概率统计复习1和复习2.doc

1. 袋中有个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设取得球的号码是偶数，取得球的号码是奇数，取得球的号码小于5，问下列运算表示什么事件：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).解 (1) 是必然事件； (2) 是不可能事件； (3) 取得球的号码是2，4； (4) 取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10； (5) 取得球的号码为奇数，且不小于5取得球的号码为5，7，9； (6) 取得球的号码是不小于5的偶数取得球的号码为6，8，10； (7) 取得球的号码是不小于5的偶数=取得球的号码为6，8，102. 用事件的运算关系式表示下列事件： (1) 出现，都不出现（记为）； (2) 都出现，不出现（记为）； (3) 所有三个事件都出现（记为）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为）； (5) 三个事件都不出现（记为）； (6) 不多于一个事件出现（记为）； (7) 不多于两个事件出现（记为）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为）。 解 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8).3. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设表示事件“第次抽到废品”，试用表示下列事件：(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品；(2) 只有第一次抽到废品；(3) 三次都抽到废品；(4) 至少有一次抽到合格品；解 (1)； (2)； (3)； (4) 4. 接连进行三次射击，设=第次射击命中，三次射击恰好命中二次，三次射击至少命中二次；试用表示和。解 5从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。解 这是不放回抽取，样本点总数，记求概率的事件为，则有利于的样本点数. 于是6一口袋中有5个红球及2个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求(1) 第一次、第二次都取到红球的概率；(2) 第一次取到红球，第二次取到白球的概率；(3) 二次取得的球为红、白各一的概率；(4) 第二次取到红球的概率。解 本题是有放回抽取模式，样本点总数. 记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为.(1)有利于的样本点数，故 (2) 有利于的样本点数，故 (3) 有利于的样本点数，故 (4) 有利于的样本点数，故 .7一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6，随机地从这个口袋中取2只球，试求：(1) 最小号码是3的概率；(2) 最大号码是3的概率。解 本题是无放回模式，样本点总数.(1) 最小号码为3，只能从编号为3，4，5，6这四个球中取2只，且有一次抽到3，因而有利样本点数为，所求概率为 .(2) 最大号码为3，只能从1，2，3号球中取，且有一次取到3，于是有利样本点数为，所求概率为 .8一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样，接连取2次，每次取1只，试求下列事件的概率：(1) 2只都合格；(2) 1只合格，1只不合格；(3) 至少有1只合格。解 分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为，则注意到，且与互斥，因而由概率的可加性知 9掷两颗骰子，求下列事件的概率：(1) 点数之和为7；(2) 点数之和不超过5；(3) 点数之和为偶数。解 分别记题(1)、(2)、(3)的事件为,样本点总数(1)含样本点,(1,6),(6,1),(3,4),(4,3)(2)含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2) (3)含样本点(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共18个样本点。 10把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8人，试求这三名学生住不同宿舍的概率。解 记求概率的事件为，样本点总数为，而有利的样本点数为，所以 .11总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求下列事件的概率：(1) 事件：“其中恰有一位精通英语”；(2) 事件：“其中恰有二位精通英语”；(3) 事件：“其中有人精通英语”。解 样本点总数为(1) ；(2) ；(3) 因，且与互斥，因而 .12设一质点一定落在平面内由轴、轴及直线所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，计算这质点落在直线的左边的概率。解 记求概率的事件为，则为图中阴影部分，而，最后由几何概型的概率计算公式可得111/3图2.3.13已知，求(1),；(2)；(3)；(4)；(5).解 (1)，；(2)；(3)；(4), ;(5)14设是两个事件，已知，试求及解 注意到 ，因而 . 于是， ；.15已知随机事件的概率，随机事件的概率，条件概率，试求及.解 16一批零件共100个，次品率为10%，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正品的概率。解 .17某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19(1) 已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？(2) 已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？解 记基金，股票，则(1) (2) .18有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，若坐火车，迟到的概率是0.25，若坐船，迟到的概率是0.3，若坐汽车，迟到的概率是0.1，若坐飞机则不会迟到。求他最后可能迟到的概率。解 迟到，坐火车，坐船，坐汽车，乘飞机，则 ，且按题意，.由全概率公式有： 19已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。求下列事件的概率：(1) 随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球；(2) 合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。解 (1) 记该球是红球，取自甲袋，取自乙袋，已知，所以(2) 20某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量分别占全厂的25%，35%，40%，各车间产品的次品率分别为5%，4%，2%，求该厂产品的次品率。解 21设某工厂有三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的25%，35%，40%，各个车间成品中次品的百分比分别为5%，4%，2%，如从该厂产品中抽取一件，得到的是次品，求它依次是车间生产的概率。解 为方便计，记事件为车间生产的产品，事件次品，因此 22设与独立，且，求下列事件的概率：，.解 23已知独立，且，求.解 因，由独立性有从而 导致 再由 ，有 所以 。最后得到 24甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3，1/2，2/3，求目标被命中的概率。解 记 命中目标，甲命中，乙命中，丙命中，则 ，因而25假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生3次故障的概率。解 .26灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。解 .27设在三次独立试验中，事件出现的概率相等，若已知至少出现一次的概率等于19/27，求事件在每次试验中出现的概率.解 记在第次试验中出现， 依假设 所以， ， 此即 .28加工一零件共需经过3道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%. 假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。解 注意到，加工零件为次品，当且仅当1-3道工序中至少有一道出现次品。记 第道工序为次品， 则次品率 29三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25，0.35，0.4. 求此密码被译出的概率。解 记 译出密码， 第人译出， 则30将一枚均匀硬币连续独立抛掷10次，恰有5次出现正面的概率是多少？有4次至6次出现正面的概率是多少？解 (1) ； (2) .31某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻，各电梯正在运行的概率均为0.75，求：(1) 在此时刻至少有1台电梯在运行的概率；(2) 在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率；(3) 在此时刻所有电梯都在运行的概率。解 (1) (2) (3) 1. 下列给出的数列，哪些是随机变量的分布律，并说明理由。（1）；（2）；（3）；（4）。解 要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证是否满足下列二个条件：其一条件为，其二条件为。依据上面的说明可得（1）中的数列为随机变量的分布律；（2）中的数列不是随机变量的分布律，因为；（3）中的数列为随机变量的分布律；（4）中的数列不是随机变量的分布律，这是因为。2. 试确定常数，使成为某个随机变量X的分布律，并求：；。解 要使成为某个随机变量的分布律，必须有，由此解得；（2） （3）。3. 一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的数字。从这袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X的分布律与分布函数。解 X可能取的值为-3，1，2，且，即X的分布律为X-312概率X的分布函数 0 = 1 4. 在相同条件下独立地进行5次射击，每次射击时击中目标的概率为0.6，求击中目标的次数X的分布律。解 依题意X服从参数的二项分布，因此，其分布律，具体计算后可得X012345概率6. 设随机变量，已知，求与的值。解 由于，因此。由此可算得 即 解得；此时，。7. 某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量X服从参数的泊松分布，问在月初进货时，要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要？解 设至少要进件物品，由题意应满足即 查泊松分布表可求得 。8. 有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001，在某天该段时间内有1000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率。解 设X为1000辆汽车中出事故的次数，依题意，X服从的二项分布，即，由于较大，较小，因此也可以近似地认为X服从的泊松分布，即，所求概率为9. 设随机变量X的密度函数为 ， 0， 其他，试求：（1）常数；（2）X的分布函数。解 （1）成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件，其一为；其二为，因此有，解得，其中舍去，即取。（2）分布函数 = = 10. 设随机变量X的密度函数为，求：（1）系数；（2）；（3）X的分布函数。解 （1）系数必须满足，由于为偶函数，所以解得；（2）；（3） = = = = 11. 设随机变量X在上服从均匀分布，求方程有实根的概率。解 X的密度函数为 ； 其他.方程有实根的充分必要条件为，即，因此所求得概率为。 12. 设某药品的有效期X以天计，其概率密度为 ; 0， 其他.求：(1) X的分布函数；(2) 至少有200天有效期的概率。解 (1) = = (2) 。 13. 设随机变量X的分布函数为 求X的密度函数，并计算和。解 由分布函数与密度函数的关系，可得在的一切连续点处有，因此 所求概率；。 14. 设随机变量X的分布函数为，求(1) 常数；(2)；(3) 随机变量X的密度函数。解：(1)要使成为随机变量X的分布函数，必须满足，即 计算后得 解得 另外，可验证当时，也满足分布函数其余的几条性质。（2） （3）X的密度函数。 15. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（单位：min）服从的指数分布，其密度函数为 ，某顾客在窗口等待服务，若超过10min，他就离开。（1）设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率；（2）设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到服务的概率。解 （1）设随机变量X表示某顾客在银行的窗口等待服务的时间，依题意X服从的指数分布，且顾客等待时间超过10min就离开，因此，顾客未等到服务就离开的概率为；（2）设Y表示某顾客五次去银行未等到服务的次数，则Y服从的二项分布，所求概率为16. 设X服从，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。解 查正态分布表可得（1）；（2）；（3）；（4） （5）。17. 设X服从，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。解 当时，借助于该性质，再查标准正态分布函数表可求得（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。18. 某厂生产的滚珠直径服从正态分布，合格品的规格规定为，求该厂滚珠的合格率。解 所求得概率为19. 某人上班所需的时间（单位：min）已知上班时间为8：30，他每天7：50出门，求：（1）某天迟到的概率；（2）一周（以5天计）最多迟到一次的概率。解 （1）由题意知某人路上所花时间超过40分钟，他就迟到了，因此所求概率为；（2）记Y为5天中某人迟到的次数，则Y服从的二项分布，5天中最多迟到一次的概率为。20. 二维随机变量只能取下列数组中的值：，且取这些组值的概率依次为，求这二维随机变量的分布律。解 由题意可得的联合分布律为XY01-1000020021. 一口袋中有四个球，它们依次标有数字。从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球。设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同。以X、Y分别记第一、二次取到的球上标有的数字，求的分布律及。解 X可能的取值为，Y可能的取值为，相应的，其概率为或写成XY12310230。22. 箱子中装有10件产品，其中2件为次品，每次从箱子中任取一件产品，共取2次，定义随机变量X、Y如下：X= 0， 若第一次取出正品； Y= 0， 若第二次取出正品； 1， 若第一次取出次品； 1， 若第二次取出次品。分别就下面两种情况求出二维随机变量的联合分布律：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。解 （1）在放回抽样时，X可能取的值为，Y可能取的值也为，且或写成 XY0101（2）在无放回情形下，X、Y可能取的值也为0或1，但取相应值的概率与有放回情形下不一样，具体为或写成XY010123. 求在D上服从均匀分布的随机变量的密度函数及分布函数，其中D为x轴、y轴及直线围成的三角形区域。解 区域D见图5.2。易算得D的面积为，所以的密度函数y1-1 0 1 x 的分布函数当或时，； 当时, ； 图5.2当时，；当时，；当时，综合有 24. 设X、Y相互独立且分别具有下列的分布律：X-2-100.5Y-0.513概率概率写出表示的分布律的表格。解 由于X与Y相互独立，因此例如其余的联合概率可同样算得，具体结果为XY-0.513-2-100.525. 设X与Y是相互独立的随机变量，X服从上的均匀分布，Y服从参数为5的指数分布，求的联合密度函数及。解. 由均匀分布的定义知 由指数分布的定义知 因为X与Y独立，易得的联合密度函数 y 0.2 x 图5.3概率，其中区域见图5.3，经计算有。 26. 设二维随机变量的联合密度函数为 求：（1）系数；（2）；（3）证明X与Y