解二元一次方程组.doc

4.3解二元一次方程组（1） 教学内容分析：本节课是在学生已具备的知识基础二元一次方程的解与二元一次方程组的解的概念，而如何求出二元一次方程组的解，是学生最关心的、最迫切想知道的。本课要解决的就是让学生掌握用代入法解二元一次方程组，体验数学的化归思想。求二元一次方程的解是学生必须掌握的技能，也为下面利用二元一次方程组解应用题打下基础。教学目标：1、解解二元一次方程组的“消元”思想，体会学习数学中的“化未知为已知”，“化复杂为简单”的化归思想。2、了解代入法的概念，掌握代入法的基本步骤。3、会用代入法求二元一次方程组的解。教学重点、难点：重点是了解代入法的一般步骤，会用代入法解二元一次方程，难点是对代入消元法解方程组过程的理解及例2中当方程组设有一个字每系数为1（或1）时，如何用一个未知数代替另一个未知数。教学准备：多媒体动画显示梨换成苹果与砝码的过程（也可用投影片抽拉，或实物演示）教学过程：用我国一个古代问题作为情景引入，既激发学生的求知欲，也体现了人文精神。用多媒体（或投影片抽拉），能让学生直观地看出“消元”的过程能让学生深刻地体验到转化的过程，展示了“直观教学”的优势。一、创设情景，引出课题1、看课文的节前语，提出一个中国古代的问题，今有鸡兔同笼、上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几头？根据学生列出的方程组问：如何求它的解？2、引出课题：4.3解二元一次方程组二、直观显示，体验转化1、用多媒体（或投影片抽拉或实物演示）显示用（y）代替苹果和砝码（x10）把方程组中的二元转化为一元的过程。2、合作学习，求出x、y的值。3、让学生谈谈如何求二元一次方程组的解。4、归纳：解二元一次方程组的基本思路是“消元”即二元一元，用“代入”的方法进行“消元”，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。三、学习新知，形成体系用动画（或投影片抽拉）显示方程中的（y1）代替方程中的x的过程：进一步让学生体会“消元”是如何进行的。要求学生口头检验其方程组的解，能培养学生良好的学习习惯与思维品质。这一组练习是刚刚学习的代入法的应用，讲解时可指出2xy2中如何用一个未知数表示另一个未知数。用x表示y，还是用y表示x，应让学生思考、体会，然后选择。把和用彩笔代替，抓住了本节课的重点与难点，从例1到例2是一个从易到难的过程，体现了循序渐进的教学原则。2y3x=1 1、典例讲解：例1，解方程组xy1先让学生议论：如何用代入法解方程组？师归纳：关键是把“二元”“一元”，用y1代替x代入式中的x（可以动画显示y1代替x的过程）解：把代入，得2y3(y1)12y3y31（求得y后，让学生讨论：如何求x，代入还是代入简便?）把y2代入，得x211方程组的解是注意：把2y-3(y-1)1中的（y1），x211中的2用彩色粉笔处理。问：且不是原方程的解，应如何检验？生：把解代入方程组。师：解方程组与解方程一样，要养成口头检验的良好习惯。2、做一做，P94做一做（1），（2）。2y7x=8 3、典例讲解：例2，解方程组3x8y100问：方程组的两个方程中未知数系数都不是1（或1）如何实现用一个未知数表示另一个未知数。生：（或）师指出：一般选择系数相对较小的未知数，用另一个未知数的代数式表示，这样代入后能使计算简便。解：由得2x87y，即把代入得这里的合作学习，让学生充分观察、讨论，然后自觉地归纳出步骤，比教师一步一步地解析给学生听，要好得多，能让学生完成知识的自我建构。这里的练习，教师要及时发现学生的错误，选取一些典型性的错误，及时提出。自主归纳，能有效地让学生把新知纳入自己的知识结构，当然，教师的强调、补充、修正是必不可少的。（讨论：求x的值时，把代入方程中都可，代入哪个方程比较简便？）把代入，得方程组的解是4、合作学习：观察刚才用代入法解方程组的过程，用代入法解二元一次方程组的一般步骤怎样？归纳：用代入消解二元一次方程组的一般步骤是：（投影显示，师用彩色粉笔在例2的解题过程中标上序号）。（1）将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数用能含有另一个未知数的代数式表示。（2）用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值。（3）把这个未知数的值代入代数式，求得另一个未知数的值。（4）写出方程组的解。5、做一做，P95，课内练习（1）（4）。投影显示学生解题过程。根据学生练习中存在的问题指出：用一个未知数表示另一个未知数要注意移项变号，得一元一次方程后，要注意去分母、去括号、移项等出现的错误。6、解决本节课开头提出的问题。四、归纳小结，充实结构问：这节课同学们有什么收获？可以围绕以下几个问题讨论：1、解二元一次方程组的基本思想是“消元”即消去一个未知数。2、代入法的一般步骤。3、养成口头检验的良好习惯。4、在解题过程中，常会出现什么错误？五、布置作业教科书P95作业题、作业本，或根据学生的实际情况，从下列的各选题中选做。备选例题解方程组如果学生基础好，解题能力强，那么可选取一些题让学生“吃饱”如例1可用多种方法解题，如果学生错误较多，可用练习（1）进行防练习2、3两题是针对作业题与第5题的设计的。2x3y=7备选练习：1、用代入解方程组 时，消去x数，得到y的3x+2y4 一元一次方程。正确的是（）A、3（73y）+2y=4 B、C、 D、2、解方程组：（1）（2）3、已知二元一次方程组的两个解为和求a、b的值设计说明：1、本教案是按：“问题情境直观体验归纳总结应用提高”这模式呈现教学内容的。符合学生的认知规律与学习规律。2、本节课的重点是让学生学会“代入消元”，体验化归，本节课运用了多种手段，如直观演示、合作讨论、及时归纳等，意在把课堂交给学生，成为学习的主体，这些手段也有助于学生知识体系的自主构建，达到课堂教学效果的优化。4.3解二元一次方程组（2） 教学内容分析：通过上节课的学习，学生已体验到解二元一次方程组的基本思路是消元，可以通过代入法来达到消元的目的，但也发现当方程组的两个方程中没有字母的系数为1（或1）时，用一个未知数的代数或表示另一个未知数代入另一个数，计算比较麻烦，这样本节课的加减消元法可使消元的手段变得简单，本节课要使学生掌握用加减法解二元一次方程组。这样学生解二元一次方程组的技能已形成，为下面解应用题，为后来的解二元一次方程组打下基础。教学目标：1、体会加减消元法形成的思路。设计说明本题既对上节课的复习，也是本节课的引例，起着承上启下的作用。要及时鼓励学生的求异思维与造新思维，激发学生的学习热情。要让学生理解加减法，不是件容易的事，通过实物或多媒体能给学生以直观的形象，把形象思维与抽象思维有机结合，避免了学生机械的模仿。2、了解加减消元法解二元一次方程组一般步骤。3、掌握用加减法解二元一次方程组。4、初步形成用便捷的消元法（即加减法和代入法）来解题。教学重点、难点：重点是了解加减法的一般步骤，会用加减法解二元一次方程。难点是如例4那样没有未知数的系数相同（或相反数），要通过将一个（或两个）方程乘以一个常数以达到未知数系数相同（或相反）。教学准备：多媒体动画显示拿掉“正方形”和“圆柱体”天平仍平衡的过程（或投影片抽拉或实物演示）。教学过程：一、复习旧知练习引入1、你是如何用代入法解二元一次方程组的？ 2x+3y=1002、解方程组 4x+3y=130投影显示学生的解题过程，对把（1002x）作为3y整体代入的同学要及时表扬与激励。二、直观显示体验转化1、同多媒体（投影片抽拉或实物）显示天平的一边拿掉2个小立方体和3个小圆柱，右边拿掉100克的砝码，天平仍显示平衡。2、合作学习：如何使方程组达到消元的目的。3、让学生发表对解本题的体会（方法的不同；比较两种解法哪个更便捷）。4、归纳：通过将方程组中的两个方程相加式相减，消去其中的一个未知数，转化为一元一次方程，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法（简称加减法）。三、学习新知自主建构加减法的具体实施，开始阶段让学生掌握这种打“抄稿”的形式，能减少学生计算的错误。把代哪条方程，可以让学生多去尝试，然后体会代入系数绝对值较小的方程中比较便捷。本例题的教学要注意与学生的互动，让学生去尝试、体验，能让学生完成知识的自我构建。这种错误是学生最容易发生的，教学中一定要强调。让学生合作讨论得出，能让学生“意会”就行。2s+3t21、典例选讲例3，解方程组2s6t1先让学生观察讨论：如何使用加减法，然后学生发表意见，师在黑板上演算：解：得9t3t把t代入，（代入可以吗？），得方程组的解是2、做一做，P97的做一做3、归纳：将两方程相加还是相减看什么？（相同字母数相同用减法，相同字母系数相反用加法）。3x2y114、典例选讲：例4，解方程组2x3y16先让学生观察，然后问：本题与上面刚刚所做的二道题有什么区别？应用什么方法来解？（如果学生有回答用代入法来解，可以让学生先动手用代入法来解一解，再问：本题能否用加减法？如何使x或y的系数变为相等或相反？）解：3，得，9x6y332，得，4x6y32，得，13x65x5把x5代入，得352y11解得y2归纳：方程变形时，要乘以相同字母的最小公倍数；方程左边乘以某一个常数时，不能忘了右边的常数也要乘。变式：本题如果消去x，那么如何将方程变形？5、学生合作讨论：归纳解二元一次方程组的一般步骤。（1）将其中一个未知数的系数化成相同（或互为相反数）。（2）通过相减（或相加）消去这个未知数，得一个一元一次方程。（3）解这个一元一次方程，得到这个未知数的值。（4）将求得的未知数值代入原方程组中的任一个方程，求得另一个未知数的值。可以与上节课的加减法相比较，让学生形成辨别用何种方法便捷的能力。对学生归纳得不完整的地方，老师均可修正、补充、强调。例1先将（ab）与（ab）看成一个整体，运用整体思想解题，先求ab、ab的值，再求a、b的值。例2主要让学生自主掌握练系数解题的步骤。第1题是加强学生用加减法解二元一次方程组的技能。第2题是运用待定系数法解题，第3题主要是针对课后作业的组题设计的。（5）写出方程组的解。6、做一做：P98课内练习。7、探究活动。（P98课本的探究活动）探究后让学生发表解本题的心得，哪种解法简便，为什么？四、归纳小节充实提高问：这节课大家有什么收获？或以围绕以下几个问题开展讨论：1、解二元一次方程组有两种消元途径代入法、加减法。2、加减法的一般步骤。3、用加减法解题常会出现什么错误？4、解二元一次方程组用加减法还是用代入法简便，应如何选择？五、布置作业教科书P99作业题，作业本，或根据学生的实际情况，从下列的备选题中选做。备选例题：例1、解二元一次方程组例2、已知是方程组的解，求a、b的值。备选练习：1、解下列二元一次方程组：（1）（2）2、关于x、y的二元一次方程组与的解相同，求a、b的值。3、一个两位数的十位数字与个位数字的和为7，如果将十位数字与个位数字对调后，所得的数比原数小27，求原来的两位数。假设原来的两位数的个位数字为x，十位数字为y，则原来的两位数可表示为，十位数字与个位数字对调后的数为，则可列方程组：。设计说明：1、本教案试图运用练习质疑，直观演示，尝试体验，合作学习等多种手段，让学生理解消元的另一种技能加减法，并能用加减法解二元一次方程组。2、本教案意在让学生真正成为学习的主体，观察、尝试练习，合作讨论、探究学习等都把时间还给学生，体现建构主义的教学观。设计说明运用学生日常碰到的情景引入，能激发学生的学习热情，通过类比，能使学生体验列二元一次方程组的优势所在。设两个未知数，找两条等量关系，列两条方程是运用列方程组，解应用题的关键所在，应让学生有所领悟。4.4解二元一次方程组的应用（1） 教学内容分析：本节课一方面在列方程（组）的建模过程中，强化了方程的模型思想，培养了学生列方程（组）解决实际问题的意识和能力，另一方面，将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体，在实际问题的解决中，进一步提高学生解方程组的能力。本节课也是上册一元一次方程的应用的延续和发展，进一步培养学生初步的抽象、想象、逻辑思维能力；同时，利用列表、画线段图等手段能帮助学生提高分析问题和解决问题的能力，而这些能力的形成，无疑是拿到了解决实际问题的“金钥匙”。教学目标：1、了解列二元一次方程组与列一元一次方程组的异同。2、经历和体验方程组解决实际问题的过程，了解应用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。3、学会用二元一次方程组解决实际问题。4、会用列表、画线段图等手段帮助分析理解实际问题。教学重点：让学生经历和体验二元一次方程组解决实际问题的过程，会用列方程组解决实际问题。教学难点：在实际问题中找等量关系、列方程组。教学准备：多媒体显示游泳池中的数学问题的情境、例题及步骤的归纳等。教学过程：一、创设情景，合作学习，引入课题合作学习：游泳池中的数学问题。1、出示情景（多媒体显示实际情景）。2、复习解决问题的常用手段，用算术方法求解与列一元一次方程来求解。讨论得出用以上两种方法解这个问题，很难求解。3、合作学习、解决问题（展示学生的解题过程）。4、讨论：（1）本题用什么知识来解决问题？（引出课题）（2）列二元一次方程解决问题与列一元一次方程解决问题，有什么异同，有什么优点？归纳：列二元一次方程解决问题，能使问题变得简单，比较容易找出等量关系，但必须设两个未知数，找出两条等量关系，列两条不同的方程。二、分析问题解决问题归纳步骤（一）典型例题，例1的教学1、能不能用刚才合作学习中得来的知识解决实际问题？（出示例1）例1的教学不但要让学生能运用列表分析数量关系，更要让学生体会到列二元一次方程组解决问题的一般步骤，体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型。这里的合作学习，也可提示学生列一元一次方程组解决问题的一般步骤。知识系统的形成能有效地培养学生的应用能力。这里的变式，其实主要让学生体验回顾反思是解决问题必不可少的一部分。除列表外，画线段图也是帮助我们理解问题、制订计划的有效手段。一节课的感悟或收获，能帮助学生知识技能的自主构建，也是学生开拓创新的基础。2、让学生分析题中的已知与未知，并问：如何找等量关系。3、给学生提供表格（书中的分析）帮助学生分析数量关系，让学生自觉地得出两条等量关系：盖式纸盒中正方形的张数横式纸盒中正方形的张数1000张，竖式纸盒中长方形的张数横式纸盒中长方形的张数2000张。4、师生共同完成解题过程。x+2y=1000解：设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，根据题意，得 4x+3y20004得，5y2000y400把y400代入，得x8001000x2000方程组的解为经检验这个解满足方程组，且符合题意。答：做竖式纸盒200个，横式纸盒400个，恰好将库存的纸板用完。5、合作讨论，应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤：理解问题制订计划执行计划回顾反思（多媒体显示）。其中理解问题指审题，搞清已知和未知，分析数量关系；制订计划是指考虑如何根据等量关系设元，列出方程组，执行计划是指列出方程算求解，得到原数；回顾反思是指回顾解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意。6、归纳指出：本题的等量关系不很明显，可通过列表格的形式帮助我们理解问题与制订计划。（二）做一做。1、例1的变式练习（课内练习1）。指出：回顾反思是解决问题必不可少的一部分。2、练习2指出：运用线段图能帮助我们分析数量关系，更好地理解问题、解决问题。下面是本题的线段图。设甲、乙两人每时分别走x千米、y千米，则（1）（2）三、自主建构，形成系统，拓展提高。（一）通过以上几个问题的解决，让学生谈谈对解决问题的感悟与体验，可以从以下几个方面展开：1、列表与画线段图能有效地帮助我们分析问题，找等量关系。2、应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤。3、列二元一次方程组的关键是什么？（找等量关系）应注意什么？如果时间不够，本题也可以作为作业，配套问题作为日常生活中常碰到的问题，要让学生掌握解此类问题的关键就是“配套”。本题是针对本节课的例设计的，除了能带助学生理清此类问题的等量关系外，也增强人文气息。两个练习一个是行程问题一个是配套问题，如果学生这两方面掌握得不理想，可选用。4、要注重理解问题与回顾反思的重要性。（二）做一做。解决一个配套问题：作业是第2题，学生解决后指出：配套问题主要是如何配套，如本题中挖出的土运出的土，当然这也是一个等量关系。四、布置作业教科书104页的作业题与作业本上的练习。也可根据实际情况，从下列的备选中选做。备选例题：一千零一夜中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食。树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了”。你知道树上、树下各有多少鸽子？备选练习：1、两列火车从相距910千米的甲、乙两地同时相向出发，10小时后相遇，如果第一列火车比第二列火车先出发4小时20分，那么在第二列火车出发8小时后相遇，问两列火车每小时各行多少千米？2、某服装厂加工一批运动服，每15米布料能裁上衣10件或裁裤子13条，现有布料345米，为了使上衣和裤子配套，裁上衣和裤子的布料各是多少米？设计说明：1、本教案采用“问题情景建立模型解释、应用与拓展”的模式展开教学。充分利用学生身边的实际问题，尽可能增加教学过程的趣味性、实践性，利用多媒体辅助手段丰富学生的学习资料，生动活泼地展示所学内容，强调学生的动脑思考和主动参与，通过集体讨论、小组活动，以合作学习促进学生的自主探究。2、教师是学生学习的组织者、促进者、合作者，学生是学习的主人，在教师的指导下主动地、富有个性地学习，用自己的大脑去亲自探索，用自己的心灵亲自去体验、去感悟。设计说明不是教师硬塞给学生一些知识，而是让学生经过分析，自觉得出应怎样做，就能有效地把知识“内化”为学生自己的知识技能。规范的范例书写是培养学生正确表达的榜样，当然，不要教师只顾自己板演，尽量让更多的学生参加，边讨论边书写4.4解二元一次方程组的应用（4） 教学内容分析：本节课在上节课掌握利用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤与方法后，进一步让学生体会方程是刻画现实世界的有效数学模型的一节课，教学内容涉及待定系数法，利用二元一次方程求字母系数，与后面的函数联系密切，应让学生切实掌握，教学内容中有要我们所求的量较多（多于两个）时如何列二元一次方程组解决，对学生的能力要求较高，有利于学生分析问题、解决问题能力的提高。教学目标：1、掌握利用二元一次方程组求字母系数（待定系数法）。2、进一步掌握利用二元一次方程解决实际问题。3、学会利用二元一次方程组对信息量较大，所求未知量较多的实际问题的分析与解决。教学重点、难点：重点是让学生熟练掌握利用二元一次方程组解决实际问题，难点是对信息量大，所求未知量较多的实际问题时（例2）的分析与体会。教学准备：多媒体制作几个例题及解答，待定系数法步骤的归纳。教学过程：一、利用二元一次方程组，求关系式中的字母系数。1、出示例2，并分析例2，从所求出发，求p、q两个字母的值，必须列出两条方程，从已知出发，如何利用及两对已知量，当t100时，l2.002米和当t500时，l2.01米。求得字母系数后，就可得到p与t的关系式，那么第（2）题中，已知p2.016米时，如何求t的值。100p+q=2.002 2、解：根据题意得 500p+q=2.01得400p=0.008解得p=0.00002把p=0.00002代入得0.002q2.002解得q2答：p=0.00002q2得t0.000022，金属棒加热后，长度伸长到2.016米，即当t2.016时，2.0160.00002tt800这个变式是一种常碰到的形式。及时归纳，能充实学生的知识结构形成解决问题的经验。对于“待定系数法”可以指出，也可以不必指出。这几个练习都包含着给出的条件多于两对，要让学生体验：怎样解比较便捷？怎样检验你所求的关系式是正确的？理解复杂的实际问题，是一个难点，应让学生仔细审题，识别明、暗信息，挑选有用信息。制订计划时如何设元是解决多个（两个以上）未知量的问题时一个关键问题，而这一步必须建立在理解的基础上。统计图这个知识学生学过的时间比较长，应适当复习。合作探究，反思解题心得，能进一步让学生掌握对复杂实际问题解决的技能。答：此时金属棒的温度是8003、变式：上题中当这根金属棒加热到200时，它的长度是多少？解：由（1）得t0.00002t2当t=200时，t0.0000220022.004米答：此时它的长度是2.004米4、合作讨论：例2的解题步骤？讨论归纳：代入（将已知的量代入关系式）列（列出二元一次方程组）解（解这个二元一次方程组）回代（把求得p、q值重新回代到关系式中，使关系式只有两个相关的量，如只有t与t）指出：这种求字母系数的方法称为待定系数法。5、做一做：（可选用后面的补充例题1或补充练习1或作业题第3题）二、利用二元一次方程组解决信息量大，未知数多（多于2个）的实际问题。1、复习上节课中应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤。生回答：理解问题制订计划执行计划回顾反思。2、出示例3，理解例3（理解问题）师生共同找例3的特征特征一：信息量多（有3条信息）关系复杂（有多个量参与）特征二：所求的量多（4个成份质量和所占的百分比）找题中的等量关系a、蛋白质含量脂含量总质量50%b、矿物质含量2脂肪含量c、蛋白质含量碳水化合物合量总含量83%d、碳水化合物含量矿物质含量总质量50%3、分析如何设元与列式（制订计划）如何设元是本题的一个关键问题先让学生讨论设那两个量为未知数更有利于解题。生讨论得出：设蛋白质和脂肪的含量较好，因为两者与其他未知量均有数量关系利用哪些等量关系列式？生讨论得出：利用上面所找的等量关系的a与d。4、解：（执行计划）（1）略（2）问：如何制作扇形统计图归纳：已知百分比，可先求得角度的大小，再画图，画图（略）。5、检验所求答案是否符合题意，并反思本例对我们有什么启示？归纳：解信息量大，关系复杂的实际问题时，要仔细分析题意，找出等量关系，利用它们的数量关系适当地设元，然后列方程组解题。三、分小组合作探究：内容：书本P106的探究活动。分组讨论，汇报结果，教师评价。四、归纳小节，谈谈本节课的收获本例题与下面的练习1给出的已知量多于2对应让学生掌握解决本类问题的便捷方法是：选数据时可选小一些。所求的字母系数是否正确，可代入另外未