概率论与数理统计第一章习题三解答(14-27).pdf

徐老641272611 第一章习题解答 三大题第 14 题到 27 题 14 某种动物活到 10 岁的概率 0 92 活到 15 岁的概率为 0 67 求一只该 种动物活到了 10 岁后还能活到 15 岁的概率 分析 典型的条件概率 关键在于事件的关系上不要错了 解 设表示 动物活到 10 岁 AB表示 动物活到 15 岁 显然活到 15 岁这个事件包含在活到 10 岁这个事件中 因而有BA 0 67 0 72826 0 92 P BA P B A P A 15 设 P A 0 5 P B 0 4 P A B 0 14 求 P A B P B BA 分析 概率的基本公式运用 P AB P A B P B 而 P ABP AB 第一个问 题易解 第二个问题涉及条件概率与加法公式 解 P ABP AP AB 0 50 140 36P ABP ABP A 得 0 14 0 2333 1 0 6 P ABP AB P A B P BP B 0 4 0 4651 0 50 36 P B ABP BP B P B AB P ABP AP BP ABP AP BA 其中 P BP ABP BP BAP BA 16 设 A B 是两个事件 1 0P Ap 2 0P Bp 且 证明 12 1pp 2 1 1 1 P P B A P 分析 左边 P BAP BP AP BA P B A P AP A 右边 212 11 11 1 PPP PP 代入值后 对称 化简 可得 证明 P BAP BP AP BA P B A P AP A 徐老641272611 2121 11 1 PPP BAPP P BA PP 1 即 2 1 1 1 P P B A P 得证 17 空战中甲机先向乙机开火 击落乙机的概率为 0 2 若乙机未被击落 就进行还击 击落甲机的概率是 0 3 若甲机未被击落 再进攻乙机 击落乙机 的概率是 0 4 求这几回合中 1 甲机被击落的概率 2 乙机被击落的概率 分析 条件概率和独立事件的应用 注重事件的字母表示和事件的关系 解 设表示 甲机第一次击落乙机 1 AB表示 乙机击落甲机 表示 甲机第二次击落乙机 显然有 2 A 11 0 2 P A 0 8P A 乙机在 1 A发生下的击 落甲机的概率为 即 0 3 1 0 P B A 3 得 1 1 1 0 3 0 3 0 8 0 24 P BA P A P BA 2 由甲机未被击落 再进攻乙机 击落乙机的概率是 0 4 得 21 P A BA 0 4 即 21 1 0 4 P A BA P BA 有 211 0 4 0 4 0 7 0 80 224P A BAP BA 121 0 20 2240 424P AP A BA 18 一人从某地到上海参加会议 他乘火车 轮船 汽车 飞机的概率分别 为 0 3 0 2 0 1 0 4 若他乘火车 轮船 汽车去而迟到的概率分别为 1 4 1 3 1 12 乘飞机去则不会迟到 1 求他迟到的概率 2 若他迟到了 他最可能乘什么交通工具 分析 全概率乘法公式与贝叶斯分式的应用 徐老641272611 解 设表示依次乘坐的交通工具 i AB表示开会迟到 由题意可得 1234 0 3 0 2 0 1 0 4 P AP AP AP A 1234 111 0 4312 P B AP B AP B AP B A 那么 4 1 111 0 30 20 100 15 4312 ii i P BP A P B A 2 在已知迟到的情况 乘坐火车的概率为 1 1 1 0 3 3 4 0 1540 P AB P A B P B 同理可得 2 2 30 P A B 3 1 120 P A B 最大者为 3 40 最有可能乘坐火车 19 一种用来检验 50 岁以上的人是否患有关节炎的检验法 对于确实患有 关节炎的病人有 85 检验结果是患关节炎 对于未患关节炎的人有 4 的检验结果 会认为是患关节炎 已知 50 岁以上人群中有 10 的人患有关节炎 求当一名被 检验者经检验认为没有关节炎 而他却患有关节炎的概率 分析 贝叶斯公式的应用 关键在于事件的描述上 谁是条件 谁是结果 解 设表示患有关节炎 AB表示检验结果是患关节炎 由题意知 0 1P A P B 0 85A 0 04P B A 求 P A B 0 1 0 850 085 0 9 0 040 036 0 121 1 0 879 P BAP A P B A P BAP A P B A P BP BAP BA P BP B 得 0 1 10 85 0 01706 0 879 P AB P A B P B 20 有甲 乙两箱产品 其中甲箱有 10 件正品 5 件次品 乙箱中有 12 件正 品 3 件次品 1 从甲箱中任取 2 件放入乙箱 再从乙箱任取一件 求从乙箱 中取得这件产品是次品的概率 2 今随机任取一箱 再从中先后依次任取两 件产品 求这两件产品中有一正品一次品的概率 再求后取的是次品条件下 徐老641272611 先取的是正品的概率 分析 古典概型 全概率乘法 条件概率 注意事件的字母表示 解 设表示甲箱中任取 2 件有 件次品 i Ai0 1 2i B表示乙箱中取到 次品 有 02 510 0 2 15 3 7 C C P A C 11 51 2 15 0 1 10 21 C C P A C 20 510 2 C C P A C2 15 2 21 1 3 0 1 17 3 17 C P B A C 1 4 1 1 17 4 17 C P B A C 1 5 2 1 17 5 17 C P B A C 2 0 3 310 42 511 0 2157 7 1721 721 751 ii i P BP A P B A iii 2 用表示一正一次C 1111 105123 22 1515 1143 0 4095 22105 C CC C P C CC 设表示任取中第 次正品 i Ai1 2i 所示问题为 12 P A A 而 1212 12 1 212 P A AP A A P A A P AP A AP A A 2 12121 1 10 51 12 343 2 15 142 15 14210 P A AP A P A A ii ii 12121 1 541 3213 2 15 142 15 14210 P A AP A P A A iiii 12 43 43 210 0 767857 4313 56 210210 P A A 21 若三事件 A B C 相互独立 证明 A B 及 A B 都与 C 相互独立 分析 只需要证明 PAB CP AB P C 证明 AB CACBC PAB CP ACBC P ACP BCP ABC P A P CP B P CP A P B P C P AP BP A P BP C P AB P C 得证 注意 证明方法类似 PAB CP AB P C 徐老641272611 22 甲 乙两人向同一靶各射击一次 两人击中靶的概率分别为 0 9 和 0 8 求 1 恰有一人击中靶子的概率 2 已知靶子被击中 求它是甲未击中而 乙击中的概率 分析 独立事件的概率 注意事件的表示 解 设表示甲击中靶子 AB表示乙击中靶子 相互独立 有 表示恰有一人击中靶子 则 0 9 8P AP B 0C 0 9 0 20 1 0 8 0 26 CABAB P CP ABP AB P A P BP A P B 2 用表示已知击中情况下 甲未击中乙击中事件 则有击中事件为DAB 甲未击中乙击AB 有 0 90 80 720 98P ABP AP BP A P B 0 1 0 80 08P AB 0 08 0 0816 0 98 P AB P DP AB AB P AB 注意 也可用 1 10 020 98P ABP AB 教材答案为 0 1837 其过程 为 0 9 0 2 0 18367 0 98 表示在已知击中 甲击中乙未击中的概率 23 设概率统计课的重修率为 6 若一个班至少一人重修的概率不小于 0 95 则这个班至少有多少位同学 分析 伯努利概型问题的应用 注意要用函数计算器帮助求解 解 设至少有 位同学 用nX表示重修的同学数 由题意得 10 95p X 徐老641272611 00 110 10 06 0 94 10 94 10 940 95 n n n n p Xp X C ii 即 0 940 05 n 取自然对数得 ln0 05 ln0 94 n 解得 48 41n 答 至少 49 人 注意 是个小于零的数 不等号反向 当除以该数时 ln0 94 24 一系统由四个元件联结而成 各个元件独立地工作 且每个元件能正常 工作的概率均为 p 求系统能正常工作的概率 分析 独立事件串 并联稳定性问题 解 用表示第 个元件正常工作 其中 用 i Ai 1 2 3 4i A表示系统正常工作 得 1234 142143 1421431243 334 34 2 P Ap A AA A p A A AA A A p A A Ap A A Ap A A A A ppp pp 25 统计表明 某加油站前来加油的车加汽油和柴油的比例是 8 比 2 现有 5 辆车前来加油 求 1 5 辆车中恰有 3 辆加汽油的概率 2 5 辆车中至少 1 辆加汽油的概率 分析 典型的伯努利概型 注意量化的方法 解 用A表示加汽油 用B表示加柴油 其概率分别为 用 表示恰有 3 辆加汽油 用表示至少 1 辆加汽油的事件 可得 0 8 0 2p Ap B CD 徐老641272611 1 332 5 32 5 4 0 80 2 2 1 0 2048 P CC p Ap B 2 00 5 5 1 1 10 2 0 99968 P DP D C p Ap B 5 注意 教材上 2 答案为 0 6723 其过程为 至少 1 辆加柴油的概率 5 10 8 26 一工人每天加工的 100 个零件 每个零件不合格的概率是 0 01 设每个 零件是否合格是相互独立的 若他加工的零件中不合格不超过两个 则可获得 当日完成任务奖 求他能获奖的概率 分析 典型的伯努利概型的应用 解 设每个零件不合格的概率为p 加工的零件不合格数为X 由题意得 0010011992298 100100100 982 99 2 0 1 2 1 1 1 0 99 0 990 990 99 2 0 992 49 0 9206 P XP XP XP X CppCppCpp 答 所求的概率为 0 9206 27 一工厂生产的电子元件为一 二