概率复习题.doc

第一章1.01口袋里装有若干个黑球和若干个白球，每次任取1个球，共抽取两次，设事件A表示第一次取到黑球，事件B表示第二次取到黑球，问：（1）和事件A+B表示什么？表示两次抽取中至少有一次取到黑球（2）积事件AB表示什么表示两次都取到黑球（3）积事件AB表示什么表示第一次取到黑球，第二次取到白球（4）对立事件A表示什么表示第一次取到白球（5）第一次取到白球且第二次取到黑球应如何表示？表示为AB（6）两次都取到白球应如何表示？表示为AB（7）两次取到球的颜色不一致应如何表示？表示为AB+AB（8）两次取到球的颜色一致应如何表示？表示为AB+AB1.03随机安排甲、乙、丙三人在星期一到星期三各学习一天，求：(1)恰好有一人在星期一学习的概率；（2）三人学习日期不相重的概率。(1)解：设事件A表示甲、乙、丙三人恰好有一人在星期一学习。即甲、乙、丙三人可以在星期一到星期三各学习一天n=33=27,其中一人星期一学习，有3种方法，其余二人安排在其他时间学习有22种方法，所以m=3*22=12.由此得：P(A)= =答：恰好有一人在星期一学习的概率是(2)设事件B表示三人的学习日期都不相同。即甲、乙、丙三人在星期一到星期三各学习一天n=33=27,先安排一个在某天学习，有3种方法，其余两人安排在某天学习有2种方法，最后一人在剩余的一天学习有1种方法，所以m=3*2*1=6.由此得：P(B)= =答：三人学习日期不相重的概率是1.05某地区一年内刮风的概率为4/15，下雨的概率为2/15,既刮风又下雨的概率1/10，求：（1）刮风或下雨的概率；（2）既不刮风又不下雨的概率解：设事件A表示刮风，B表示下雨，则P(A)=4/15 P(B)=2/15 P(AB)=1/10刮风或下雨意味着A事件发生或B事件发生，用和事件A+B表示：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=4/15+2/15-1/10=3/10既不刮风又不下雨意味着事件A不发生且事件B不发生，用积事件AB表示：P(AB)=1-P(A+B)=1-3/10=7/10答：刮风可下雨的概率是3/10，既不刮风又不下雨的概率是7/10。1.14市场上供应的某种商品由甲厂、乙厂及丙厂生产，甲厂占50%，乙厂占30%，丙厂占20%，甲厂产品的正品率为88%，乙厂产品的正品率为70%，丙厂产品的正品率为75%，求：（1）从市场上任买1件这种商品是正品的概率；（2）从市场上已买1件正品是甲厂生产的概率。（注：用全概公式）解: 设A1=甲厂的商品, A2=乙厂的商品 A3=丙厂商品 B=任买一件商品是正品=甲厂的正品+乙厂正品+丙厂正品= A1B + A2B + A3BP(B)=P(A1B)+ P(A2B)+ P(A3B) (根据互斥事件概率) =P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) (乘法公式) =0.50.88 + 0.30.7 + 0.20.75 = 0.8P(A1|B)=P(A1B)/P(B)= P(A1)P(B|A1)/ P(B)=(0.5*0.88)/0.8=0.55答：从市场上任买1件这种商品是正品的概率是0.8，从市场上已买1件正品是甲厂生产的概率是0.551.19填空题（2）投掷两枚均匀硬币，设事件A表示出现两个正面，则概率P(A)=1/2*1/2=1/4（8）设A,B为两个事件，且已知概率P(A)=0.4,P(B)=0.3,若事件A,B相互独立，则概率P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)= P(A)+P(B)- P(A) P(B)=0.4+0.3-0.4*0.3=0.58 (P34独立事件乘法公式)1.20选择题（1）设A,B为两个事件，若事件AB,则下列结论中（C ）恒成立。A事件A,B互斥 B事件A, B互斥 C事件A,B互斥 D事件A,B互斥（5）设A,B为两个事件，若概率P(A)=1/3，P(A|B)=2/3,P(B|A)=3/5,则概率P(B)=(A )A 1/5 B 2/5 C 3/5 D 4/5 解：因为P(B|A)=3/5 所以P(B|A)=1-3/5=2/5根据乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)或P(B)P(A|B)得P(AB)=P(A)P(B|A)=1/3*2/5=2/15所以P(B)=P(AB)/ P(A|B)= =第二章2.04设离散型随机变量X的概率分布列表如表2-32X-123Pc2c4c试求：（1）常数c值；（2）概率PX2(1)解：根据离散型随机变量概率分布的性质：c+2c+4c=1所以常数c=1/7(2) X2的范围内，离散型随机变量X的取值有2和3两个值，所以概率PX2=PX=2+PX=3=2/7+4/7=6/72.05某菜市场零售某种蔬菜，进货后第一天售出的概率为0.7，每500g售价为10元；进货后第二天售出的概率为0.2，每500g售价为8元；进货后第三天售出的概率为0.1，每500g售价为4元。求任取500g蔬菜售价X元的数学期望E(X)与方差D(X).解：数学期望就是随机变量X的所有取值与其对应概率的乘积之和。由题意得：X4810P0.10.20.7所以数学期望E(X)=4*0.1+8*0.2+10*0.7=9答：任取500g蔬菜的平均售价为9元E（X2）=42*0.1+82*0.2+102*0.7=84.4所以方差D(X)= E（X2）-E(X)2=84.4-92=3.42.08设离散型随机变量X的概率分布列表如表2-35X012P2/c1/c3/c试求：（1）常数c值；（2）概率P0X2; (3)数学期望E(X); (4)方差D(X)(1)解：根据离散型随机变量的性质得：2/c+1/c+3/c=1所以常数c=6(2) 0X2的范围内，离散型随机变量X的取值只可能是1，所以概率P0X2=PX=1=1/6(3)数学期望E(X)就是随机变量X的取值与其对应的概率的乘积之和，即E(X)=0*2/6+1*1/6+2*3/6=7/6(4)方差D(X)就是平方的期望之和减期望的平方E(X2)=02*2/6+12*1/6+22*3/6=13/6D(X)= E(X2)-E(X)2=13/6-(7/6)2=29/362.19填空题（1）设离散型随机变量X的概率分布列表如2-36X-1012Pc2c3c4c则常数c= 1/10 ( 因为c+2c+3c+4c=1所以c=1/10)(9)设X为随机变量，若数学期望E(X/2-1)=1,则数学期望E(X)=4 (因为1/2E(X)-1=1，解得E(X)=4)(10)设X为随机变量，若方差D(3X-6)=3，则方差D(X)=1/3 (因为32D(X)=3，解得D(X)=1/3)注：（9）、（10）请见书82页期望和方差的性质。2.20单项选择题（3）设离散型随机变量X的所有可能取值为-1与1，且已知离散弄随机变量X取-1的概率为p（0p0）的指数分布，且已知方差D(X)= ，求：（1）参数l值；（2）概率P0X0）的指数分布，且已知方差D(X)= ，根据公式：（1）D(X)= 1/l2= 所以l=2（2）由于连续型随机变量X服从参数l=2的指数分布，根据指数分布概率的计算公式，得到概率P0X1=e-2*0- e-2*1=1-0.1353=0.8647（3）由于数学期望E（X）=1/l=1/2，所以E（4X-3）=4E(X)-3=4*1/2-3= -1（4）由于方差D(X)=1/ l2=1/4， 所以D(4X-3)=16E(X)=16*1/4=4 (108页公式)答：参数l值为2，概率P0X0）的泊松分布，若数学期望E（5X-1）=9,求参数l。解：根据数学期望性质：E（5X-1）=5E(X)-1=9 所以E(X)=2又因为离散型随机变量X服从参数为l（l0）的泊松分布，所以l=E(X)=2答：参数l值为2.（8）已知连续型随机变量XN(0,1)，函数值o（0.55）=0.7088，求概率P-0.55X0解：因为o（0.55）=0.7088，根据标准正态分布的计算公式，得到概率P-0.55X0=o（0）-o（-0.55）=o（0）-1-o（0.55）=0.5-0.2912=0.2088答：概率P-0.55X0值为0.2088第四章4.05某商店一天内有300笔销售收入，每笔销售收入都以元为单位，并将小数部分经四舍五入归为整数，所产生误差的数学期望为0，方差为1/12元，且各笔销售收入相互独立，求在300笔销售收入中误差总和的绝对值不超过5元的概率。解: 设Xi表示第i 笔销售收入(i=1,2,300) ,离散型随机变量X1，X2，X300相互独立，且离散型随机变量 由题意得到数学期望和方差E(Xi) = 0, 方差D(Xi)=1/12根据数学期望和方差的性质得：E(X)=0 D(X)=300*1/12=25根据林德伯格定理，离散型随机变量X近似服从参数为E(X)=0,D(X)=25的正态分布，即N(0,52)所以300笔收入误差总和的绝对值不超过5元概率为:P|X|5=P-55=P-1X1=F0 (1)- F0 (-1)= F0 (1)-(1-F0 (1)=2F0 (1)-1=2*0.8413-1=0.6826答：在300笔销售收入中误差总和的绝对值不超过5元的概率是0.6826 4.06一个系统由100个相互独立的部件组成，在系统运行期间每个部件损坏的概率皆为0.05，而系统只有在损坏部件不多于8个时才能正常运行，求系统正常运行的概率。解：设系统部件运行正常用X表示，它服从二项分布。已知p=0.05 , n=100 , x=8,X的期望和方差分别为：E(X)=np=100*0.05=5D(X)=npq=5*(1-0.05)=4.75根据林德伯格定理，X服从参数m=5，s2=4.75的正态分布，所以系统部件正常工作的概率为:PX150. 由于未知方差s2, 选择T 检验, 已知n=9, 检验水平=0.01 ,当原假设成立条件下, 构造T变量由显著性水平=0.01, 查对应的T分布表双侧分位数,满足概率P|T|l=2= 0.02 由P|T|l= 0.02, 求出拒绝域 |T|l= 2.896。计算统计量观测值, 若落入拒绝域, 则拒绝H0，否则接受H0，统计量观测值落入拒绝域，说明接受H1 .答：这种肥料使得小麦的平均单位产量m显著增加不成立。5.20已知某种商品的销售额Y万元与广告费x万元的一组统计资料列表如表5-11：广告费x302520304040152050销售额Y470460420460500520400440560试求：（1） 在检验水平=0.05下，该种商品的销售额Y万元与广告费x万元是否具有显著线性相关关系；（2） 在它们具有显著线性相关关系情况下，该种商品的销售额Y万元对广告费x万元的回归直线方程；（3） 广告费x每增加1万元，商品销售额Y平均增加多少；（4） 当广告费x为35万元时，商品销售额Y估计为多少。解：（1）所给样本容量n=9,p=0.05，自由度m=9-2=7，则l=0.6664计算样本有关的函数值：30+25+50=270再计算：得到样本相关系数统计量r