第二十二讲 不定方程(含解答)-.doc

第二十二讲 不定方程【趣题引路】 有三对夫妻一同上商店买东西.男的分别姓孙、姓陈、姓金，女的分别姓李、姓赵、姓尹。他们每人只买一种商品，并且每人所买商品的件数正好等于那种商品的单价(元数).现在知道每一个丈夫都比他的妻子多花63元,并且孙先生所买的商品比赵女士多23件,金先生所买的商品比李女士多11件,问孙先生、陈先生、金先生的爱人各是谁？ 解析 设丈夫买了x件商品,妻子买了y件商品,则得不定方程x2-y2=63. 即(x+y)(x-y)=63=631=213=97. 可得方程组 解得 根据条件“孙先生所买的商品比赵女士多23件”,可确定x1为孙先生买的商品数,y2为赵女士买的商品件数;再根据条件“金先生所买的商品比李女士多11件”,可确定x2为金先生所买的商品件数,y3为李女士买的商品件数. 由此可判断出孙先生和尹女士为夫妻,金先生和赵女士是夫妻,陈先生和李女士是夫妻.【知识延伸】 不定方程是整数论中最古老的一个分支,古希腊数学家刀番图就研究过这样的方程. 不定方程(组)指未知数的个数多于方程的个数的方程(组).这类方程解法灵活,内涵丰富,综合性强.解决这类问题,需要根据方程的具体特点进行分析,还要运用特殊的方法和技巧. 例1 已知a是质数,b是奇数,且a2+b=2 003,求a+b的值.解析 a2+b=2 003,a2=2 003-b,又b是奇数,则2 003-b是偶数,a2是偶数.故a是偶数,而a又是质数,a=2,b=1 999. a+b=2+1 999=2 001.点评 此题应用了奇偶数分析法解决问题. 例2 已知a,b,c满足方程组,试求方程bx2+cx-a=0的根. 解析 a+b=8,ab-c2+8 =48,ab=c2-8c+48. 故a,b是方程y2-8y+c2-8+48=0的两根. 即(y-4)2-(c-4)2=0. y=4,c=4,即a=b=4,c=4. 方程即为4x2+4x-4=0,即x2+x-1=0. x1,2=. 在初中阶段涉及的不定方程问题,通常有两种基本的解题思路:(1)运用整数的若干基本性质;(2)运用初中的基本知识与基本方法,如因式分解,配方,根的判别式与根与系数之间的关系,不等关系等,一般具体操作时,常综合运用两个基本方法解决有关不定方程的问题.点评 此题采用构造一元二次方程的方法求得解.【好题妙解】佳题新题品味 例1 已知(x+)(y+)=2002,求x2-3xy-4y2-6x-6y+58的值.解析(x+)(y+)=2002,x+=-(y-) y+=-(x-). +,得x+y=-(x+y). x+y=0. x2-3xy-4y2-6x-6y+58 =(x-4y)(x+y)-6(x+y)+58 =58.点评 把x+y看成一个整体代入原式求解,是整体求解的运用. 例2 已知a、b、c、d均为正整数，且a5=b4,c3=d2,a-c=65,求b-d的值。 解析 设a5=b4=m20,c3=d2=n6(m,n为正整数),则a=m4,b=m5,c=n2,d=n3. a-c=65,m4-n2=65. 即(m2+n)(m2-n)=651=135, m2+n=65,m2-n=1,或m2+n=13,m2-n=5. 解之,得(无整数解,舍去). 又m,n是正整数, b-d=m5-n3 =243-64=179.点评 此题用增元法设a5=b4=m20,后可运用因式分解法求解.中考真题欣赏 例 (2000年温州市中考题)一项工程交给甲、乙两队施工.如果甲队独做,需12天完成;如果乙队独做,需16天完成;如果由甲、乙两队共同完成这项工程,用x、y分别表示甲、乙两队工作的天数. (1)用x的代数式表示y; (2)若要求这项工程在10天内完成,两队工作天数都是整数,则完成这项工程最少要多少天? 解析 (1)y=16-x; (2)当x=3时y=12,y=1210不符合题意. 当x=6时y=80. -=0. 故xy=2 003,x=1,y=2 003或x=2 003,y=1. 故选B点评 因式分解法是解不定方程的一个基本方法,需掌握. 例2 (2003年希望杯竞赛题)若x,y为正整数,且x2+y2+4y-96=0,则xy=_. 解析 x2+y2+4y-96=0,配方,得x2+(y+2)2=102.又x,y是正整数,x,y+2也是正整数,由勾股定理的性质知,斜边为10的正整数解只能是6,8和8,6两组解. x=6,y+2=8,或x=8,y+2=6. 即x=6,y=6,或x=8,y=4. 故xy=36或xy=32.点评 配方法也是不定方程的一种解法.全能训练A级1.已知实数x,y,z适合x+y=6,z2=xy-9,则z等于( ) A.1 B.0 C.1 D.-12.方程组的正整数解(a,b,c)的组数是( ) A.4 B.3 C.2 D.13.方程xy=x+y的整数解有_组.4.设x,y都是正整数,且使+,则y的最大值为_.5.求满足的所有正整数x,y.6.如果y=+,求2x+y的值.A级(答案)1.B 2.C3.(x-1)(y-1)=1=11=-1(-1) 或或4.设x-116=m2,x+100=n2(m,n为正整数),n2-m2=216,即(n+m)(n-m)=216.显然n+mn-m,n+m与n-m只能同为偶数,故n+m的最大值为108.5.原方程变形为xy+6x-6y=0,(x-y)(y+6)=-36.36共有五对因数;1和36,2和18,3和12,4和9,6和6.因此此方程的正整数解共有四组: 6.2x+y=5.B级1.方程+=的整数解有( ) A.不存在 B.仅有1组 C.有2组 D.至少有4组2.设a、b、c为有理数,且等式a+b+c=,则2a+999b+1 001c的值是( ) A.1 999 B.2 000 C.2 001 D.2 0033.满足方程11x2+2xy+9y2+8x-12y+6=0的实数对(x,y)的个数等于_.4.实数x,y满足xy1和2x2-xy-5x+y+4=0,则x+y=_.5.a、b、c都是正整数,且满足ab+bc=3 984,ac+bc=1 993,则abc的最大值是_.6.象棋比赛共有奇数个选手参加,每位选手都同其他选手比赛一盘,记分办法是胜一盘得1分,平一盘各得0.5分,输一盘得0分,已知其中两名选手共得8分,其他人的平均分为整数,求参加此次比赛共有多少人?、B级(答案)1.C 2 001=32329. 是最简二次根式,+=的整数解只能是x=0,y=2001;x=2 001,y=0两组.故选C.2.B.a+(b-1) +(c-1) =0,a=0,b-1=0,c-1=0,a=0,b=1,c=1,2a+99b+1001c=2 000 选B.3.一对.11x2+(2y+8)x+(9y2-12y+6)=0.又x是实数,0即(2y+8)2-411(9y2-12y+6)0.(7y-5)20.显然(7y-5)2=0,y=,x=-,因此实数对(x,y)的个数只有一对.4.2x2-5x+4=y(x-1) xy1,2x2-5x+4x(x-1),即(x-2)20,x=2,y=2,x+y=4.5.(a+b)c=1 993 c=1,a+b=1 993.由c=1,b=1993-a代入ab+bc=3984,得a2-1 992a+1 991=0解得a1=1,a2= 1991.b1=1 99