2026年高考数学一轮复习：空间向量的应用（讲义）原卷版

专题7.6空间向量的应用(举一反三讲义)

【全国通用】

题型归纳

【题型1平行关系的向量证明】.........................................................................4

【题型2垂直关系的向量证明】.........................................................................5

【题型3异面直线夹角的向量求法】....................................................................7

【题型4线面角的向量求法】...........................................................................8

【题型5面面角的向量求法】..........................................................................1()

【题型6点到直线距离、异面直线距离的向量求法】...................................................11

【题型7点面距离、面面距离的向量求法】............................................................12

【题型8轨迹问题的向量求法】........................................................................14

【题型9探索性问题的向量求法】......................................................................15

1、空间向量的应用

考点要求真题统计考情分析

空间向量的应用是高考的重点、热

2023年新高考I卷：第18题，

点内容，属于高考的必考内容之一.从

(1)理解直线的方向向量及平面12分

近几年的高考情况来看，空间向量解立

的法向量，能用向量方法证明立2023年新高考H卷:第20题,

体几何一般以解答题形式为主，每年必

体几何中有关线面位置关系的12分

考，难度中等偏难，第一小问一般考查

一些简单定理2024年新高考I卷：第17题，

空间线、面位置关系的证明；空间角与

(2)能用向量法解决异面直线、直15分

点、线、面距离问题通常在解答题的第

线与平面、平面与平面的夹角问2024年新高考H卷：第17题,

二小问考查；有时在选择题、多选题中

题，并能描述解决这一类问题的15分

也会涉及，难度一般.

程序，体会向量法在研究空间角2025年全国一卷：第9题，6

近年命题趋势更注重动态几何问

问题中的作用分、第17题，15分

题和向量法的综合应用，如通过翻折情

(3)会求空间中点到直线以及点2025年全国二卷：第17题，

境分析空间角的变化，需灵活求解；备

到平面的距离15分

考时需强化坐标系建立技巧、法向量求

(4)以空间向量为工具，探究空间2025年北京卷:第17题，14

解步骤及空间角公式的熟练应用，同时

几何体中线、面的位置关系或空分

注重向量运算的严谨性,避免因计算失

间角存在的条件2025年天津卷：第17题，15

误失分.

分

知识梳理

知识点1空间位置关系的向量表示

1.直线的方向向量

直线的方向向量:如果表示非零向量次的有向线段所在的直线与在线/平行或重合，那么称此向量五为宜线/

的方向向量.

2.平面的法向量

平面的法向量:直线LLa,取直线/的方向向量则称向量不为平面〃的法向量.

知识点2用空间向量研究直线、平面的平行关系

1.空间中直线、平面的平行

(1)线线平行的向曷表示:设1，I分别是直线八，，2的方向向量，则八〃/2=1//7=皿£&使得1=人二.

(2)线面平行的向量表示:设五是直线/的方向向量，元是平面a的法向量，/《a,则/〃a=五_1_元0刃•五=0.

(3)面面平行的向量表示:设〃I，也分别是平面a，/?的法向量，则〃〃夕//〃2<=>至fR，使得〃1=力?2.

2.利用向量证明线线平行的思路：

证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可.

3.证明线面平行问题的方法：

⑴证明直线的方向向星与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；

(2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内；

(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内.

4.证明面面平行问题的方法：

(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行.

(2)将面面平行转化为线线壬任然后用向量共线进行证明.

知识点3用空间向量研究直线、平面的垂直关系

1.空间中直线、平面的垂直

(1)线线垂直的向量表示:设〃I，〃2分别是直线(,，2的方向向量,则Zl±120M-L«2・〃2=0.

(2)线面垂直的向量表示：设五是直线/的方向向量，元是平面。的法向量，1%,则/_Lao五〃元=五£R,使

得云=沅.

(3)面面垂直的向量表示:设〃2分别是平面。，力的法向量，贝卜_1夕=〃I_1〃2=〃|・〃2=0.

2.证明两直线垂直的基本步躲：

建立空间直角坐标系T写出点的坐标-求直线的方向向量一证明向量垂直T得到两直线垂直.

3.用坐标法证明线面垂直的方法及步骤：

(1)利用线线垂直:①将直线的方向向量用坐标表示：②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方

向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直.

(2)利用平面的法向量:①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量：③判断直线的方向向量与

平面的法向量平行.

4.证明面面垂直的两种方法：

(1)常规法:利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.

(2)法向量法:证明两个平面的法向量互相垂直.

知识点4用向量法求空间角

1.用向量法求异面直线所成角的二1^骤：

(1)建立空间直角坐标系；

(2)用坐标表示两异面直线的方向向量：

(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；

(4)注意两异面直线所成角的范闹是即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对

值.

2.向量法求直线与平面所成角的主要方法：

(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；

(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就

是斜线和平面所成的角.

3.向量法求二面角的解题思路：

用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两立面夹角的大

小.

知识点5用空间向量研究距离问题

1.距离问题

(1)点P到直线/的距离：已知直线/的单位方向向量为五，4是直线/上的定点，尸是直线/外一点，设向量

力在直线/上的投影向量为则点P到直线/的距离为-Q?(如图).

(2)点尸到平面。的跑离：设平面Q的法向量为五，力是平面。内的定点，户是平面。外一点，则点尸到平面。的

\AP'n\

距离为一百一(如图).

回

2.向量法求点到直线距离的步骤：

(1)根据图形求出直线的单位方向何量工

(2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量必巾

(3)垂线段长度d=J加2-(加•).

3.求点到平面的距离的常用方法

(1)直接法：过尸点作平面a的垂线，垂足为。，把P0放在某个三角形中，解三角形求出P。的长度就是点

P到平面a的距离.

⑵转化法:若点P所在的直线/平行于平面a,则转化为直线/上某一个点到平面a的距离来求.

(3)等体积法.

(4)向量法:设平面a的一个法向量为元，力是a内任意点，则点P到a的距离为4=1~n」.

同

【方法技巧与总结】

1.异面直线所成角的范围是(。，9：直线与平面所成角的范围是［0局；二面角的范围是［0,也两个平

面夹角的范围是［o,3.

［举一反三

【题型1平行关系的向量证明】

【例1】(24・25高二下•四川南充•阶段练习)如图，正方形4BCD与矩形4CE9所在平面互相垂直，AB=E，

力尸=1,M在Er上且AM〃平面BDE,则M点的坐标为()

A.(1,14)B,俘弓1)C.俘净1)D.件11)

【变式1-1］(24-25高二上•江西•阶段练习)如图，在长方体力BCD-中，AB=BC=24%,当砧=

入药时，有。止〃平面80%,则实数2的值为()

【变式1-2］(2025•陕西安康•模拟预测)如图，己知多面体是由正四棱锥。与正方体

（1）求证：PC〃平而

（2）若48=3,求四棱锥P-4DC$i的体积.

【变式1-3]（2025•全国•模拟预测）如图，在三棱锥4-8CD中，△4BC和△BCO都是正三角形，E是BC

的中点，点厂满足而=4瓦5（2。0）.

（1）求证：平面48cl平面

（2）若|4D|=|8C|=2百,且BFII平面4CD,求。尸的长.

【题型2垂直关系的向量证明】

【例2】（24・25高三下•陕西安康•阶段练习）在正方体48。。-4当的。1中，M是线段的小（不含端点）上

的动点，N为8c的中点，则（）

A.BDLAMB.平面为8。_L平面ADiM

C.MN〃平面A［BDD.CM〃平面A/D

【变式2・1】（24・25高二上•上海嘉定期中）在正方体力BCD—4.8iGDi中，Q为A41上一动点，则下列各选

项正确的是（）

A.存在点Q使得BQ与平面/CD垂直B.存在点Q使得DQ与平面8也0垂直

C.存在点。使得出。与平面Bi。。垂直D.存在点Q使得DiQ与平面垂直

【变式2-2］（2025•陕西咸阳・模拟预测）如图1,在高为6的等腰梯形中，48〃C0,且Q9=6,48=12,

将它沿对称轴。。1折起，使平面力。。1。_L平面8C01。，如图2,点P为BC的中点，点E在线段48上（不同于4,B

两点），连接。£并延长至点Q,^AQ//OB.

图1图2

⑴证明：。0工平面R4Q；

（2）若8E=24E,求三棱锥P-4BQ的体积.

【变式2-3］（2025•新疆•模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD^P，PDL平面Z1BC。，底面4BCD为菱形，乙4BC=

60°.

（1）求证：AC1PB；

（2）若718=2,当平面PA8_1_平面/>8。时，求PD的长.

【题型3异面直线夹角的向量求法】

【例3】（2025•浙江•二模）正方体/18。0-力18£15中，点M,N分别为正方形41/gDi及ABB/i的中心,

则异面直线BD与MN所成角的余弦值为（）

A.0B.—C.1D.

422

【变式3-1］（2025•安徽合肥•模拟预测）中国古代数学著作《九章算术》记载了•种被称为“曲池”的几何体,

该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池,

它的高为2,44、8/、CCi、DDi均与曲池的底面4BCC垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和

2,对应的圆心角为90。，则图中异面直线力与与所成角的余弦值为（）

小［----

CD

【变式3-2］（2025•江苏苏州•三模）如图，正四棱锥S-/1BCD,SA=2,AB=gP为侧棱SD上的点，且

SP=3PD.

⑵求异面直线S4与CP所成角的余弦值.

【变式3-3］（2025•河南新乡•二模）《九章算术・商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖喘如

图，在四面体/BCD中，CDJL平面AB1BC,RAB=4,BC=CD=3,AE=EC.

（1）证明：四面体力BCD为鳖㈱；

（2）若直线MN1平面Z8D,求宜线8E与MN所成角的余弦值.

【题型4线面角的向量求法】

【例4】（2024•青海西宁•模拟预测）在直三棱柱力中，AB1AC,AB=AC=^AAV0为线段BC

的中点，点E在线段B］g上，且5书=；81。1，则直线。E与平面力Cg公所成角的正弦值为（）

【变式4-1］（2024•四川攀枝花•一模）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一

千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖脑指的是四个面均为直角三角形

的三棱锥如图,在堑堵45。一力1的。1中，乙4c8=90。，若4C=BC=1,AAr=2,直线4C与平面488遇1

所成角的余弦值为（）

【变式4-2](2025•全国•模拟预测)由四棱柱48。。一481。1小截去三棱锥。1一%。。1后得到如图所示的几

何体，四边形4BCZ)是菱形，4C=4,8。=2,。为AC与BC的交点，/。1平面A8CD.

(1)求证：。。〃平面4DC1；

(2)若8]。=2^，求4cl与平面AWg所成角的正弦值.

【变式4-3](2025•内蒙古呼和浩恃•模拟预测)如图，在三棱台,48。一4当。1中，平面力①。/_1_平面力BC,

AA^=41cl=C1C=2,AC=4,BA=BC.

(1)证明：4B14C1；

(2)求宜线BE】与平面84cl所成角的正弦值的最大值.

【题型5面面角的向量求法】

「例5】（2025高二•全国•C题练习）如图，将菱形纸片A8C”沿对角线AC折成直二面角，当产分别为A〃,8（；

的中点，。是何的中点，立力"=拳则折后二面角E—OF—A的余弦值为（）

D

.V213m

A-VB.D.

u

【变式5-1]（2024•江西宜春•模拟预测）在正方体力BCD-4B1GD1中，平面a经过点B,D,平面0经过点4。1,

当平面区6分别截正方体所得截面面枳最大时，平面a与平面£的夹角的余弦值为（）

A.iB.更CTD.3

2332

【变式5-2]（2025•湖南湘潭一模）如图，在四棱锥P-4?。。中，底面力BCD是菱形，侧面P401底面力BCO,△

PAD为正三角形,E,尸分别是棱,4D,DC的中点，点G在侧棱PD上，且PG:GD=3:1.

（1）求证：PB〃平面EFG；

（2）若P8JL8C,求二面角F-EG-D的余弦值.

【变式5・3】（2025•河北秦皇岛•模拟预测）如图①，在梯形ABCD中,BC||AD,LABC=Z.DCB=60°,BA=

40=0&M为线段BC的中点，将△84M沿折起至如图②.

⑴若B'D=AD,证明：BA1BCx

（2）若二面角1一AM-。的大小为120。，求平面口48’与平面DC8'夹角的正弦值.

【题型6点到直线距离、异面直线距离的向量求法】

【例6】（2025•四川•二模）已知空间中向量荏=（0,1,0）,向量前的单位向量为（一日，?，一争，

则点8到直线4C的距离为（）

A.邑B.渔C.绰D.正

3333

【变式6-1］（24・25高二下•甘肃平凉•期中）正四棱锥S-A8CD中，。为顶点S在底面力8CZ）内的正投影，P

为侧棱SD的中点，且SO=OD=VL则异面直线PC与8。的距离为（）

A.饕B.野C.余D.终

105105

【变式6-2］（24-25高二上•辽宁大连•期末）三棱台ABC-力道道1中，AB=2AxBltAB1BC.AC1BBlt平

面/力避避！平面力BC,AB=3,BC=2,BBl=1,~AE=2EB,4（与人的交于。.

（1）证明：DEII平面力iBG；

（2）求异面直线4cl与DE的距离.

【变式6-3]（2025・广东•模拟预测）如图，在四棱锥中，底面48co是边长为2的正方形，△PAB

为正三角形，且侧面048_L底面力BC。，M为PD的中点.

（1）求点P到直线8M的距离；

⑵求平面P4C与平面240的夹角的余弦值.

【题型7点面距离、面面距离的向量求法】

【例7】（2025•江西萍乡,一模）如图，在平行四边形A8CQ中，AB=2BC=2,zABC=60。，E为CD的

中点，沿力七将△D4E翻折至的位置得到四棱锥P—ABCE,且PB=2.若尸为棱P8的中点，则点尸

到平面尸CE的距离为（）

【变式7-1]（24-25高二下•全国•课后作业）正方体4BC。一4B1C1D1的棱长为2,E,F,G,H分别是棱AB,

AD,当的，D］Ci的中点，则平面EFDiB］和平面GHDB之间的距离为（）

A.-B.-C.-D.-

3326

【变式7-2］（2025•湖南长沙•模拟预测）在四棱锥P-4BCD中，底面4BCD为正方形，平面P/W1平面PCD,

PA1AD,P4=40=2,点£为线段PD的中点，点尸为线段PC上的动点（不含端点）.

（1）证明：平面AEF1平面PCD；

（2）若平面力E/与平面P8C的夹角为不求点夕到平面4EF的距离.

4

［变式7-31（24-25高二上•内蒙古赤峰•阶段练习）如图所示，在直三棱柱力BC-&81cl中，418。=90°,BC=

2,CCi=4,点£在线段8%上,且网=4,D、F、G分别为Cg,［%,C遇i的中点.

⑴求证：_L平面//。

⑵求证：平面£G/7/平面力80；

（3）求平面EG/与平面ABD的距离.

【题型8轨迹问题的向量求法】

【例8】（2024•四川成都•三模）在棱长为5的正方体48。。一4%的。1中，Q是DD】中点，点P在正方体

的内切球的球面上运动，旦CP1.4Q,则点P的轨迹长度为（）

A.>/5nB.2x/5nC."D.5ir

4

【变式8-1］（2025•北京•二模）设正方体的棱长为2,P为正方体表面上一点，且点P到

宜线/M1的距离与它到平面48CZ）的距离•相等，记动点尸的轨迹为曲线力,则曲线％的周长为（）

A.3V2B.2V2+TTC.6V2D.4724-n

【变式8-2］（2025•浙江嘉兴,二模）如图，已知AD"BC“FE,平面A8FJL平面/IDEF,ABA.AF,AFLAD,

AD=2BC=2EF=2AF=2,点P为梯形4DEF内（包括边界）一个动点，且8P〃平面CDE.

（1）求点P的轨迹长度；

（2）当线段8P最短时，直线8P与平面8"尸所成角6的正弦值为二求三棱锥P-CDE的体枳.

6

【变式8-3］（2025•江苏•三模）如图，在直三棱柱ABC-力避1。1中，点。在BC上，AD1DC^

（1）证明：AD1平面8B1GC：

(2)若AB=AC=20,AB1AC,二面角C-ACX-。的大小为全

①求71。与平面所成角的正弦值；

②点E在侧面7188ml内，且三棱锥E-4DG的体积为:求E的轨迹的长度.

•J

【题型9探索性问题的向量求法】

【例9】(2024•内蒙占呼和浩特•二模)如图，已知ABJL平面8CE,CDWAB,△BCE是等腰直角三角形，其

中/E8C=p且48=BC=2CD=4.

(1)设线段BE中点为F,证明:CFII平面

(2)在线段48上是否存在点M,使得点3到平面CEM的距离等于4，如果存在，求M8的长.

【变式9-1](2025•江西景德镇•模拟预测)如图，在直三棱柱力8。一为8道1中，8C=F分别为

的中点，且AFJLEQ.

AC.

B

(1)证明：4cl平面BCg.

(2)若=在线段EG上是否存在点使平面力与平面4ME夹角的余弦值为甯？若存在，确定

点M的位置；若不存在，请说明理由.

【变式9-2](2025•贵州遵义•模拟预测)在多面体48CDMN中，已知四边形4BNM是边长为2的正方形，AB=

AD=^BC,AD//BC,AB1AD,平面力BNM_L平面48CD,“为线段BC的中点.

(1)若平面4N，n平面MNC=，，求证：MC//1-,

(2)在线段NC上是否存在一点尸，使得平面P4H1平面N4”？若存在，求得的值；若不存在，说明理由.

【变式9-3](2024•黑龙江哈尔滨•一模)如图1,在平行四边形力BCD中，D=60°,DC=2AD=2,将△ADC

沿AC折起，使点。到达点尸位置，且PC1BC,连接PB得三棱维P-4BC,如图2.

p

(1)证明：平面P4B1平面说:

(2)在线段PC上是否存在点使平面与平面MBC的夹角的余弦值为小若存在，求出■的值，若不存

H\rC\

在，请说明理由.

过关测试

一、单选题

1.(2024•宁夏吴忠一模)已知平面。={。员•声=0},其中点Po(l,2,3),法向量元=(1,1,1)，则下列各

点中不在平面。内的是()

A.(1,2,3)B.(-2,4,5)C.(-3,4,5)D.(2,-4,8)

2.(2025・贵州遵义•模拟预测)在正方体48。)一481的。1中，M、N分别棱8/，C】。］的中点，则下列选

项正确的是()

A.AXM||CNB.八向1MC

C.MN1面44©CD.MN〃面4/0

3.（2025•甘肃白银•三模）如图，在长方体ABCD-ABiGD］中，AB=BC=3,BBX=2,丽=|万瓦而7=

9福，则异面直线4M和BN夹角的余弦值为()

D.竽

4.（2025•甘肃甘南,模拟预测）在棱长为2的正方体力8（?。-4丛明。1中，E,F分别为棱力4，8当的中

点，G为棱为々上的一点，且41G=2（0</IV2）,则点G到平面”透产的距离为（）

5.（2025•河南安阳•一模）如图,在三棱锥S-ABC中，SA,SB,SC两两垂直，SC=3,SB=2,SA=1,

0为线段SC上靠近。的三等分点，点E为的重心，则点E到直线80的距离为（）

6.（2025•北京顺义一模）六氟化硫是一种无机化合物，常温常压下为无色无味无毒不燃的稳定气体.化学

式为S&，在其分子结构中，硫原子位于中心，六个氟原子均匀分布在其周围，形成一个八面体的结构.如图

所示，该分子结构可看作正八面体，记为「-力8。。-f?，各棱长均相等，则平面PA8与平面QAB夹角的余

D.1

3

7.（2025•黑龙江•一模）正方体｛BCD-ABiGDi的棱长为1,E为棱DD1的中点，点P在面对角线B的上

运动（P点异于8、Q点），以下说法错误的是（）

A.8〃i〃平面力口；

B.AXP1BXD

C.直线/E与平面CDDi的所成角的余弦值为:

•5

D.三棱锥P-4CDi的体积为!

6

8.（2025•黑龙江哈尔滨•二模）已知四面体力BCD中，AB,BC,BD两两垂直,8c=BD=&,力8与平面4CC

所成角的止切值为好则点3到平面力。。的距离为（）

A-TB.苧C.yD.等

二、多选题

9.（2025•山东潍坊•二模）在正方体力8。£）一481的。1中，E、尸分别为线段为外、力B的中点，则（）

A.EF与BC异面B."〃平面CDOC

C.EF±ACD.BDJ_平面"G

10.（2025•河北秦皇岛•模拟预测）在棱长为1的正方体力中，。为上底面ABiG。］的中

心，则（）

A.。8〃平面4皿

B.OB1CjD

C.直线Bg与CD］的距离为］

D.直线8C与平面AC。1所成