特征值与特征向量及其应用价值.doc

I 摘摘 要要 特征值与特征向量是代数中一个重要的部分 并在理论和学习和实际生活 特别是现代科学技术方面都有很重要的作用 本文主要讨论并归纳了特征值与特 征向量的性质 通过实例展现特征值与特征向量的优越性 探讨特征值与特征 向量及其应用有着非常重要的价值 正文共分四章来写 其中第一章介绍了写作背景以及研究目的 第二章介绍 了特征值与特征向量的定义以及性质 并且写出了线性空间中线性变换的特征 值 特征向量与矩阵的特征值 特征向量之间的关系 第三章介绍了特征值与特 征向量的几种解法 利用特征方程求特征值进而求特征向量 列行互逆变换法 利用矩阵的初等变换求特征值和特征向量 第四章重点介绍了特征值特征向量的 应用 如 n 阶矩阵的高次幂的求解以及矩阵特征值反问题的求解等等 本文充分 利用特征值与特征向量的特性求解相关问题 这带有一定的技巧性 但并不难 想象 特别是跟其它方法相比 计算显得非常简洁 在解决具体问题上具有很 大的优越性 当然关于矩阵的特征值和特征向量的内容很广 本文仅就特征向量的性质 以及一些应用展开研究 关键词 特征值 特征向量 矩阵 递推关系 初等变换 II Abstract As an important part of algebra Eigenvalue and Eigenvector of a Matrix have very important applications in theoretical study and practical life especially in modern science and technology In this paper some properties of eigenvalue and eigenvector are discussed and summarized it shows the superiority of eigenvalue and eigenvector through examples It has a very important value of exploring eigenvalue and eigenvector and its application The text is divided into four chapters to write Among them the first chapter presents the background and research purposes The second chapter presents the definition of eigenvalue and eigenvector and their properties it writes the relationship between the eigenvalue eigenvector of the linear transform of the linear space and eigenvalues and eigenvectors of matrix The third chapter presents several solutions of the eigenvalue and eigenvector the characteristic equation for eigenvalue and eigenvector the method of reversible transform on Rows and columns the elementary transformation of matrix inverse for eigenvalues and eigenvectors The fourth chapter introduces the application of eigenvalue eigenvector such as solving the high power of n order matrix dealing with the inverse problem of matrix eigenvalues and etc This paper fully utilize eigenvalue and eigenvector to solve related issues this approach needs certain skills but it is not hard to imagine that it has the great superiority in sovling specific issues comparing with other methods Of course the content about matrix eigenvalues and eigenvectors is very wide this article mainly deals with the properties of eigenvector and some application Key words eigenvalue eigenvector matrix recursive relations elementary transformation 目 录 摘 要 I Abstract II 1 引 言 1 1 1 研究背景 1 1 2 研究现状 1 1 3 本文研究目的及意义 2 2 特征值与特征向量 3 2 1 特征值与特征向量的定义和性质 3 2 1 1 线性变换的特征值与特征向量 3 2 1 2 n 阶方阵的特征值与特征向量 3 2 2 V p n 中线性变换 的特征值 特征向量与矩阵R的特征值与特征向量之间 的关系 3 3 特征值与特征向量的解法 5 3 1 求数字方阵的特征值与特征向量 5 3 2 列行互逆变换法 6 3 3 利用矩阵的初等变换解特征值特征向量 10 4 矩阵的特征值与特征向量的应用研究 15 4 1 n 阶矩阵 1 m kA aAbI AAAfA 的特征值和特征向量 15 4 2 n 阶矩阵的高次幂的求解 16 4 3 矩阵特征值反问题的求解 17 4 4 特征值与特征向量在线性递推关系中的应用 18 4 5 特征值法求解二次型的条件最值问题 22 4 5 1 二次型的条件最值问题及求解该问题的特征值方法 22 4 5 2 应用举例 25 4 6 特征值与特征向量在矩阵运算中的作用 26 4 6 1 特征值与特征向量在矩阵运算中使用的性质 26 4 6 2 特征值与特征向量在矩阵运算中的应用 26 总 结 30 参考文献 31 致 谢 32 1 1 引引 言言 1 1 研究背景 矩阵是数学中的一个重要的基本概念之一 是代数学的一个主要研究对象 也是数 学研究和应用的一个重要工具 矩阵的特征值与特征向量问题是矩阵理论的重要组成 部分 它在高等代数和其他科技领域中占有重要的位置 同时它又贯穿了高等代数的 许多重要方面 对于该课题的研究加深了我们对高等代数各个部分的认识 从而使我 们更深刻的了解高等代数的相关理论 对矩阵的特征值与特征向量的理论研究和及其 应用探究 不仅对提高高等代数以及相关课程的理解有很大帮助 而且在理论上也很 重要 可以直接用来解决实际问题 现在矩阵已成为独立的一门数学分支 矩阵特征 值与特征向量的应用是多方面的 不仅在数学领域里 而且在力学 物理 科技方面 都有十分广泛的应用 1 2 研究现状 在此之前已有很多专家学者涉足此领域研究该问题 吴江 孟世才 许耿在 浅 谈中 特征值与特征向量 的引入 中从线性空间 V 中线性变换在不同基 下的矩阵具有相似关系出发引入矩阵的特征值与特征向量的定义 郭华 刘小明在 特征值与特征向量在矩阵运算中的作用 中从方阵的特征值与特征向量的性质出发 结合具体的例子阐述了特征值与特征向量在简化矩阵运算中所起的作用 矩阵的特征 值与特征向量在结构动力分析中有重要作用 矩阵迭代法是求矩阵的第一阶特征值与 特征向量的一种数值方法 但是选取不同的初始向量使结果可能收敛于不同阶的特征 值与特征向量 而不一定收敛与第一阶 陈建兵在 矩阵迭代法求矩阵特征值与特征 向量初始向量选取的讨论 中讨论了初始向量的选取问题 特征值理论是线性代数中 的一个重要的内容 当方阵阶数很高时实际计算比较繁琐 赵娜 吕剑峰在 特征值 问题的 MATLAB 实践 中从实际案例入手 利用 MATLAB 软件讨论了求解特征值问题的 全过程 汪庆丽在 用矩阵的初等变换求矩阵的特征值与特征向量 中研究了一种只 对矩阵作适当的初等行变换就能求到矩阵的特征值与特征向量的方法 论证其方法的 合理性 并阐述此方法的具体求解步骤 岳嵘在 由特征值特征向量去顶矩阵的方法 证明及应用 中探究了已知 n 阶对称矩阵 A 的 k 个互不相等的特征值及 k 1 个特征 向量计算出矩阵 A 的计算方法 张红玉在 矩阵特征值的理论及应用 中讨论了通过 n 阶方阵 A 的特征值得出一系列相关矩阵的特征值 再由特征值与正定矩阵的关系得 出正定矩阵的结论 刘学鹏 杨军在 矩阵的特征值 特征向量和应用 一文中讨论 了矩阵的特征值和特征向量的一些特殊情况 以及在矩阵对角化方面的应用 冯俊艳 2 马丽在 讨论矩阵的特征值与行列式的关系 中讨论了利用矩阵的特征值解决行列式 的问题 1 3 本文研究目的及意义 在前人研究的基础上 本文给出了特征值与特征向量的概念及其性质 特征值与 特征向量性质是最基本的内容 特征值与特征向量的讨论使得这一工具的使用更加便 利 解决问题的作用更强有力 其应用也就更广泛 在此基础上 对矩阵的特征值与 特征向量的计算进行详尽的阐述和说明 利用特征方程求特征值进而求特征向量法 列行互逆变换法 矩阵的初等变换求特征值和特征向量 由于特征值与特征向量的应 用是多方面的 本文重点介绍了对特征值与特征向量的应用探究 阐述了特征值和特 征向量在矩阵运算中的作用 利用特征值法求解二次型最值问题以及矩阵的高次幂和 反求解问题的应用 在例题解析中运用一些特征值与特征向量的性质和方法 可以使 问题更简单 运算上更方便 是简化有关复杂问题的一种有效途径 本文就是通过大 量的例子加以说明运用特征值与特征向量的性质可以使问题更加清楚 从而使高等代 数中的大量习题迎刃而解 把特征值与特征向量在解决实际问题中的优越性表现出来 3 2 特征值与特征向量 2 1 特征值与特征向量的定义和性质 2 1 1 线性变换的特征值与特征向量 定义 1 设是数域上的线性空间的一个线性变换 如果对于数域中一数 V 存在一个非零向量 使得 0 0 那么称为的一个特征值特征值 而称为的属于特征值的一个特征向量特征向量 0 0 2 1 2 n 阶方阵的特征值与特征向量 定义 2 设是阶方阵 如果存在数和维非零向量 使得成立 Rn 0 nX 0 RXX 则称为的特征值特征值 是的对应特征值的特征向量特征向量 0 RXR 0 性质性质 1 1 若是的 重特征值 对应特征值有个线性无关的特征向量 则 i R i rR i i s ii sr 性质性质 2 2 如果都是矩阵的属于特征值的特征向量 则当时 12 x xR 0 1 122 0k xk x 仍是的属于特征值的特征向量 1 122 0k xk x R 0 性质性质 3 3 如果是矩阵的互不相同的特征值 其对应的特征向量分别是 12 n R 则线性无关 12 n x xx 12 n x xx 性质性质 4 4 若的特征值为 则 ij n n Rr 12 n 121122nnn rrr 12n R 性质性质 5 5 实对称矩阵 的特征值都是实数 属于不同特征值的特征向量正交 R 性质性质 6 6 若 是实对称矩阵的 重特征值 则对应特征值恰有 个线性无关 i R i r i i r 的特征向量 或 ii r REnr 性质性质 7 7 设为矩阵的特征值 为多项式函数 则为矩阵多项式 R P x P 的特征值 P R 2 2 中线性变换的特征值 特征向量与矩阵的特征值与特征向量之间的关 V p n R 系 定理 设是的一组基 12 n V p n L V 1212 nn R 1 的特征值必是的特征值 的属于的特征向量 0 R 0 则必是的属于特征值的特征向量 1 122nn xxx 12 n x xx R 0 2 设是的一个特征值 且 则是的一个特征值 若 0 R 0 0 4 是的一个属于特征值的一个特征向量 则 12 n x xx R 0 是的一个属于的特征向量 1 122nn xxx 0 证明 1 设是的特征值 于是有使得 其中 设 0 0 0 0 则 1 122nn xxx 1 2 112212 nnn n x x xxxR x 又 所以有 0 11 22 12120 nn nn xx xx R xx 由他们的坐标列相等可得 1 2 0 0 0 0 n x x ER x 所以其次线性方程组有非零解 于是 故是的特征多 0 0ER X 0 0ER 0 R 项式的根 即是的特征值 从而的坐标是的属于的特征向量 0 R R 0 2 设是的一个特征值 且 于是有非 0 R 0 0 0ER 0 0ER X 零解 令 12 0 n n x xx nn xxxV 1 122 0 1 2 0 0 0 0 n x x ER x 即 于是 故是的一个特征值 且 11 22 0 nn xx xx R xx 0 0 是的属于的特征向量 0 5 3 特征值与特征向量的解法 3 1 求数字方阵的特征值与特征向量 由方阵的特征值和特征向量的定义知 是的属于的特征向量 因为a 0A 所以是齐次线性方程组的非零解 所以是特征方程Aaa a 0EA x 的根 将上述过程逆叙得到求数字方阵的特征值和特征向量的步 0 A fEA A 骤如下 1 计算的特征多项式 A fEA 2 解特征方程 求出它的全部根 它们就是的全部特征值 0EA 12 n A 3 对每一个特征值 求出齐次线性方程组的一个基础解 1 i in 0 iE A x 系 这个基础解系便是的属于的线性无关的特征向量 则 12 iiir aaa A 1 i in 的属于的全部特征向量是这个解系的非零线性组合 其中A i 1122iinir k ak ak a 是不全为零的数 12 n k kk 例 3 1 1 设线性变换在下的矩阵是 求的特征值与特 123 R 122 212 221 征向量 解 因为特征多项式为 ER 2 122 21215 221 所以特征值 二重 和 5 1 把特征值代入齐次方程组 1 xxx xxx xxx 123 123 123 1220 2120 2210 得到 xxx xxx xxx 123 123 123 2220 2220 2220 它的基础解系是 1 0 1 0 1 1 6 因此属于的两个线性无关的特征向量就是 1 113 223 而属于的全部特征向量就是 取遍数域中不全为零的全部数对 1 1 122 kk 1 k 2 k 再用特征值 5 代入 得到 xxx xxx xxx 123 123 123 4220 2420 2240 它的基础解系是 1 1 1 因此 属于 5 的一个线性无关的特征向量就是 3123 而属于 5 的全部特征向量就是 是数域中任意不等于零的数 3 k k 3 2 列行互逆变换法 为了定理的叙述方便 先给出一个定义 定义 1 把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换 1 互换 i j 两列 同时互换 j i 两行 ij cc ji rr 2 第 i 行乘以非零数 同时第 j 列乘 k k 1 3 第 i 行倍加到第 j 行 同时第 j 列倍加到第 i 列 kk 定理 1 为 n 阶可对角化矩阵 并且A T n AE 一系列行列互逆变换 T DP 其中 T iiin nn Pbbin 11 1 1 2 则为的全部特征值 为的对应的特征向量 12 n A T ii A i 证明 由行初等变换等价于左乘初等矩阵 列变换等价于右乘初等矩阵的性质及 行列互逆变换的定义知 为若干初等矩阵的乘积 当然可逆 且 T P 即 1 TTT P APD 1 P APD 7 所以 APPD 因为 1 1 n n DP 所以 1 11nn n A 则 111nnn AA 所以 0 1 2 iiii Ain 因此 该方法求出的为的特征值 为的对应特征值的特征向量 i A i A i 为了运算上的方便 这里约定 1 表示矩阵的第 j 行倍加入第 i 行 ij rkr k 2 表示矩阵的第 j 列的倍加入第 i 列 ij rkr k 由于用定理 1 求解时 总会遇到形如 或形式的矩 a A cb 1 0 ac Aab b 2 0 阵化对角阵问题 为此给出具体方法 T ac AE b 12 1 0 00 1 12 21 rkr rkr ak b 0 1 00 1 或 T a AE cb 22 0 1 0 0 1 21 12 rkr rkr a bk 0 1 0 01 其中 c k ab 则为的分别对应特征值和的特征向量 TT k 12 10 1 1 Aab 为的分别对应特征值和的特征向量 TT k 12 1 01 2 Aab 例 3 2 1 求的特征值与特征向量 A 16 52 解 8 T AE 2 1 5 1 0 620 1 12 21 rr rr 70 1 1 640 1 21 12 6 11 6 11 rr rr 70 1 1 65 04 1111 2 2 11 111 r r 70 1 1 0465 所以 特征值 特征向量分别为 12 74 TT 12 116 5 例 3 2 2 求的特征值与特征向量 A 0111 1011 1101 1110 解 T AE 4 0111 1000 10110100 11010010 11100001 21 43 12 34 rr rr rr rr 11011000 01 021 100 01 110010 0201001 1 24 42 rr rr 11001000 03001 111 01100010 02010011 21 23 24 1 4 1 4 1 2 rr rr rr 13 4001000 03001 111 03 4100010 03 2010011 12 32 42 1 4 1 4 1 2 rr rr rr 10003 41 41 41 4 03001111 00101 41 43 41 4 00011 21 21 21 2 9 10003111 01001131 00101111 00011111 所以 特征值分别为 特征向量分别为 1234 13 T 1 311 1 T 2 1 131 T 3 11 11 T 4 111 1 下面给出定理 1 的推广定理 定理 2 为任意阶方阵 若 其中An T n AE 一系列行列互逆变换 T JP 为约当矩阵 为约当标准形 1 r J Jrn J i i i Jir 1 1 1 则为的特征值 为 1 T r P P P r ir in ir Pinrrrn 1 12 1 i A i T iir 的对应特征值的特征向量 A i 证明 由一般代数书中定理可知必相似于一约当矩阵 按定理 2 中化简方法 A 则有 即 其中 1 TTT P APJ 1 TT P APJAPPJ 1111 TT rr P iT TT i T r i J JJir J 1 1 1 1 所以 1 11111111 T TTTT rrrr T r J A J 故有 1 iii Ain 所以为的特征值 为的对应的特征向量 i A i A i 10 例 3 2 3 求的特征值与特征向量 A 211 031 213 解 T AE 3 202100 131010 11 3001 13 31 rr rr 110101 130010 114001 21 12 rr rr 210101 0201 11 014001 rr rr 32 23 1 2 1 2 210101 020111 0041 21 2 1 2 3 3 2 1 2 r r 210101 020111 014111 所以特征值为 对应特征值的特征向量 123 24 12 2 T 1 111 对应的特征向量为 3 4 T 3 1 11 3 3 利用矩阵的初等变换解特征值特征向量 引理 矩阵左乘或右乘一个可逆矩阵 其秩不变 即若为矩阵 AAm n 分别是 m 和 n 阶可逆矩阵 则PQ r PAr Ar AQr Ar PAQr A 由此可知 若 且为 n 阶单位矩阵 则形如的矩阵必可 r Arn I A I mnn 经过一系列变换成的形式 其中为矩阵且 分别为 B CD 0 Bm r r Br CD 和矩阵 为零矩阵 从而有n r nnr 0 mnr 定理 1 设为矩阵 其秩 则比存在 nAm n r Arn 12 T n xx xx 阶可逆矩阵 使 且的个列向量就是齐次线性方程组Q AB Q ICD 0 Dnr 的基础解系 0Ax 证明 此处只需证明的列向量是的基础解系即可 D0Ax 11 事实上 由得 即 从而 AB Q ICD 0 0 AQB QC D A C DB 0 这说明的个列向量是齐次线性方程组ACB AD 0Dnr 12 n r D DD 的解向量 Ax 0 另设矩阵的列向量为 则由知向量组 n r C 12 r C CC QC D 即为的列向量 因可逆 所以向量组 1212 rn r C CC D DD QQ 线性无关 因此的列向量就是的基础解系 12 n r D DD DAx 0 例 3 3 1 组的一组基础解系 xxxx xxxx xxxx xxx 1234 1234 1234 123 230 320 2220 5520 解 利用初等列变换 得 cc cc cc A I 22 1 33 1 41 12311000 32113482 22212241 552055135 10001231 01000100 00100010 00010001 cc cccc ccc 24 34245 73 42247 10001000 320032001 21002100 55755570 11101115 00010007 00100015 01420146 从而 所求基础解系为 r A 3 T 57 5 6 定理 2 设为 n 阶方阵 则其特征矩阵可通过初等列变换化为下三角矩AIA 阵 记为 12 1 2 n l l L l 从而使的解就是矩阵的全部特征值 12 0 n lll A 证明 由初等变换理论 存在 n 阶可逆矩阵 使 由 Q IA QL 此得 12n IA QLlll 从而使的解就是的解 12 0 n lll 0IA 这样 由定理 1 和定理 2 可以得到同时求解方阵的特征值与特征向量的一种解法 第一步 作如下初等变换 并由求得矩阵的特征值 n n IA I 初等列变换 L Q L 0A i in 1 2 第二步 将代入 则有或 i A 311 751 662 i i LB QCD 0 i i L Q 互换某几列 0B CD 因为 所以由定理 1 即知的列向量就是的对应于特征 ii LIA Q DA 值的线性无关的特征向量 i 例 3 3 2 求矩阵的特征值与特征向量 A 311 751 662 解 cc IA I 13 311113 751157 662266 100001 010010 001100 13 n n i in F x xxim mn x in yfx xxfx xxim mn 2 2 1 121 01 101 所以 由得矩阵的特征值为 2 4440A 123 24 将代入 得 1 2 L Q 1 1 100 160 060 001 011 110 所以对应于的特征向量为 此处二重特征值只对应一个线性无 2 T 1 11 0 关的特征向量 将代入 得 3 4 cc L Q 233 3 100100 100100 60366360 001010 011011 116161 所以对应于的特征向量为 4 T 2 0 11 这里用初等列变换的方法同时求出来矩阵的特征值与特征向量 完全类似地 利 用初等行变换也可以实现这一过程 其方法如下 1 对矩阵施行初等行变换将其化为矩阵 其中 T IAI UP 为含有的上三角矩阵 为经过初等变换得到的矩阵 U P I 2 由行列式求得矩阵的特征值 U 0A in 1 2 3 将代入中 若不是行标准形 则通过初 i in 1 2 UP i U 等行变换将其化为行标准型 并记秩 则中的后个行向量的 i r Ur i P nr 转置就是对应的特征向量 i 例 3 3 3 征值与特征向量 解 因为特征矩阵 所以IA 133 353 664 14 T IAI 136100 356010 334001 rr 13 334001 356010 136100 rr rr 21 311 3 2 334001 022011 5141 0210 33 32rr UP 2 334001 022011 282 0011 33 从而由即求得的特征值为 二重 和 0U 2 2280A 2 4 当时 所以 且 2 UP 336001 000011 000110 r U 21 的后两行的转置即为对应的特征向量 即 2P 2 TT 12 0 1111 0 当时 所以 且 4 UP 330001 066011 000112 42r U 的最后一行的转置即为对应的特征向量 即 4P 4 3 1 1 2 T 15 4 矩阵的特征值与特征向量的应用研究 4 1 n 阶矩阵的特征值和特征向量 1 m kA aAbI AAAfA 若是 n 阶矩阵的特征值 非零向量为对应于的特征向量 则 AxA k 是的特征值 非零ab m 1A f 1 m kA aAbI AAAfA 向量是对应于特征值 x 1 m kA aAbI AAAfA k ab m 1 的特征向量 A f 证明 由于是的特征值 为对应于的特征向量 则有 AxA Axx 那么 1 在两端同时左乘系数得 即 所以Axx kkAxk x kA xkx 是方阵的特征值 且向量是方阵对应于特征值的特征向量 k kAxkAk 2 由于 所以是方阵 aAbI xaAxbxa xbxab x ab 的特征值 且向量是方阵对应于特征值的特征向量 aAbI xaAbI ab 3 由于 22 A xA AxAxAxxx 322223 A xA A xAxAxxx 1111mmmmmm A xA AxAxAxxx 所以是方阵的特征值 且向量是方阵对应于特征值的特征向量 m m Ax m A m 4 在两端同时左乘得 即 有Axx 1 A 11 A AxAx 1 xA x 成立 所以是方阵的特征值 且向量是方阵对应于特征值的A xx 1 1 1 1 A x 1 A 1 16 特征向量 5 在两端同时左乘得 由于 那么Axx A A AxAx 1 AA A 即有成立 所以是方阵的特征值 且向量 A AxA xA x A A xx A m A 是方阵对应于特征值的特征向量 x m A A 6 则 1 110 nn nn f xa xaxa xa 1 110 nn nn fAa AaAa Aa 11 110110 nnnn nnnn fA xa A xaAxa Axa xaxaxaxa x 1 110 nn nn aaaaxfx 上面的证明用到了 3 的结论 由可知是的特征值 fA xfx f fA 且向量是对应于特征值的特征向量 x fA f 例 4 1 1 已知矩阵 求的特征值和特征向量 A 122 212 221 AAA 54 421 分析 本题是求矩阵的多项式的特征值和特征向量 若按一般思路求解 则需A 计算的 5 次幂并进行多项式运算 再求其特征值和特征向量 计算量非常大 但若A 利用 6 的结论 计算变的很简单 解 矩阵的特征多项式为 A det AI AI 2 122 21251 221 得矩阵的特征值为 det AI 0A 123 51 当时 解其次方程即 5 AI x 50 x x x 1 2 3 4220 2420 2240 得其通解为 其基础解系中只含有一个解向量 TT x x xt 123 11 0 T x 1 111 即为特征值所对应的特征向量 1 x 5 17 当时 解齐次方程 即 1 AI x 0 x x x 1 2 3 2220 2220 2220 得通解为 其基础解系中含有两个线性无关的解 TTT x x xtt 12312 11 01 0 1 向量 即为特征值所对应的特征向量 T xx 23 1101 0 1 23 1 设 则 即为的特征值 当 fAAAA 54 421 f 54 421 f 时 当时 于是 1 5 f 1 616 23 1 ff 23 2 的特征值为 对应的特征向量为 AAA 54 421 61622 123 x xx 4 2 n 阶矩阵的高次幂的求解 当 n 阶矩阵可对角化时 即矩阵可与对角阵相似时 计算其高次幂有简AA k A 单的方法 当 n 阶矩阵满足下面的四个条件之一时 即可对角化 即 A 1 APAP 1 n 阶矩阵有 n 个线性无关的特征向量 A 2 n 阶矩阵有 n 个互不相等的特征值 A 3 n 阶矩阵的每个特征值 均有 即特征值的几何常数等于其A m 代数常数 4 为是对称矩阵 A 对于 是由的 n 个特征向量组成的矩阵 1 APAP 12 n Px xx A 是由的 n 个特征值构成的对角阵 那么有 12 n Adiag A 111111111 k kk APAPPAPPAPPAPPA P P A P P AP P APPA P 其中 故 12 kkkk n Adiag 12 1 kkkk n APdiagP 例 4 2 1 已知矩阵 求 其中为正整数 A 122 212 221 k Ak 分析 矩阵的高次幂的求解一般是有技巧的 这里因矩阵为是对称矩阵 故可A 对角化 可按上面讨论的方法求之 解 因为 所以矩阵为是对称矩阵 故可对角化 T AA A 由例 4 1 1 知 矩阵的 3 个特征值为 其对应的特征向量为A 123 15 18 故对角阵 且 123 x x x Adiag 1 15 Pxxx 123 101 011 11 0 又 那么有 则P 1 211 1 121 3 111 PAPAdiag 1 1 15 1 APAP k k kk k APA P 1 100 101211 1 011010121 3 11 1005111 kkk kkk kkk kkk kkk kkk 11 11 11 2151515 1 1521515 3 1515215 4 3 矩阵特征值反问题的求解 矩阵特征值反问题的求解 即根据矩阵的特征值和特征向量的信息来决定矩阵 中的元素 当矩阵有 n 个互不相等的特征值时 必有 n 个线性无关的特征向量 AA 那么矩阵必可对角化 故 其中相似变换矩阵由的 n 个线性无关的A 1 APAP PA 特征向量组成 例 4 3 1 设 3 阶方阵的特征值为 对应于特征向量分别是 A 123 101 求 T x 1 1 22 T x 2 22 1 T x 3 21 2A 分析 此题给出了矩阵的 3 个不相同的特征值及其特征向量 那么矩阵可对角化 显然是矩阵特征值的反问题 可按上面讨论的方法求之 解 由于是方阵对应于特征值的特征向量 于是有 i x i 1 2 3A i i 1 2 3 ii Axx 令 那么 Pxxx 123 122 221 212 P 1 122 1 221 9 212 则有 其中 由上式可得即为所求 APPA A 1 0 1 APAP 1 1 02 1 012 3 220 4 4 特征值与特征向量在线性递推关系中的应用 用特征值和特征向量对一般线性递推关系进行讨论 19 设阶线性循环数列满足递推关系 K n x nnnkn k xa xa xa xnkk 1122 12 其中是常数 且 i aik 1 2 k a 0 方程组 1122 11 22 11 nnnkn k nn nn n kn k xa xa xa x xx xx xx 可表示为矩阵形式 1 nkk n n n n n k n k xaaaa x x x x x x 121 1 1 2 2 1 1000 0100 0010 令 n nkk n n n knn k n k n k x xaaaa x x xA x x 1121 1 2 12 1 1000 0010 则 1 可写成 2 1n kn k A 由 2 式递推得 其中 于是求 2 111 n k n kn k AA 1121 T kk xxx x 通项就归结为求 也就是求 n x 1n k n k A 如果可对角化 即存在可逆矩阵 使得 则 由AP 1 P APA 1n kn k APAP 于 121 100 0100 001 kk aaaa EA 从第一列开始每一列乘以加到后一列上 就得到如下的矩阵 20 kkkk kkk aaaaaaaa 2121 1121111 1000 0100 0010 1 11 kk kk aaa 若是的特征值 显然有 则线性齐次方程组 A 1REAk 的基础解系中只含有一个解向量 因此当有个特征值时 0EA X Ak 12 k 这个特征值对应的特征向量分别为 由这个特征向量为列构成的方阵k 12 k P PP k 记为 则是可逆的 并且 其中PP 1 P APA 1 2 00 00 00 n A 例 4 4 1 设数列满足递推关系 并且 n x nnnn xxxxn 123 224 求通项 xxx 123 123 n x 解 是三阶循环数列 将方程组 n x nnnn nn nn xxxx xx xx 123 11 22 22 用矩阵表示为 令 nn nn nn xx xx xx 1 12 23 212 100 010 A 212 100 010 并由上式递推得 nnn n nnn nnn xxxx xA xAxAx xxxx 123 23 1232 2341 其中 xxx 123 123 由 即EA 0 32 212 10220 01 21 得的特征值为 A 123 112 再由特征方程解得对应于的特征值的特征向量分 iE A Xi 01 2 3A 123 别为 PPP 123 114 112 111 令 PPPP 123 114 112 111 则 PAPP 11 336100 1 13201 0 6 202002 nnn nn n nnn nnn nnn nn APP 333 3 222 3111 313 22 3123 316212 100 1 01 03123 316212 6 002 3123 316212 代入 2 式得 nnn nn n xxxx 333 321 1 3123 316212 6 nn nn 33 11 13112 9 111212 6263 例 4 4 2 计算 n 阶行列式 n D 61160000 16116000 01611600 00000611 0000016 解 将按第一行展开得 n D nn DDMM 11213 6116 其中与分别是元素和的余子式 再将它们分别按第一列展开得 12 M 13 M 12 a 13 a nnnn DDDD 123 6116 则是三阶线性循环数列 n D 将方程组 22 nnnn nn nn DDDD DD DD 123 11 22 6116 表示成矩阵形式为 令 nn nn nn DD DD DD 1 12 23 611 6 100 010 A 611 6 100 010 由上式递推得 123 23 1232 2341 nnn n nnn nnn DDDD DA DADAD DDDD 3 由解得的特征值为 再由特征方程0EA A 123 123 解得对应于的特征值的特征向量分别为 0 iE A X i 1 2 3A 123 PPP 123 149 123 111 令 PPPP 123 149 123 111 则 PAPP 11 156100 1 286020 2 132003 n nnnnnn nnnnnnnn nnnnnnn APPPP 3 1211 3131121122 323233 1001001 235 236 6 22 3 1 0200201 235 236 6 22 3 2 0030031 235 236 6 22 3 由 3 式可得 nnnnnn n DDDD 1211 321 1 1 235 2366 22 3 2 将代入上式得 DDD 321 90256 n n n D 2 2 13 2 22 23 4 5 特征值法求解二次型的条件最值问题 4 5 1 二次型的条件最值问题及求解该问题的特征值方法 二次型的条件最值问题是一类特殊的多元函数极值问题 定义 设有满足条件的 n 个变量 in F x xxim mn 12 01 12 n x xx 当存在变量的一组值 使 i x in 1 2 1 n x xx 或 时 称 2 121 n n f x xxf x xx 2 121 n n f x xxf x xx 为最大 或最小 值 2 1 n fx xx 12 n yf x xx 特征值法原理 定理 1 二次型在条件下的最大值 11 nn ijijijji ij a x xaa 2 1 0 n i i xc c 最小值 恰是其实数特征值中最大值 最小值 的 c 倍 证明 利用拉格朗日数乘法 先作拉格朗日函数 2 12 111 nnn nijiji iji L x xxa x xxc 其中 为参数 再令其关于的一阶偏导数为 0 得 12 n x xx n jjnn j n jjnn j n njjnnnnnn j n L a xxaxa xa x x L a xxa xaxa x x L a xxa xa xax x 111111221 1 1 2221 12222 1 2 1 122 1 2220 2220 2220 1 由于 所以 1 可化为 ijji aa n n nnnnn aaax aaax aaax 111211 122222 12 0 2 这是一个齐次线性方程组由于 所以不全为 0 从而 2 n i i xc c 2 1 0 12 n x xx 有非零解 即该方程的系数行列式为 0 于是 24 n n nnnn aaa aaa aaa 11121 12222 12 0 3 所以是系数矩阵的特征值 11 nn ijij ij a x x 又依次用分别乘 1 再相加得 又 12 n x xx i nnn ijij iji a x xx 2 111 0 因此 2 1 i n i xc 11 nn ijij ij a x xc 特别地 二次型在条件下的最大值 最小值 恰是二次型 11 nn ijij ij a x x i n i x 2 1 1 实特征值中的最大值 最小值 11 nn ijij ij a x x 定理 2 二次型在条件下的最大值 最小值 2 1 i n i x 11 0 nn ijijijji ij a x xk aak 是二次型正数特征值倒数中的最大值 最小值 的 k 倍 当特征值为 0 时 11 nn ijij ij a x x 在条件下没有最大值 最小值为最大正数特征值 2 1 i n i x nn ijijijji ij a x xk aak 11 0 倒数的 k 倍 证明 作拉格朗日函数 令其关于 nnn niijij iij L x xxxa x xk 2 12 111 1 的一阶偏导数为 0 得 12 n x xx n jjnn j n jjnn j n nnjjnnnnn j n L xa xaxa xa x x L xa xa xaxa x x L xa xa xa xax x 111111221 1 1 2221 12222 1 2 1 122 1 22 20 22 20 22 20 25 4 接下来证明参见定理 1 直到是系数矩阵的特征值 再用分别 11 nn ijij ij a x x 12 n x xx 乘 4 再相加得 又由于 因 i nnn ijij iji a x xx 2 111 0 nn ijijijji ij a x xk aak 11 0 此 n i i k x 2 1 0 由于随正数特征值的减小而增大 且当时 的极限不 n i i k kx 2 1 0 0 k 存在 所以不存在最大值 而其最小值则是最大整数特征值倒数的 k 倍 2 1 n i i k x 证毕 特别地 二次型在条件下的最大值 最小值 2 1 n i i x nn ijijijji ij a x xaak 11 10 是二次型正特征值倒数中的最大值 最小值 11 nn ijij ij a x x 特征值方法的求解步骤 根据定理 1 和定理 2 只要知道二次型的特征值 就可以知道 11 nn ijij ij a x x 或者在特定条件下的最大和最小值了 因此应用特征值方法求解 11 nn ijij ij a x x 2 1 i n i x 二次型条件最值问题是方便的 其步骤可归结为 1 判定问题确实属于定理所描述的二次型条件最值问题 2 求二次型的特征值 11 nn ijij ij a x x 3 根据定理写出二次型或者在特定条件下的最大和最小值 11 nn ijij ij a x x 2 1 i n i x 4 5 2 应用举例 例 4 5 2 1 求在时的最值 xyxyxzyz 22 25448xyz 222 7 解 二次型的特征方程为xyxyxzyz 22 25448 26 222 2540 245 解得特征值为 10 1 1 根据定理 1 可知 在时xyxyxzyz 22 25448xyz 222 7 的最大和最小值分别为 70 和 7 例 4 5 2 2 在时的最值 xyzxyxzyz 222 222222xyz 222 5 解 二次型的特征方程为xyzxyxzyz 222 222222 211 1210 112 的特征值为 3 3 0 根据定理 1 可知 在xyzxyxzyz 222 222222 时的最大值和最小值 0 和 15 xyz 222 5 例 4 5 2 3 求在时的最值 222 xyz xyzxyxzyz 222 2222225 解 二次型的特征方程为xyzxyxzyz 222 222222 211 1210 112 的特征值为 3 3 0 根据定理 2 可知 在 222 xyz 是的最小值为 最大值不存在 xyzxyxzyz 222 2222225 5 3 4 6 特征值与特征向量在矩阵运算中的作用 4 6 1 特征值与特征向量在矩阵运算中使用的性质 性质 1 设为 n 阶方阵 为的 n 个特征值 则 A 12 n A 12n A 性质 2 方阵可逆的 n 个特征值都不为零 A A 性质 3 设为方阵的特征值 为的多项式 则为的特征值 A