湖南省衡阳一中高二数学上学期期中试题 理（含解析）.doc

2015-2016学年湖南省衡阳一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共60分）1设集合p=xr|x2，m=xr|xa，ar，则“a=1”是“pm”的( )a必要不充分条件b充要条件c既不充分也不必要条件d充分不必要条件2已知an是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=( )ab2c2d3命题“存在xz使x2+2x+m0”的否定是( )a存在xz使x2+2x+m0b不存在xz使x2+2x+m0c对任意xz使x2+2x+m0d对任意xz使x2+2x+m04如果ab，给出下列不等式：（1）；（2）a3b3；（3）a2+1b2+1；（4）2a2b其中成立的不等式有( )a（3）（4）b（2）（3）c（2）（4）d（1）（3）5已知abc，内角a、b、c的对边分别是a，b，c，a=，b=，b=60，则a等于( )a45b30c45或135d30或1506已知（3，1）和（4，6）在直线3x2y+a=0的两侧，则a的取值范围是( )aa1或a24ba=7或a=24c7a24d24a77在等差数列an中，已知a1，a4为方程2x25x+2=0的两根，则a2+a3=( )a1b5cd8不等式（x+5）（32x）6的解集是( )ax|x1bx|1xcx|x或x1dx|x1或x9已知数列an的首项a1=1，且an=2an1+1（n2），则a5为( )a7b15c30d3110若不等式x2+ax+10对一切成立，则a的最小值为( )a0b2cd311某游轮在a处看灯塔b在a的北偏东75，距离为12海里，灯塔c在a的北偏西30，距离为8海里，游轮由a向正北方向航行到d处时再看灯塔b在南偏东60则c与d的距离为( )a20海里b8海里c23海里d24海里12如图，点p为abc的外心，且，则等于( )a2b4c6d8二、填空题（每小题5分，共20分）13不等式的解集为_14若数列an满足：a1=2，an+m=aman（m，nn+），则数列an的通项公式an=_15设x、yr+且=1，则x+y的最小值为_16设a1，a2，an是各项不为零的n（n4）项等差数列，且公差d0将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列（1）若n=4，则=_；（2）所有数对（n，）所组成的集合为_三、解答题：（共70分）17已知等比数列an各项均为正数，且a1，a3，a2成等差数列，求的值18在abc中，（a+b+c）（a+bc）=3ab，且acosb=bcosa，试判断abc的形状19若，（1）画出不等式组所表示的平面区域，并求出该区域的面积；（2）求目标函数z=x+2y的取值范围20已知abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosb=（）若b=4，求sina的值； （） 若abc的面积sabc=4求b，c的值21已知a0且a1，设命题p：函数f（x）=2|x|a在xr内有两个零点，命题q：不等式|x2|x+3|4a2+12a100对一切实数xr恒成立，如果“pq”为真，且“pq”为假，求a的取值范围22已知：数列an的前n项和为sn，满足sn=2an2n（nn*）（1）证明数列an+2是等比数列并求数列an的通项公式an；（2）若数列bn满足bn=log2（an+2），设tn为数列的前n项和，对一切nn*都有tnk，求最小正整数k2015-2016学年湖南省衡阳一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共60分）1设集合p=xr|x2，m=xr|xa，ar，则“a=1”是“pm”的( )a必要不充分条件b充要条件c既不充分也不必要条件d充分不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】计算题【分析】由a=1，可得p=xr|x2，m=xr|x1，pm；由pm，则a2，可判断【解答】解：若a=1，p=xr|x2，m=xr|x1此时pm若pm，则a2，但是不一定是1故“a=1”是“pm”充分不必要条件故选d【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断，要注意与集合的包含关系的相互转化关系的应用2已知an是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=( )ab2c2d【考点】等比数列【专题】等差数列与等比数列【分析】根据等比数列所给的两项，写出两者的关系，第五项等于第二项与公比的三次方的乘积，代入数字，求出公比的三次方，开方即可得到结果【解答】解：an是等比数列，a2=2，a5=，设出等比数列的公比是q，a5=a2q3，=，q=，故选：d【点评】本题考查等比数列的基本量之间的关系，若已知等比数列的两项，则等比数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解3命题“存在xz使x2+2x+m0”的否定是( )a存在xz使x2+2x+m0b不存在xz使x2+2x+m0c对任意xz使x2+2x+m0d对任意xz使x2+2x+m0【考点】命题的否定【分析】根据命题“存在xz使x2+2x+m0”是特称命题，其否定命题是全称命题，将“存在”改为“任意的”，“改为“”可得答案【解答】解：命题“存在xz使x2+2x+m0”是特称命题否定命题为：对任意xz使x2+2x+m0故选d【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的转化注意：全称命题的否定是特称命题4如果ab，给出下列不等式：（1）；（2）a3b3；（3）a2+1b2+1；（4）2a2b其中成立的不等式有( )a（3）（4）b（2）（3）c（2）（4）d（1）（3）【考点】不等式的基本性质【专题】不等式的解法及应用【分析】（1）取a=2，b=1，满足ab，但是不成立；（2）利用函数f（x）=x3在r上单调递增即可得出；（3）取a=1，b=2，满足ab，但是a2+1b2+1不成立；（4）利用指数函数f（x）=2x在r上单调递增即可得出【解答】解：（1）取a=2，b=1，满足ab，但是不成立；（2）利用函数f（x）=x3在r上单调递增可得：a3b3；（3）取a=1，b=2，满足ab，但是a2+1b2+1不成立；（4）利用指数函数f（x）=2x在r上单调递增可得：2a2b其中成立的不等式有（2）（4）故选：c【点评】本题考查了指数函数、幂函数的单调性、不等式的性质，属于基础题5已知abc，内角a、b、c的对边分别是a，b，c，a=，b=，b=60，则a等于( )a45b30c45或135d30或150【考点】正弦定理【专题】解三角形【分析】根据正弦定理，代入题中数据算出sina=，结合ab得ab，可得a=45，得到本题答案【解答】解：abc中，a=，b=，b=60由正弦定理，得sina=a（0，180），aba=45或135，结合ab可得a=45故选：a【点评】本题给出三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角着重考查了利用正弦定理解三角形的知识，属于基础题6已知（3，1）和（4，6）在直线3x2y+a=0的两侧，则a的取值范围是( )aa1或a24ba=7或a=24c7a24d24a7【考点】二元一次不等式（组）与平面区域【专题】计算题；转化思想【分析】将两点坐标分别代入直线方程中，只要异号即可【解答】解：因为（3，1）和（4，6）在直线3x2y+a=0的两侧，所以有（3321+a）0，解得7a24故选c【点评】本题考查线性规划知识的应用一条直线把整个坐标平面分成了三部分，让其大于0的点，让其大于0的点以及让其小于0的点7在等差数列an中，已知a1，a4为方程2x25x+2=0的两根，则a2+a3=( )a1b5cd【考点】等差数列的性质；等差数列的通项公式【专题】计算题；方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】利用一元二次方程根与系数关系结合等差数列的性质得答案【解答】解：a1，a4为方程2x25x+2=0的两根，a1+a4 =，由数列an为等差数列，a2+a3=a1+a4 =，故选：d【点评】本题考查等差数列的性质，训练了一元二次方程根与系数关系的应用，是基础题8不等式（x+5）（32x）6的解集是( )ax|x1bx|1xcx|x或x1dx|x1或x【考点】一元二次不等式的解法【专题】方程思想；综合法；不等式的解法及应用【分析】把不等式化为一般形式，求出它的解集即可【解答】解：不等式（x+5）（32x）6可化为2x2+7x90，即（x+1）（2x9）0；解这个不等式，得1x，该不等式的解集是x|1x故选：b【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目9已知数列an的首项a1=1，且an=2an1+1（n2），则a5为( )a7b15c30d31【考点】数列递推式【专题】计算题【分析】（法一）利用已递推关系把n=1，n=2，n=3，n=4，n=5分别代入进行求解即可求解（法二）利用迭代可得a5=2a4+1=2（a3+1）+1=进行求解（法三）构造可得an+1=2（an1+1），从而可得数列an+1是以2为首项，以2为等比数列，可先求an+1，进而可求an，把n=5代入可求【解答】解：（法一）an=2an1+1，a1=1a2=2a1+1=3a3=2a2+1=7a4=2a3+1=15a5=2a4+1=31（法二）an=2an1+1a5=2a4+1=4a3+3=8a2+7=16a1+15=31（法三）an+1=2（an1+1）a1+1=2an+1是以2为首项，以2为等比数列an+1=22n1=2nan=2n1a5=251=31故选：d【点评】本题主要考查了利用数列的递推关系求解数列的项，注意本题解法中的一些常见的数列的通项的求解：迭代的方法即构造等比（等差）数列的方法求解，尤其注意解法三中的构造等比数列的方法的应用10若不等式x2+ax+10对一切成立，则a的最小值为( )a0b2cd3【考点】一元二次不等式与二次函数【专题】不等式的解法及应用【分析】令f（x）=x2+ax+1，要使得f（x）0在区间（0，）恒成立，只要f（x）在区间（0，）上的最小值大于等于0即可得到答案【解答】解：设f（x）=x2+ax+1，则对称轴为x=若，即a1时，则f（x）在0，上是减函数，应有f（）0a1若0，即a0时，则f（x）在0，上是增函数，应有f（0）=10恒成立，故a0若0，即1a0，则应有f（）=恒成立，故1a0综上，有a故选：c【点评】本题主要考查一元二次函数求最值的问题一元二次函数的最值是高考中必考内容，要注意一元二次函数的开口方向、对称轴、端点值11某游轮在a处看灯塔b在a的北偏东75，距离为12海里，灯塔c在a的北偏西30，距离为8海里，游轮由a向正北方向航行到d处时再看灯塔b在南偏东60则c与d的距离为( )a20海里b8海里c23海里d24海里【考点】解三角形的实际应用【专题】应用题；转化思想；数形结合法；解三角形【分析】利用方位角求出b的大小，利用正弦定理直接求解ad的距离，直接利用余弦定理求出cd的距离即可【解答】解：如图，在abd中，因为在a处看灯塔b在货轮的北偏东75的方向上，距离为海里，货轮由a处向正北航行到d处时，再看灯塔b在南偏东60方向上，所以b=1807560=45，由正弦定理，所以ad=24海里；在acd中，ad=24，ac=8，cad=30，由余弦定理可得：cd2=ad2+ac22adaccos30=242+（8）22248=192，所以cd=8海里；故选：b【点评】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，注意方位角的应用，考查计算能力属于中档题12如图，点p为abc的外心，且，则等于( )a2b4c6d8【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】根据向量数量积的公式，结合三角形外心的性质可得可得=8，同理可得=2，利用向量数量积运算法则计算即可【解答】解：作pdac于d，则p为abc的外心，可得=8同理可得=2=6故选c【点评】本题在三角形中给出外心，求向量数量积的式子着重考查了三角形的外心的性质、向量数量积的定义与运算性质等知识，属于中档题二、填空题（每小题5分，共20分）13不等式的解集为x|【考点】一元二次不等式的解法【专题】不等式的解法及应用【分析】先将不等式右边化成0即移项通分，然后转化成正式不等式，由此解得此不等式的解集，特别注意分母不为0【解答】解：不等式的解集可转化成即等价于解得：故不等式的解集为x|故答案为：x|【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题14若数列an满足：a1=2，an+m=aman（m，nn+），则数列an的通项公式an=2n【考点】数列递推式【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】利用赋特殊值法：可令an=2n，满足条件am+n=aman，且a1=2，即可得到数列an的通项公式【解答】解：由已知am+n=aman，可知数列an的通项公式符合指数函数模型，即，又a1=2，可得an=2n，即数列an是以2为首项，2为公比的等比数列，an=2n 故答案为：2n【点评】本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，是基础题15设x、yr+且=1，则x+y的最小值为16【考点】基本不等式【专题】计算题【分析】将x、yr+且=1，代入x+y=（x+y）（），展开后应用基本不等式即可【解答】解：=1，x、yr+，x+y=（x+y）（）=10+10+2=16（当且仅当，x=4，y=12时取“=”）故答案为：16【点评】本题考查基本不等式，着重考查学生整体代入的思想及应用基本不等式的能力，属于中档题16设a1，a2，an是各项不为零的n（n4）项等差数列，且公差d0将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列（1）若n=4，则=4，1；（2）所有数对（n，）所组成的集合为（4，4），（4，1）【考点】等差数列与等比数列的综合【专题】综合题；压轴题【分析】（1）当n=4时，a1，a2，a3，a4中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项不可能成等比数列，再考虑分别删去a2，a3，即可得到结论；（2）设出数列的公差d，列举出数列的各项，讨论从第一项开始删去，由得到的数列为等比数列，利用等比数列的性质，列出关于d与首项的方程，求出方程的解即可得到d的值，根据d不为0，得到满足题意的d的值，即可求出满足题意的所有数对，组成集合的形式即可【解答】解：（1）当n=4时，a1，a2，a3，a4中不可能删去首项或末项，否则由连续三项成等比数列，可推出d=0若删去a2，则a32=a1a4，即（a1+2d）2=a1（a1+3d）化简得a1+4d=0，得=4若删去a3，则a22=a1a4，即（a1+d）2=a1（a1+3d）化简得a1d=0，得=1综上，得=4或=1（2）设数列an的公差为d，则各项分别为：a1，a1+d，a1+2d，a1+（n1）d，且a10，d0，假设去掉第一项，则有（a1+d）（a1+3d）=（a1+2d）2，解得d=0，不合题意；去掉第二项，有a1（a1+3d）=（a1+2d）2，化简得：4d2+a1d=0即d（4d+a1）=0，解得d=a1，因为数列的各项不为零，所以数列不会出现第五项（a1+4d=0），所以数对（n，）=（4，4）；去掉第三项，有a1（a1+3d）=（a1+d）2，化简得：d2a1d=0即d（da1）=0，解得d=a1，则此数列为：a，2a，3a，4a，此数列仍然不会出现第五项，因为出现第五项，数列不为等比数列，所以数对（n，）=（4，1）；去掉第四项时，有a1（a1+2d）=（a1+d）2，化简得：d=0，不合题意；当去掉第五项或更远的项时，必然出现上述去掉第一项和第四项时的情况，即d=0，不合题意所以满足题意的数对有两个，组成的集合为（4，4），（4，1）故答案为：4，1；（4，4），（4，1）【点评】本题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，是一道难题三、解答题：（共70分）17已知等比数列an各项均为正数，且a1，a3，a2成等差数列，求的值【考点】等比数列的通项公式【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】由题意可得公比q的方程，解方程得q求倒数可得答案【解答】解：由题意设等比数列an的公比为q，则q0，a1，a3，a2成等差数列，a3=a1+a2，a1q2=a1+a1q，即q2q1=0，解得q=，=【点评】本题考查等比数列的通项公式，求出数列的公比是解决问题的关键，属基础题18在abc中，（a+b+c）（a+bc）=3ab，且acosb=bcosa，试判断abc的形状【考点】余弦定理；正弦定理【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】已知等式利用正弦定理化简，变形后利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到ab=0，即a=b，又整理已知等式可得：a2+b2c2=ab，由余弦定理可求cosc，结合范围c（0，），可解得c，即可确定出三角形形状【解答】解：利用正弦定理化简bcosa=acosb得：sinbcosa=sinacosb，sinacosbcosasinb=sin（ab）=0，ab=0，即a=b，又（a+b+c）（a+bc）=3ab，可得：（a+b）2c2=3ab，整理可得：a2+b2c2=ab，由余弦定理可得：cosc=，由c（0，），可得：c=，可得：a=b=c=则三角形形状为等边三角形【点评】此题考查了正弦定理，余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及等边三角形的判定，熟练掌握定理及公式是解本题的关键19若，（1）画出不等式组所表示的平面区域，并求出该区域的面积；（2）求目标函数z=x+2y的取值范围【考点】简单线性规划【专题】计算题；作图题；不等式的解法及应用【分析】（1）作不等式组表示的平面区域，从而求直角三角形的面积；（2）化目标函数z=x+2y为y=x+z；从而求最值，再确定取值范围即可【解答】解：（1）作不等式组表示的平面区域如下，s=22=2；（2）化目标函数z=x+2y为y=x+z；故过点（2，0）时，z有最小值2，过点（2，2）时，z有最大值2+22=6；故目标函数z=x+2y的取值范围为【点评】本题考查了数形结合的思想应用，简单线性规划问题的解答方法，注意化成斜截式即可20已知abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosb=（）若b=4，求sina的值； （） 若abc的面积sabc=4求b，c