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5.3平面向量的数量积1平面向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则数量_叫做a和b的数量积(或内积)，记作_规定：零向量与任一向量的数量积为_两个非零向量a与b垂直的充要条件是_，两个非零向量a与b平行的充要条件是_2平面向量数量积的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影_的乘积3平面向量数量积的重要性质(1)eaae_；(2)非零向量a，b，ab_；(3)当a与b同向时，ab_；当a与b反向时，ab_，aa_，|a|_；(4)cos _；(5)|ab|_|a|b|.4平面向量数量积满足的运算律(1)ab_(交换律)；(2)(a)b_(为实数)；(3)(ab)c_.5平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_，由此得到(1)若a(x，y)，则|a|2_或|a|_.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|_.(3)设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_.例1已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值_变式：如图，在ABC中，ADAB， ，|1，则_.例2已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61，(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|；(3)若a，b，求ABC的面积解(1)(2a3b)(2ab)61，4|a|24ab3|b|261.又|a|4，|b|3，644ab2761，ab6.cos .又0，.(2)可先平方转化为向量的数量积|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213，|ab|.(3)与的夹角，ABC.又|a|4，|b|3，SABC|sinABC433.例3已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )(0)(1)求证：ab与ab互相垂直；(2)若kab与akb的模相等，求.(其中k为非零实数)(1)证明(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2(cos2sin2)(cos2sin2)0，ab与ab互相垂直(2)解kab(kcos cos ，ksin sin )，akb(cos kcos ，sin ksin )，|kab|，|akb|.|kab|akb|，2kcos()2kcos()又k0，cos()0.而0，0，.例4（1）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为. 如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是=_2_.（2）如图所示，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若xy，则x_，y_.（3）在矩形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 【1,4】例5已知向量与共线，其中A是ABC的内角（1）求角的大小； （2）若BC=2，求ABC面积的最大值，并判断S取得最大值时ABC的形状.【解】（1）因为m/n,所以. 所以，即， 即. 因为 , 所以. 故，.
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