中的演绎推理的传统推导形式作了说明 3 数理逻辑基础是研究其中的形式推理 从而研究非形式的演绎推理 哥德尔完备性 定理正是体现这种研究的结果 在本文中以通俗易懂的方式概括地介绍了这个定理 并着重 阐明它对演绎推理的重要理论意义 同时提出演绎推理的判定准则 一个推理是否为演绎推 理是有客观标准的 不能根据传统推理习惯说 是或不是 由于考虑到推理关系到诸多科学领域 为了方于阅读 本文仅选择了书籍中一个初等代 数问题及三个微积分定理作为例证进行讨论 另外 本文用到一点逻辑知识 并同时作了说 明 不假定阅读需先有逻辑知识 因为上述原因 本文中的数学起点是很低的 虽然如此 这不应影响对下列事实的认可 即非演绎推理理论揭示了在数学证明中的本已存在但尚未认知的一种重要的基本推理 并且 它还可能是另一种关于认知的基本方法 我们知道演绎推理与归纳法是公认的认知世界的两 种基本方法 水平有限 不妥之处难免 敬请批评指正 3 一 一 演演 绎绎 推推 理理 由于 演绎推理是数学的基本特征 因此 结合数学对数学证明中的演绎推理进行全 面思考 系统阐述 可能还是有意义的 简单地说 演绎推理就是从前提通过推导得出结论 演绎推理的作用在于从已知的知识 得到未知的知识 为了适应数学中的演绎推理形式的要求 说法可以具体一些 例如把演绎 推理表达为 从前提为已知的真命题及定理 一个或几个 推出新的真命题作为结论 或 从前提为已知定理 一个或几个 推出新的定理作为结论等形式 演绎推理的特点是 如果 前提都真 则结论必真 由构成前提的真命题及定理必须能推出结论 换言之 不是任意的 真命题及定理都能构成演绎推理的前提 在数学证明中 演绎推理的前提 即真命题及定理 是从哪里来的呢 特别是从前提如何推出结论呢 推出结论又将如何呢 还有一些其他问 题 这些问题将在后面详细论证或说明 讨论演绎推理必须了解数理逻辑在研究演绎推理方面所获得的非常重要的成果 因为它 对演绎推理有特别重要的意义 数理逻辑基础是研究其中的形式推理从而研究非形式的演绎推理 根据数理逻辑中的 哥德尔完备性定理 凡是演绎推理中成立的前提与结论之间的关系 以及其对应的演绎推理 规则 在数理逻辑形式推理中都能反映 1 P 300 P 336 在下面 我们举几个演绎推理规则例子并看看它们在命题逻辑自然推理系统 1 PP 1 228 中的反映 例如有演绎推理规则 设 A 则 B 若非 B 真 则非 A 亦真 其在命题逻辑自然推理 系统中的反映是形式定理 A B B A 其中符号 表示在数理逻辑自然推理系统的形式推理规则 有若干条 相当于公理 下 由符号 左边的合式公式序列 推导出符号 右边的合式公式 这就是形式推理 形式推理过程就是形式证明 形式证明可这样理解 亦即将演绎推理的前提与结论经 符号化之后 两者之间的演绎推理关系在数理逻辑的公理化系统中可用形式推理来证明 应 当注意 这里所说的 形式证明 与演绎推理的 从前提推出结论 是不同概念的两个方面 前者是说演绎推理在数理逻辑中有形式证明 后者是说在传统逻辑范畴内 演绎推理如何从 前提推出结论的非形式的推导方法 这是以下要详细讨论的问题 又如在一个重要定理的证明中演绎推理对应如下演绎推理规则 设 A 则 B 且设非 A 则 C 那么设非 C 真 则 B 真 其在命题逻辑自然推理系统中的反映是形式定理 A B A C C B 又如最常用的演绎推理规则 如果 设 A 则 B 真及 A 真 则 B 真 其在命题逻辑 自然推理系统中的反映是形式推理规则 A B A B 本公式为命题逻辑自然推理系统中的形式推理规则 相当于公理 之一 不是形式定 理 另外 为了说明方便 未涉及谓词逻辑 所举例子都属命题逻辑 4 这个最常用的演绎推理规则比较简单 当 设 A 则 B 是已知定理时 只要提供命题 A 立即可推得结论 B 在数学中有很多定理证明的演绎推理对应于这个推理规则 例如在 平面几何中常用如下推理 根据某某定理 这是平面几何中的传统推理方式 便对应于这个最常用的演绎推理规则 简言之 数学定理证明中每进行一次演绎推理 都对应着一个演绎推理规则 尽管演 绎推理是按数学中固有的传统推理方式进行的 进行演绎推理时并不提所对应的演绎推理规 则 同时还应注意到 在数理逻辑中有一个自然推理系统的形式定理或形式推理规则反映这 个演绎推理及其对应的演绎推理规则 演绎推理是从前提通过推理得出结论 那么前提是从哪里来的呢 数学证明中的艰苦 探索往往正是为了寻求演绎推理的前提 探索是探路子找线索 从而进一步分析问题解决问 题 当探索的对象是演绎推理前提时 那么相应的分析可叫做演绎推理的前提分析 因为此 时要通过分析来解决构成前提的真命题及定理问题 由此可知 演绎推理的前提是由前提分 析产生的 因此前提分析是演绎推理前的关键准备步骤 是定理证明的重要论证过程 现在 需要着重说明的是如何进行分析 例如 要针对定理给出什么样的条件 应该想出什么方法 涉及到哪些定义 有什么样的几何性质及图形 问题中存在哪些事实以及与已知知识之间有 什么样的联系等等情况进行具体分析 完成前提分析后 通过推导得到结论 如果此结论就 是所要证明的定理结论 于是定理证毕 否则 还要接着分析演绎推理所得结论 这可叫做 结论分析 结论分析有时又蕴涵着新一轮的前提分析及相应的演绎推理 下面举一个关于前提分析与结论分析的例 在微积分中关于薄莱尔预备定理 的证明 中一开始 考察区间 a b 内具有那种性质的点 x 使得区间 a x 能用有穷个开区间 来遮 盖 例如点 a 位于某一个开区间 内 则一切接近于它的点就都含在这 内 因此 就 都成为点 x 2 P 174 因为一切 x b 于是就得到一个真命题 A 点集 x 是囿于上的 由此便联想到已知的上确界定理 以上就是产生前提的前提分析 在这个前提分析中 差不 多考虑了上面所列举的各种具体情况 于是从前提 上确界定理 即 设 A 则 B 及 A 就可推得结论 B sup x c b 显然 这里的演绎推理是对应于前面所说的最常用的演 绎推理规则 到此为止定理并未证明完毕 所以对结论 B 还要接着分析 还需证明 c 也属 于点 x 之列 从而能用有穷个开区间遮盖 a c 并且还要证明 b c 于是定理证毕 现在举例从一个侧面 即从演绎推理的前提分析角度 说明某些定理的证明为什么难 有各式各样的演绎推理规则 对应这些推理规则的演绎推理的前提当然也是各式各样的 因 此相应的前提分析也是不同的 在对应最常用的演绎推理规则的演绎推理的前提中当 设 A 则 B 为已知时 前提分析只要提供命题 A 即可 例如薄莱尔预备定理证明中的演绎推理前 的前提分析就是如此 但是当 设 A 则 B 为未知时 还要证明 设 A 则 B 为真 于是 前提分析的任务就大大地增加了 也就是定理证明的难度大大地增大了 而在前面的第八段 提到的重要定理中 演绎推理对应的演绎推理规则的前提包括 设 A 则 B 设非 A 则 C 及 非 C 于是在证明该定理时 演绎推理的前提便由此三部分构成 当然此时 A B 5 及 C 都是特定的具体命题 每一部分都要证明而且又都比较困难 由此可知这里的演绎推 理前的前提分析是多么困难 更何况 这当然是估计 在证明之前不会考虑 也根本不知 道演绎推理将对应什么样的演绎推理规则 也就是说在证明之前对要探索的演绎推理的前提 是什么形式一无所知 因此定理的证明是很难的 演绎推理是如何从前提推出结论呢 主要方法就是 逻辑推导 但数学证明中的逻 辑推导并不正规 通常是按已经习惯的传统推理方式进行的 先谈谈逻辑推导 我们还是以所说的重要定理为例 在该定理中 演绎推理前的前提 分析为 找到特定的命题 A B C 提出并逐一证明 设 A 则 B 设非 A 则 C 及 非 C 为真 由此可知演绎推理的前提由 设 A 则 B 设非 A 则 C 及 非 C 构成 于是 通过逻辑推导得到结论 B 所谓逻辑推导是指根据 传统 逻辑的基本定律 同一律 即 A 是 A 矛盾律 即 A 与非 A 不能同为真 及排中律 即 A 与非 A 必有一个为真 以及逻辑联结词 即 非 与 或 如果 则 等价 概念 另外 考虑到数学 思维特点 再加上充分条件概念及必要条件概念 进行推导 具体推导为 因为非 C 真 所 以 C 假 根据矛盾律 因为 C 假 所以非 A 假 由于在定理 设非 A 则 C 中 C 是非 A 的必要条件 因为非 A 假 所以 A 真 根据排中律 因为 A 真 所以 B 真 由于在定理 设 A 则 B 中 A 是 B 的充分条件 从而获得结论 关于上述的逻辑推导还需作一点补充说明 如果演绎推理中成立的前提与结论之间的关系 能为谓词逻辑的形式定理所反映 则从前提 到结论的推理比较复杂 一般言之 可考虑化为逻辑推导来处理 根据数理逻辑中的可靠性 定理 1 P 300 P 321 我们可以设想以形式推理代替非形式的推导 当前提具有可能的结论而找 不到有效的非形式的推导时 可考虑将前提符号化为合式公式序列 可能的结论也符号化为 合式公式 如果在逻辑演算中有既成的形式定理反映它们之间有前提与结论的关系 或用形 式推理由前提的合式公式序列推出可能的结论的合式公式 则可能的结论即成为前提的真正 结论 或者 就已符号化的前提及其可能的结论 对命题逻辑而言 给其中命题赋以真 t 假 f 值 只要当前提为真时 可能的结论也真 则可能的结论也即为前提的真正结论 上 面的演绎推理前的前提分析也可改为 对于特定的命题 A B C 提出并逐一证明 设 A 则 B 及 设非 A 则 C 这时演绎推理的结论则为 设非 C 则 B 于是可把逻辑推导改 由 设非 C 为真 开始 再根据新的前提便可推得 B 从而获得结论 所说的 传统推理方式 具有两个特点 第一 演绎推理前有一个产生前提的前提分 析过程 为了着重说明完成前提分析后便提供了前提 在所举演绎推理例子中 有 演绎推 理的前提由 构成 或类似说法 这在数学定理证明中是少有的 是不必要的重复 在此 特作说明 前提分析是定理证明的重要论证过程 例如薄莱尔预备定理中的演绎推理的前提 分析 这是比较简单的情况 或是定理证明的主要论证过程 甚至几乎是全部论证过程 例 如所说重要定理的演绎推理的前提分析 因为这里的演绎推理是在该定理证明的最后 演绎 推理的结论就是定理的结论 第二 一般言之 逻辑推导是从前提到结论的有效推理形式 当然是必需的 但显然是简易的 因此在定理证明的论证过程中常常被省略 或只是简单地 提一下 例如在上述重要定理证明的推导中 仅说了一句 如果 C 真 则 A 真 重要的 是把推得的结论表达出来 简而言之 演绎推理在数学证明中的传统推导方式为 关键在于 6 完成前提分析 逻辑推导常被省略或简单地提一下 最后得出结论 最后谈谈前面多次提到的演绎推理规则 演绎推理规则从其前提推出结论的步骤与对 应它的演绎推理中的逻辑推导完全相同 演绎推理不是应用与其对应的演绎推理规则进行的 实际上 这样的规则在进行演绎推理时一般言之尚不知道 但是由已完成的演绎推理可 立即知道这样的规则 特定的演绎推理与其对应的演绎推理规则是特殊与一般的关系 演绎 推理规则属 传统 逻辑范畴 数学中的演绎推理有时可给逻辑提出新的推理规则 上面所 说的重要定理中的演绎推理可能就是一例 根据哥德尔完备性定理 演绎推理及其对应的演 绎推理规则在数理逻辑基础的逻辑演算中有形式定理反映 反之 根据可靠性定理 每一形 式定理所反映的前提与结论之间的关系也是 传统 逻辑中的演绎推理规则 于是 演绎推 理是否成立便有了一个判断标准 即在逻辑演算中是否有一个形式定理来反映它 同时 也 必有一个相应的演绎推理规则对应它 二 二 非非 演演 绎绎 推推 理理 根据中国大百科全书哲学卷中的 推理 条 推理是 从若干命题 前提 直接得出一 个命题 结论 的思维过程 推理可分为演绎推理与非演绎推理两类 3 P 884 非演绎 推理按传统意义主要是指归纳推理 但在本文中把它定义为 不是演绎推理的推理 它当然 包括归纳推理 但已超越传统意义的非演绎推理 还是以薄乃尔预备定理为例 在它的证明 中有下面两段非演绎推理 一 证明 证明 c 也属于点也属于点 x 之列之列 根据 x 的定义 因此 c 属于 x 之列 这是演绎推理的结果 命题 4 是根据 x 的定义进 行演绎推理的前提 这个命题序列所表达的推理是根据命题 1 2 3 的内容之间的联系进行分析得到命题 4 对应命题成立的原因 1 c a b 并根据定理的条件 这 是演绎推理的结论 2 sup x c 并根据上确界定义 是演绎推 理的结论 3 根据 x 的定义 是演绎推理的结论 4 x 及 c 均在 0之内 命题序列 1 c 位于某一 o 之内 2 在 c 之左且在 o之内有 x 存在 3 在 中存在有穷个开区间 1 2 n遮盖 a x 4 此有穷个 1 2 n o便遮盖 a c 7 由前提得到结论并不遵循任何形式的演绎推理规则 因此不是演绎推理 而是非演绎推理 将 一 中的命题 1 2 3 4 表作 A B C D 于是命题序列所表示的推理的前提由 A B C 构成 结论为命题 D 因为结论中唯一的命题 D 不在前提中出现 故当 A B C 都 为真时 并不能用逻辑方法 包括逻辑推理等 推出 D 为真 由于同样的原因 也不可能存 在某个演绎推理规则 其前提是以 A B C 与逻辑联结词组成的任何命题 A1 A2 An 当前 提为真时 可用逻辑方法推出 D 为真 因此 可以断定由命题 1 2 3 推出命题 4 并不遵循 任何形式的演绎推理规则 对以上论述 应特别注意的是 这里的 A B C D 都是原子命 题 即它们都是表达判断的句子且不包含逻辑联结词 而不是数理逻辑中所说的 合式公式 或 任何命题 类似问题以下不再重复说明 二 用反证法证明 b c 二 用反证法证明 b c 根据 x 的定义 所以 x 也属于 x 之列 这是演绎推理的结论 命题 5 是这个演绎推理 的前提 由于 x c 根据上确界定义 c 不是点集 x 的上确界 从而产生矛盾 因此 b c 不成立 所以 b c 这个命题序列所表达的推理是根据命题 2 3 4 的内容之间的联系进行分析得到命题 5 由前提得到结论并不遵循任何形式的演绎推理规则 因此这个推理不是演绎推理 而是非演 绎推理 一 的第 4 个命题是前面第 1 2 3 个命题的直接结论 二 的第 5 个命题是前 面第 1 2 3 4 个命题的直接结论 由若干命题作为前提直接得出一个命题成为结论 这 就是推理 但它们从前提到结论没有遵循任何形式的演绎推理规则 因此它不是演绎推理 故为非演绎推理 由于非演绎推理与定理条件及证明方法等具体情况密切结合 因此在非演 绎推理之中常常显示出推理的艰难 推理的技巧及推理的水平 在上面将证明分成两列 目 的仅仅是为了可以更清楚地看出非演绎推理的形式 非演绎推理的作用同样在于从已知的知识得到未知的知识 它的使用方式大致可分为 三种 一是作为定理的全部证明 一般用于较简单的定理证明中 一是作为演绎推理的前 提分析 为演绎推理提供前提 这是最常见的一种 一是作为演绎推理的结论分析 或对 定理证明中需要的某个命题证明其为真 一 中的非演绎推理是对薄莱尔预备定理证明中 对应命题成立的原因 1 因 c b 又设 c b 2 c a b 并根据定理的条件 是演绎推理的结论 3 0 c b 不空 4 c 属于点 x 之列 根据 x 定义 是演绎 推理的结论 5 c 与 x 均在 0之内 命题序列 已知 sup x c b 设 b c 1 c b 2 c 位于某一 0 之内 3 在 c 之右且在 0 c b 之内取一点 x 4 存在有穷个开区间 1 2 n遮盖 a c 5 此有穷个 1 2 n 0便遮盖 a x 8 的演绎推理的结论进行分析 也为其下一步演绎推理提供前提 为了说明 二 中的非演 绎推理的使用方式 需要对反证法作点说明 反证法可表达为 欲证命题 A 真 先假设非 A 真 从而推出非 B 真 而 B 是一个已知的真命题 从而得出矛盾 则必 A 真 显然 反 证法是下列演绎推理在数学证明中的传统推理方式 其前提由 设非 A 真 则非 B 真 及 真命题 B 二者构成 推理用到矛盾律及排中律 结论是 A 真 在 二 中 A 是 b c B 是 c 是点集 x 的上确界 因此 二 中的非演绎推理是 设非 A 真 则非 B 真 的证明的主要部分 也就是该演绎推理的前提分析 由上述两例可知 非演绎推理为演绎 推理提供前提 也就是说 演绎推理有时需要非演绎推理的支持 演绎推理与非演绎推理有共同之处也有不同之处 共同之处在于 第一 二者都是从 前提推出结论 第二 非演绎推理除归纳法之外 与演绎推理一样 只要前提都真 则结论 必真 第三 二者的作用相同 都是从已知的知识得到未知的知识 第四 二者都有一个前 提分析过程 不同之处在于 第一 演绎推理从前提到结论之间的推导用的是逻辑推导 而 非演绎推理的推导是根据命题的内容之间的联系进行分析 推理的严格性 对演绎推理而言 体现在逻辑推理中 对非演绎推理而言 体现在命题内容之间联系的分析中 第二 演绎推 理的前提与结论之间的关系必然为数理逻辑的逻辑演算中的形式定理所反映 而非演绎推理 的相应关系则不能 第三 演绎推理对应着一个演绎推理规则 而非演绎推理则没有 三 再论 非演绎推理 三 再论 非演绎推理 在前文中 关于演绎推理只举了两个简单例子作为例证 显然是不够的 另外对非演 绎推理还需作进一步探讨 故有再论的必要 下面是从数学书中摘录三个例子对它们逐一分析 然后进行综合分析 从而对非演绎 推理作出进一步的论证 例 1 下面从张景中著 数学与哲学 的 P 141 摘录一个例 例 1 下面从张景中著 数学与哲学 的 P 141 摘录一个例 中学里学了恒等式 下面的等式 x 1 2 x2 2x 1 10 1 就是一个恒等式 用 x 1 代入 两边都得 0 x 2 两边都得 1 x 3 两边都得 4 这样举了三个例子之后 能不能肯定 10 1 是恒等式呢 恒等式恒等式 要求 x 取所有数值时两边都相等 才验证了三个 x 的值 怎么能断定 它一定恒等呢 其实 这三个实例已经证明了 10 1 是恒等式 道理是 如果它不是恒等式 它一 定是二次或一次方程 这种方程不可能有三个根 现在 x 1 2 3 都是 根 说明它不是 方程而是恒等式 9 在这个具体问题上 演绎推理支持了归纳推理 我们用数学上承认的演绎法证明了归 纳法的有效性 这是一个简单但却有重要意义的例子 现在把它改写并分析如下 10 1 显然是恒等式 为了说明初等几何机器证明中代数恒等式的检验问题 作为检 验方法 需要用演绎推理证明它是恒等式 在原文简短的论证中 不但有演绎推理 归纳推 理 而且还有非演绎推理 兹令命题 10 1 为二 或一 次方程 表作 A 10 1 有两 或一 个根 表作 B 于是有 设 A 则 B 先为演绎推理的前提找一个真命题 非 B 为真 即为要找的真命题 演绎推理 前提为 设 A 则 B 及 非 B 为真 推理如下 既然 非 B 为真 则 B 假 由于 B 假 于是 A 假 根据排中律则得 非 A 真 即 10 1 不是一次或二次方程 如果它 即 10 1 不是恒等式 它一定是二次或一次方程 既然 10 1 不是一次或二次方程 则 10 1 必是恒等式 以上两次演绎推理都遵循演绎推理规则 设 A 则 B 若非 B 真 则非 A 真 非演绎推理 由命题 1 2 3 4 前提 直接得到命题 5 结论 按推理概念 命题序 列是推理 由命题 1 2 3 4 得出 5 亦即由前提得出结论 是根据命题内容 之间的联系 进行分析得到的 没有遵循任何形式的演绎推理规则 因而命题 序列表示的推理不是演绎推理 故为非演绎推理 需要说明的是 书中的论证是数学中通用的传统习惯写法 本文将其改写 只是为了 适合推理形式的说明 原文用此例说明了演绎推理支持归纳推理 本文引用此例说明非演绎 推理在数学推理中是存在的 而且是常见的 例如在这样简单的问题中也会出现 而且在本 例中非演绎推理的作用是支持演绎推理 即为演绎推理提供前提中的真命题 非 B 命题序列命题序列 1 1 满足 10 1 2 2 满足 10 1 3 3 满足 10 1 4 有三个数满足 10 1 5 非 B 为真 对应命题成立的原因对应命题成立的原因 1 当 X 1 10 1 的两边都得 0 2 当 X 2 10 1 的两边都得 1 3 当 X 3 10 1 的两边都得 4 4 综合命题 1 2 3 而得 5 由命题 4 直接得到 10 例 2 从 M 菲赫金哥尔茨著 微积分学教程 中译本第一卷第一分册的 P 158 摘录关于连续函取零值的定理 例 2 从 M 菲赫金哥尔茨著 微积分学教程 中译本第一卷第一分册的 P 158 摘录关于连续函取零值的定理 柯希第一定理 设函数 f x 是在闭区间 a b 内定义着并且连续的 又在这区间的 两端点处取得异号的数值 则在 a 与 b 之间必能求出一点 c 在这点处函数等于零 f c 0 a c b 我们将依布柴诺的方法进行 即用逐次等分区间的方法 为着确定起见 令 f a 0 我们用点 2 ba 把区间 a b 分成两半 可能偶然地遇到函数 f x 恰在这点 处等于 零 那末 令 2 ba c 定理 就 已得到 证 明 次 设 0 2 ba f 则两区间 b 2 ba 2 ba a中必有一个 在它的两端点处函数取得异号的数值且这时在左端为负 值 在右端为正值 用 a1 b1 表示这区间 就有 f a1 0 f b1 0 再把区间 a1 b1 分成两半 且仍丢开当 f x 在这区间的中点处等于零的情形 因为那 时定理已得证明 再用 a2 b2 表示那半个区间 它使 f a2 0 继续进行这种构成区间的步骤 这时 或则在有尽次步骤以后 我们碰到作为分点的 某一点 在该处函数等于零 而定理的证明就完成了 或则我们得出内含区间 依次 地一个包含一个 的无穷序列 我们就来讨论这最后的情形 对于第 n 个区间 an bn n 1 2 3 必有 f an 0 1 并且它的长度显然等于 bn an b a 2 n 2 易见这些区间所构成的序列满足内含区间的预备定理中所列的条件 因为 由于 2 lim bn an 0 因此 在区间 a b 内存在着一点 c 满足 lim an lim bn c 兹证明这点恰好能满足定理的要求 将不等式 1 取极限 同时并应用函数的连续性 特别是在点 x c 处 就同时得 出 f c lim f an 0 及 f c lim f bn 0 因此 实际上 必有 f c 0 定理证明完毕 11 兹将定理证明改写如下 说明非演绎推理 由命题 1 2 3 4 5 前提 得到命题 6 结论 按推理概念 命题序列 是推理 由前提到结论没有遵循任何形式的演绎推理规则 所以它不是演绎推理 而是非演绎推理 此非演绎推理表达了等分区间法 结论就是等分区间的结果 对应命题成立原因 1 从略 2 根据实数性质 是演绎推理结果 3 m 即为定理中要求的 c 4 根据命题 2 及 3 用排除法得此结果 5 根据命题 4 f a 0 为已知条 件 6 根据命题 5 直接得到 命题序列 I 1 用中点 m 2 ba 将区间 a b 分成相等的两半 2 f m 与 0 有仅有下列三种情况之一 f m 0 f m 0 3 在 f m 0 时 定理已证明 4 在 f m 0 时 f m 与 0 有且仅有下列两种 情况之一 f m 0 5 下列两种情况有且仅有一种成立 f a 0 f m 0 6 存在闭区间 a1 b1 且 f a1 0 其中 a a1 b1 b 且 2 ab ab 11 12 结论命题由命题序列 中前面的无穷个命题直接得到 由前提到结论没有遵循任何形 式的演绎推理规则 因而它不是演绎推理 而是非演绎推理 命题序列 的结论命题为利用 区间套定理进行演绎推理提供了前提 因此 由演绎推理得结论 在区间 a b 内存在着一 点 c 满足 lim an lim bn c 以下讨论从略 例 3 从 M 菲赫金哥尔茨著 微积分学教程 中译本 第一卷第一分册 p 175 摘录康都定理 即均匀连续性定理 及其一种证明 例 3 从 M 菲赫金哥尔茨著 微积分学教程 中译本 第一卷第一分册 p 175 摘录康都定理 即均匀连续性定理 及其一种证明 康都定理 若函数 f x 是在闭区间 a b 内定义着而且为连续 则它在这区间内亦 是均匀连续的 给定任意数 0 在这次对于区间 a b 内的每一点x 我们用这样的邻域 x x 来盖住它 使得在它的范围内成立不等式 2 xfxf 若x0同样是这邻域中的点 则同时亦有 命题序列 1 存在闭区间 a1 b1 其中 f a1 0 f b1 0 a a1 b1 b 2 ab ab 11 2 存在闭区间 a2 b2 其中 f a2 0 f b2 0 a1 a2 b2 b1 2 22 2 ab ab n 存在闭区间 an bn 其中 f an 0 f bn 0 an 1 an bn bn 1 n nn 2 ab ab 结论命题 存在内含闭区间 a1 b1 a2 b2 an bn 其中后一个闭区间包含在前一个之内 f an 0 f bn 0 并且有 0 2 ab ab n nn 对应命题成立原因 1 由命题序列 表达的非演绎推理得 到的结果 2 对 a1 b1 进行等分区间法 由非演绎 推理得到的结果 n 对 an 1 bn 1 进行等分区间法 由非演 绎推理得到的结论 综合以上无穷个命题得到的结果 13 2 0 xfxf 这样 对于 内的任意两点x及x0将有 0 xfxf 把每一邻域 向中心缩短一半 即不考察邻域 而考察邻域 2 2 xx 由这些邻域同样能组成遮盖全区间 a b 的系 而且我们正是要对 来应用薄 来尔预备定理 这样 区间 a b 就能用 内的有尽个区间 2 2 i i i ii xx i 1 2 n 来遮盖 今设 是一切数 2 i 中的最小者 而 x0 x是给定区间内满足条件 0 xx 7 的任意两点 点x0就应当属于某一个被选出的邻域 设为 2 2 o o o oo i i i ii xx 于 是 2 0 o o i i xx 因 为 2 o i 故 由 7 2 0 o i xx 由此 00 ii xx 即点x 点xo当然也是 属于那些最初取出的邻域 0000 iiii xx 该邻域收缩了以后就得出邻域 0 i 这时 依那些最初取出的邻域的性质 有 o xfxf 由于选取 并不依赖于点xo的地位 函数 xf的均匀连续性就已证明 下面将定理证明分成三段进行分析 第一段 这一段可根据函数在闭区间 a b 连续的条件及绝对值不等式 a b a b 进行两次演 绎推理得到下面两个结论 1 对任意x a b 有领域 x x 因此闭区间 a b 可用 14 开区间无穷系 来遮盖 2 具有性质 对 中任意两点x及xo 有 f x f x0 第二段 由无穷系 得到无穷系 其中 2 2 xx 利用薄莱尔预备定理 参阅上文注 2 进行演绎推理得结论 存在 2 1 2 2 nixx i i i ii K 遮住 a b 第三段 原文 今设 是 得出域 io 这一段是一个推理 它是一个整体思维 其 目的是寻找一个数 使当属于闭区间 a b 内的任意两点x0 x满足 0 xx时 则x0 x都属于某个最初始的领域 xx 这是为下 一步利用第一段的结论 2 进行演绎推理提供前提 原推理省略了很多步骤 现在改写如下 15 由第二段的根据薄莱尔预备定理进行演绎推理的结论 提出命题 1 由 1 提出 2 由 2 命题序列 1 取 Min 2 i 2 xo x是给定区间 a b 内满足条 件 x x0 的任意两点 3 存在 2 2 o o o oo i i i ii xx 使 o io x 4 22 o o o o i io i i xxx 5 2 o o i io xx 6 2 o i o xx 7 o o ii xx 8 oooo iiii xxx 9 oooo iiii xxx 10 22 o o o o i io i i xxx 11 2 2 o o o o i i i io xxx 12 oooo iiiio xxx 13 x及x0 属于某个最初始的邻域 xx 命题序列成立原因 1 两数比较 取其较小者 最后必可得 到 2 从略 3 xo a b 根据第二段中演绎推理 的结论 4 由命题 3 直接得到 5 由命题 4 根据 相当于 等运算法则 经多次简单的演绎推 理得到 6 由命题 1 2 o i 另由命题 2 根据实数的转移性 由演绎推理得到 7 oo iooi xxxxxx oo iioo xxxx 这是根据 baba 由演绎推理 推得 8 由命题 7 根据 同 5 9 由命题 8 直接得到 10 由命题 5 根据 同 5 11 由命题 10 直接得到 12 由 2 2 o o o o i i i i xx 向左右两侧 各伸展 2 o i 而得 13 根据命题9 12 x及x0显然都 属于 oooo iiii xx 而此邻域即为某个 始的邻域 xx 16 又提出 3 由 3 直接得 4 由 4 到 5 由命题 1 2 到 6 由 5 6 到 7 由 7 到 8 由 8 直接 得 9 再由 5 到 10 由 10 直接得 11 由 11 直接得 12 最后 由 9 12 直接得 13 这 13 个命题相互联结 是一个整体 这个命题序列的前提 即命题 1 2 12 中含有四个最 简单的非演绎推理 另外 还有多次由上而下的演绎推理 大多数都被省略 特别值得注 意的是 由 9 12 直接得 13 即由前提直接得到结论并没有遵循任何形式的演绎推理规则 所以这个命题序列所表达的推理不是演绎推理 而是非演绎推理 从本例中还可看出非演绎 推理具有化难为易 化繁为简的特点 上述命题序列的结论即命题 13 给根据第一段的结论 2 进行演绎推理提供了前提 于是由演绎推理得到结论 f x f xo 由于 并不依赖于点xo的位置 到此 定理证毕 通过把证明中的论证详细地改写成命题序列的方法 对例 1 2 3 相应的证明作出分 析 说明以上列举的各个命题序列表示的推理均为非演绎推理 其根据就是 由前提 命题 序列的第一个命题直至倒数第二个命题 到结论 命题序列的最后一个命题 对无穷命题序 列而言就是结论命题 特别是对有限命题序列而言 由倒数第二个命题到结论或倒数第二 及第三个命题等到结论 没有遵循任何形式的演绎推理规则 如果上述各命题序列的前提与 结论是演绎推理的前提与结论之间的关系 即假设这些命题序列所表示的推理是演绎推理 则根据哥德尔完备性定理 在数理逻辑的逻辑演算形式系统中 必有一个形式定理反映它 再由可靠性定理 此形式定理所反映的前提与结论之间的关系也是演绎推理规则 且此规则 必为被该形式定理所反映的演绎推理所遵循 即为这些命题序列的前提与结论所遵循 然而 在前面分析中已断定这些命题序列由前提到结论并没有遵循任何形式的演绎推理规则 从而 得出矛盾 即以上列举的各命题序列表示的推理不是演绎推理 因此是非演绎推理 也就是 说 一个推理为非演绎推理的判断标准是 由前提到结论没有遵循任何形式的演绎推理规则 在例 1 2 3 的命题序列中 由前提到结论没有遵循任何形式的演绎推理规则 那么 究竟用什么方法进行推导呢 这个方法就是根据命题内部的内容之间的密切联系与相互关 联 进行分析推导的 例如例 1 的命题序列中 由命题 1 2 3 4 得到命题 5 例 2 中由 命题 5 得到命题 6 例 3 中由命题 9 12 到命题 13 这种方法既不同于传统逻辑中非形式的 演绎推理 使用逻辑推导 又不同于数理逻辑的逻辑演算中使用形式推理进行推导 见前文 的 P 2 非演绎推理除了从前题到结论不遵循任何形式的演绎推理规则及通过命题内容之间的 联系进行分析 推导外 还有一个特点 这就是非演绎推理有种种不同的基本类型 以下简 称类型 即由单个或若干个原子命题作为前提一次直接推出结论的简单非演绎推理 例如 在前文 P 6 的序列 一 中 由命题 1 2 3 推出命题 4 在序列 二 中 由命题 2 3 4 推出命题 5 它们在两个不同的非演绎推理中 但都属于同一个类型 这个类型与 x 的定 义密切有关 而定义 x 是薄乃尔预备定理的证明方法 这说明非演绎推理的类型与定理的证 明方法密切相关 在例 2 的序列 I 中 由命题 5 推出命题 6 是另一种非演绎推理的类型 它 17 与等分区间法有关 在例 1 的命题序列中 由命题 1 2 3 推出 4 由命题 4 推出 5 在例 3 的命题序列中 由命题 9 12 推出 13 由 8 推出 9 由 3 推出 4 都是非演绎推理的类型 同样 例 1 例 3 中非演绎推理的类型也都是与其所在问题的证明方法有关 总之 非演绎推 理的类型是各式各样的 由于问题不同 证明方法也不同 因而出现的非演绎推理的类型也 变化多端 虽然如此 所有的非演绎推理的类型都具有两个共同点 第一 如上所说 类型 与证明方法有关 第二 类型都有简单 直观 自明的特性 从而它使类型的正确性得到公 认 正因为如此 非演绎推理才可以正确判断 正确推导 因而数学的严格性才能在非演绎 推理中得到实现 非演绎推理的形式除了基本类型外 还有非演绎推理是由几个类型相联结 而成的 甚至在前提中还包含有自上而下的简单的演绎推理 必须是简单的 否则 应单独 处理 这就是前面提到的整体思维形式 是区别于基本类型的较复杂的非演绎推理 例如 例 1 2 3 中的命题序列所表达的非演绎推理 推理必须有正确的推理形式 非演绎推理的推理形式在上面讲过 它是根据 命题的 内容之间的密切联系与相互关联 进行分析 推导的 这句话有两方面的含意 一是指非演 绎推理的类型本身如何判断及推导 一是指较复杂的非演绎推理的整体思维形式而言的 现 在对此作进一步说明 第一 一般是以一个或几个真命题开始 第二 类型与类型之间的联 结方式是以一个类型的结论作为另一个类型的前提 第三 类型与简单的演绎推理之间的联 结方式与第二相同 以上三点在例 3 的命题序列所表达的较复杂的非演绎推理中均得到体 现 命题序列中的每个命题成立的原因有两种情况 第一 命题是演绎推理的结果 例如 例 2 的命题序列 I 的第 2 个命题 例 3 中命题序列的第 3 5 6 7 8 10 各命题 第二 是根据命题内容之间的联系进行分析 推导的 例如例 1 的命题序列中的各命题 例 2 的 命题序列 的命题 3 以下各命题 例 3 的命题序列中的命题 1 2 4 9 11 12 13 非演绎推理的主要作用是为演绎推理提供前提 这从例 1 例 3 的命题序列的结论及例 2 的命题序列 的结论命题来看是很明显的 它们都是为下一步演绎推理提供前提 在数学 证明中有时演绎推理需要非演绎推理提供前提 因而演绎推理有时需要非演绎推理的支持 另外 在 P 3 中曾提出 前提分析 这个概念 非演绎推理是前提分析的基本方法 但前提 分析的含意比较广泛 例如在例 3 中的第三段的非演绎推理是在第一 二段的基础上建立起 来的 从更广泛的义意上说 第一 二段的构思也应属于最后的演绎推理的前提分析范畴 参考文献参考文献 1 胡世华 陆钟万 数理逻辑基础 北京 科学出版社 1982 2 M 菲赫金哥尔茨 微积分教程 第一卷 北京 人民出版社 1995 3 中国大百科全书 哲学卷 北京 上海 中国大百科全书出版社 1987 18 注 注 前提中的定理可代以定义或具有可化为 设 A 则 B 形式的已知条件 结论等 另外 演绎推理概念 的确切说明可参阅 1 p 316 应特别注意 逻辑推论 的定义及有关论述 薄莱尔预备定理 若闭区间 a b 被一个开区间的无穷系 所遮盖 则恒能从 里面选出有穷系 1 2 n 它同样能遮盖闭区间 a b 下面两个形式定理是等价的 A B A C C B A B A C C B 任何命题 是指以某些命题与逻辑联结词组成的复合命题 例如 P 2 中的 设 A 则 B 且设非 A 则 C 等 将其符号化即成 合式公式 由回溯分析可知 1 oooo iiii xx 向中心缩短一半得 o i 2 o i 是 i i 1 2 n 之一 3 i i 1 2 n 因此 o i 是某个 4 此某个 是由 内相应的某个 向中心缩短一半而得 5 由以上可知 oooo iiii xx 是某个最初始的邻域 这样的回溯分析并不遵循任何形式的演绎推理规则 19 Deductive preference and non deductive preference in mathematical p