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15 年概率论与数理统计期末考试 复习资料 王嘉达 整理 王嘉达王嘉达 整理整理 第 1 页 试卷一 2012 年 6 月 5 日 一 选择题 1 设 A B 为仸意两个事件 则 AB AB 表示 D A 必然事件 B A 与 B 恰有一个发生 C 不可能事件 D A 与 B 不同时发生 解答 按照题意 P 为 非 A B A B 非 A 非 B A 非 B 四件事同时发生的概率 而 非 A 非 B 非 A B 但 事件 A B 跟非 A B 是对立事件 不可能同时发生 所以概率为零 如果还不能理解可以用图示法 图中两个圆圈分 别表示 A 和 B 事件 其中绿色部分为 A B 剩余蓝色部分为 非 A 非 B 由图可知 A B 和 非 A 非 B 没重叠 即不同时发生 所以 P 0 2 对于仸意两个随机变量 X 与 Y 若 E XY E X E Y 则 A A D XY D X D Y B D X Y D X D Y C X 与 Y 独立 D X 与 Y 不独立 解答 D X Y COV X Y X Y COV X X 2COV X Y COV Y Y D X D Y 3 若 A 与 B 互为对立事件 则下式成立的是 B A P AB 0 B P AB P A P B C P AB P A P B D P AB 1 解答 由于 A 与 B 互为对立事件 故二者始终不同时成立 4 设事件 A 满足 0 P A 0 且 P B AP B A 则必有 B 成立 A P A BP A B B P A BP A B C P ABP A P B D P ABP A P B 解答 若独立 则由 P AB P A P B 得 P B A P AB P A P A P B P A P B P B A P A B P A P A P B P A P B 故 P B A P B A 若 P B A P B A 则 P AB P A P A B P A P B P AB 1 P A 即 P A P B P A P AB P AB P A P AB P AB P A P B 故 A 与 B 相互独立 5 常数 b C 时 1 2 1 k b pk k k 为离散型随机变量的概率分布 A 2 B 1 C 0 5 D 3 解答 要求总和为 1 因为 Pk b k k 1 b k b k 1 所以 P1 P2 b 1 b 2 b 2 b 3 1 因为 b k 1 趋近于 0 所以 b 1 6 广义平稳白噪声的相关函数为 R 则其均值和方差分别为 A 0 1 B 1 0 C 0 D 0 7 设随机变量 X 具有分布 P X k 1 5 k 1 2 3 4 5 则 E X D A 2 B 3 C 4 D 5 解答 E X 1x1 5 2x1 5 x 5x 1 5 1 2 5 5 3 A B 15 年概率论与数理统计期末考试 复习资料 王嘉达 整理 王嘉达王嘉达 整理整理 第 2 页 8 若随机信号 X t 是广义平稳随机信号 则下列关系 不成立 A E X t 常数 B R t 1 t 2 R t 2 t 1 C R t 1 t 2 R t 1 t 2 D R t 2 t 1 常数 9 设随机变量 X 的概率密度为 f x 且 f x f x F x 是 X 的分布函数 则对仸意的实数 a 有 D A F a 1 F a B F a F a C F a F a 1 D F a 2F a 1 解答 F a a f x dx a f t dt a f t dt 1 a f x dx 1 F a 10 如果随机过程 X 1 t X 2 t 正交 它们分别经过线性时不变系统 H t 后的输出为 Y 1 t Y 2 t 则 Y 1 t 与 Y 2 t 之间的关系为 A 独立 B 相关 C 不相关 D 正交 二 填空题 1 概率论是研究随机现象统计规律性的科学 2 已知 P A 0 6 P B 0 3 则 P A B 0 3 3 若 A 与 B 互为独立事件 则 P A B 1 4 某学生的书桌上放着 7 本书 其中有 3 本概率书 现随机取 2 本书 则取到的全是概率书的概率 为 1 7 5 设随机变量 X U 0 10 则 P X 4 0 6 6 设 X N u 2 则随机变量 X 的概率密度函数是 fX x 1 2 2 x u 2 2 2 7 设 X N 2 3 则数学期望 E X 2 7 解答 公式 DX E X 2 EX 2 其中 DX 3 EX 2 答案 3 4 7 8 广义平稳随机信号的相关函数为 R 则其功率谱表达式为 9 广义各态历经信号的均值 方差和相关函数仅需要 个样本就可以测量 10 对随机过程 X t 如果 Cx t1 t2 0 则我们称 X t 1 和 X t 2 是 11 对随机过程 X t 如果 fx x1 x2 t1 t2 fx x1 t2 fx x2 t2 则称随机过程在 t1和 t2时刻的状态是 12 匹配滤波器是以输出信噪比为准则的最佳线性滤波器 13 希尔伯特变换器的相频特性为 14 宽带随机过程通过窄带线性系统 其输出近似服从正态分布 补充 窄带正态噪声的包络服从瑞利分布 而相位则服从均匀分布 15 随机数参数点估计的评价标准是无偏性 有效性和一致性 15 年概率论与数理统计期末考试 复习资料 王嘉达 整理 王嘉达王嘉达 整理整理 第 3 页 三 计算题 1 寝室中有 4 人 求 1 至少有 2 人的生日同在 12 月仹的概率 2 至少有两人的生日在同一月的 概率 10 2 设随机变量 X 服从区间 0 1 上的均匀分布 在 X x 0 x1 10 3 随机过程 X t Asin 0 t Bcos 0 t 其中 为常数 A 和 B 是两个互相独立的随机变量 幵且 E A E B 0 E A 2 E B 2 2 求 X t 的数学期望 自相关函数和功率谱 15 4 已知系统的结构如图题 4 所示 输入随机信号 X t 的功率谱为 S X 求输出信号 Y t 的功率谱 S Y 15 15 年概率论与数理统计期末考试 复习资料 王嘉达 整理 王嘉达王嘉达 整理整理 第 4 页 试卷二 2010 年 5 月 20 日 一 填空题 1 概率论是研究随机现象统计规律性的科学 2 如果随机变量 X 与 Y 相互独立 则 X 与 Y 必定 相关 不相关 3 均值各态历经随机信号 一定 不一定 是广义平稳信号 4 广义各态历经信号的均值 方差和相关函数仅需要 个样本就可以测量 5 设 P A 0 4 P B 0 3 P A B 0 2 则 P AB 6 设 A B 相互独立且都不发生的概率为 0 16 又 A 发生而 B 不发生的概率与 B 发生而 A 不发生的概率相 等 则 P A 7 10 件产品中有 3 件次品 不放回地从中抽取 2 件 一次抽一件 已知第一次取到的是正品 则第二次取到 次品的概率为 8 设随机变量的分布函数为 5 10 00 x ex F x x 则的概率密度 f x 9 袋中有 5 个黑球 3 个白球 从袋中仸取 4 个球恰有 3 个白球的概率 10 设随机变量 X B 1 0 8 二项分布 则 X 的分布函数为 11 设随机变量 X 的概率密度为 13 2 0 c x f x otherwise 则常数 c 12 如果 P A 1 2 P B 1 3 且 A B 相互独立 则 P AB 13 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 的方差分别为 4 和 2 则随机变量的方差为 14 设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数 每次射中目标的概率为 0 4 则 15 设随机变量 X U 0 10 则 P X 4 二 选择题 1 设 A B 为仸意两个事件 则 AB AB 表示 D A 必然事件 B A 与 B 恰有一个发生 C 不可能事件 D A 与 B 不同时发生 解答 按照题意 P 为 非 A B A B 非 A 非 B A 非 B 四件事同时发生的概率 而 非 A 非 B 非 A B 但 事件 A B 跟非 A B 是对立事件 不可能同时发生 所以概率为零 如果还不能理解可以用图示法 图中两个圆圈分 别表示 A 和 B 事件 其中绿色部分为 A B 剩余蓝色部分为 非 A 非 B 由图可知 A B 和 非 A 非 B 没重叠 即不同时发生 所以 P 0 XX 32XY 2 E X A B 15 年概率论与数理统计期末考试 复习资料 王嘉达 整理 王嘉达王嘉达 整理整理 第 5 页 2 对于仸意两个随机变量 X 与 Y 若 E XY E X E Y 则 A A D XY D X D Y B D X Y D X D Y C X 与 Y 独立 D X 与 Y 不独立 解答 D X Y COV X Y X Y COV X X 2COV X Y COV Y Y D X D Y 3 若 A 与 B 互为对立事件 则下式成立的是 B A P AB 0 B P AB P A P B C P AB P A P B D P AB 1 解答 由于 A 与 B 互为对立事件 故二者始终不同时成立 4 设事件 A 满足 0 P A 0 且 P B AP B A 则必有 B 成立 A P A BP A B B P A BP A B C P ABP A P B D P ABP A P B 解答 若独立 则由 P AB P A P B 得 P B A P AB P A P A P B P A P B P B A P A B P A P A P B P A P B 故 P B A P B A 若 P B A P B A 则 P AB P A P A B P A P B P AB 1 P A 即 P A P B P A P AB P AB P A P AB P AB P A P B 故 A 与 B 相互独立 5 一盒有 m 2 个白球 n 个红球 随机从盒中取球 每次取 1 个 取后不放回 连续取三次 则三次均取到白 球的概率为 A 3 3 m m n C A B 3 3 m m n A C C 3 3 m m n C C D 3 1 2 m n m mm C 6 常数 b C 时 1 2 1 k b pk k k 为离散型随机变量的概率分布 A 2 B 1 C 0 5 D 3 解答 要求总和为 1 因为 Pk b k k 1 b k b k 1 所以 P1 P2 b 1 b 2 b 2 b 3 1 因为 b k 1 趋近于 0 所以 b 1 7 如果随机变量 X N 0 1 Y aX b N 2 9 则 a b 应取下面的值 A a 2 b 3 B a 2 b 2 C a 3 b 2 D a 3 b 3 8 设随机变量 X 与 Y 独立同分布 记 U X Y V X Y 则随机变量 U 与 V 必然 A 独立 B 不独立 C 相关系数不为零 D 相关系数为零 9 广义平稳白噪声的相关函数为 R 则其均值和方差分别为 A 0 1 B 1 0 C 0 D 0 10 设随机变量 X 具有分布 P X k 1 5 k 1 2 3 4 5 则 E X D A 2 B 3 C 4 D 5 解答 E X 1x1 5 2x1 5 x 5x 1 5 1 2 5 5 3 15 年概率论与数理统计期末考试 复习资料 王嘉达 整理 王嘉达王嘉达 整理整理 第 6 页 三 简答题 15 10 15 1 3 个不同的球 随机投入编号为 1 2 3 4 的盒中 X 表示有球盒的最小号码 求 X 的分布律 均值和方差 X 4 P X 4 1 4 3 球全在 4 号盒 X 3 P X 3 7 4 3 表示第 1 2 号是空的 第 3 只至少有一只球 先算 1 2 号是空的 减去 1 2 3 号是空的情况 X 2 P X 2 19 4 3 一号盒空