数学教学案例平面向量的数量积及运算律.pdf

数学教学案例 平面向量的数量积及运算律 苏州市陆慕高级中学 蒋智东 目标定位 知识与能力目标 1 正确理解平面向量数量积的概念 能够运用这一概念求两个向量的数量积 并能根据 条件求向量的夹角 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律 会用平面向量的数量积处理有关长度 角度和垂直的问题 过程及方法目标 向量数量积是物理学中的功的概念的抽象 使学生经历概念的抽象过程 经历性质和运 算律的发现过程 情感态度与价值观 通过对平面向量数量积的重要性质及运算律的猜想与证明 培养学生探索精神和严谨的 科学态度以及实际动手能力 多向对比 向量的数量积在新教材中的地位 向量的数量积及运算律 是 平面向量 中的基础知识与重点内容 向量在数学和物 理学中应用很广 在解析几何中应用更为直接 用向量的方法特别便于研究涉及空间里直线 和平面的各种问题 与老大纲要求上的差异 教学目标在知识和技能领域可分为三个层次 掌握 应用 第一层次 理解 独立操作 第二层次 知道 了解 第三层次 教学目标 老要 求 水平 层次 新要求 水平 层次 平面向量的数量积的含义 掌握 一 理解 二 向量的数量积的物理意义 无 理解 二 向量的数量积的几何意义 掌握 一 感悟 体会 三 向量的数量积的重 要性质及运算律 掌握 一 掌握 一 用向量的数量积解决 有关角度和垂直问题 了解 初步学会 三 会用 初步应用 二 与老教材内容处理上的差异 增加了对平面向量的数量积的物理意义的理解 实际上是要求学生从原来的用 功 弃 功 到现在的说 功 算 功 用 功 弃 功 增加了说 功 算 功 的环节 目的是让学生充分经历 体验从 功 抽象出 向量 乘法 发现定义 的过程 同时 也对平面向量的数量积的物理意义有了深刻的理 解 2 老教材中的 向量的夹角 安排在 向量的数量积 之前 而新教材对这一顺序 进行了调整 将 向量的夹角 放在 向量的数量积 的定义之后 这样安排 可以保证学 生首先集中精力从求功运算中抽象出向量的数量积运算 符合 发现 的自然顺序 平面向量的数量积的几何意义 不再作为授课内容 而是以 链接 的形式出 现 教师指导学生阅读学习 作为向量数量积的运算律 证明的依据 证明不作要求 老教材中明确给出了向量数量积的五条运算性质 而新教材中没有设置这段内容 只是作为向量数量积定义的特殊情形给出了a与b共线时的数量积的表达式 这样设计 实 际上是给学生探究活动留下了空间 问题聚焦 焦点问题 物理学中的 功 是平面向量的数量积的原型 在教学设计中 我们需要 用 功 来引入向量数量积的定义和运算 学生现有的对 功 的认识 维持在初中水平 即力对物体所作的功等于力的大小与物体在力的方向上产生的距离大小的乘积 用力和位移 来表示力对物体所作的功 特别是当力与位移存在一个夹角时的情形 要到高一下学期才能 在物理课程中系统学习 这就为课题的引入带来了困难 焦点问题 初 高中数学的衔接 不仅是知识的衔接 也是数学思想方法的衔接 对 刚刚进入高中学习的学生来说 他们的分析 总结 概括能力还比较弱 这方面的思维习惯 尚不健全 因此 通过学生的讨论 概括出求功运算的特点 进而抽象出向量数量积的定义 是本课教学的难点之一 焦点问题 向量数量积性质的探索与总结 对向量数量积三个运算律的理解与应用 两个向量的数量积是两个向量相乘的一种 是学生以前没有接触过的新的乘法 与数量 间的乘法 实数与向量间的乘法有很大区别 因此运算法则 运算律要重新定义 学生对于 数量积概念和运算法则的理解和掌握有些困难 它与实数的乘法的概念 性质和运算律既类 似也有区别 这一区别是教学的重点也是学生学习研究的难点 教学示例 教学设计意图 1 关注问题性 启发性 加强联系性 本课通过物理学中的求功运算来创设教学情景 使学生自然提出问题 求功运算与数学 知识有怎样的联系 进而启发学生主动探索求功运算的特点 从中抽象出向量积的定义及其 两个非零向量夹角的定义 教学过程中 由学生所熟悉的初中学过的 功 W F S 出发 引导他们分析得到力F与位移S之间的夹角为 时的功W F cosS 通过分析求功运 算的特点 舍弃各个量的物理含义 从而抽象出向量数量积的定义 并通过F与S的夹角 及其范围 得到两个非零向量夹角的定义及其范围 这样设计的目的 是遵循认知规律 以 问题引导学习 体现数学知识的形成与学生认知的过程性 加强知识间的联系性 促使学生 主动探究 培养学生的创新意识和应用意识 讲背景 讲方法 讲能力提高 在 求功运算 这个真实背景下 学生能够真切地认识到两个向量 乘法 的存在 引 入这个背景的意义 在于通过物理知识揭示数学知识中向量数量积的运算 激发学生的好奇 心和求知欲 在于培养锻炼学生的抽象思维能力 在课程内容的设计与实施过程中 始终围 绕 发现向量的新运算 这一目标 让学生经历由求功运算抽象出向量的数量积运算 弄清 两个非零向量夹角 再到归纳并完善定义的全过程 使学生明确自己是在探索知识而不是要 接受知识 这一过程的主要目的是使学生的思维水平能够得到有效提升 关注对学生思维能力和创新意识的培养 通过教师教学方法上的设计和教师指导下学生的合作交流与互动讨论 从实际事例的分 析中 抽象出概念 推导出运算律和性质 而后举例说明这些概念 运算律和性质的应用 在 掌握知识的同时 切实有效地训练思维 发展能力 教学过程 一 情景创设 问题 1 物理学中 向量的运算比较多 比如求位移 速度 合力的大小等 用到了 向量的加法 减法和数乘运算 那么 物理中有没有其它的向量运算呢 二 学生活动 问题 2 初中物理中的 功 是怎样计算的 学生回顾 是物体所受力的大小与物体在力的方向上移动的距离的积 即 W F S 这里的 实际上就是F大小F 是物体在力F的方向上产生的位移S的大小S 因此 F S 问题 当F和S存在一个夹角 时 力对物体所做的功是多少 学生讨论 将F正交分解为水平方向上的分力 1 F和竖直方向上的分力 2 F 由于物体 在 2 F方向上的位移为零 因此 2 F对物体所做的功为零 这样 F对物体所做的功与 1 F 对物体所做的功等效 所以 1 FS SF cos F cosS 通过对上述公式的分析 可以得到如下结论 1 功W 是两个向量F和S的某种运算的结果 而且这个结果是一个数量 功不仅与力和位移的大小有关 而且还与它们的夹角有关 由此可见 求功运算 作为一种新的向量运算 不同于我们以前学习过的其他数学运 算 三 建构数学 问题 4 从求功的运算中 可以抽象出什么样的数学运算 教师指出数学抽象的方向 舍弃抽象原型的物理意义 抽取其中的数量关系 平面向量的数量积 1 最初的认识 学生讨论 把力F和位移S抽象地看成两个向量a和b 把力F和位移S的夹角 看 作向量a和b的夹角 就可以得到一种新的运算 它是从向量a b得到一个数量 即 cosba 的运算 2 进一步表述 引进 向量的数量积 等术语后 就可以把上面的结果进一步表述为 已知两个向量a和b 它们的夹角为 我们把数量 cosba叫做a和b的数量积 或 内积 记作ba 即ba cosba 评注 上述设计使学生领悟到数学的发展不仅产生于内部需求 更重要的是来源于实 践 此处从数学与其他学科的联系与数学内部需要引出学习本课的必要性和重要性 激发学 生的探究兴趣和积极性 两个向量的夹角 问题 在上面的向量的数量积的定义中 提到了 两个向量的夹角 的概念 它究竟 代表什么意义呢 从实际背景中的 力 和 位移 的夹角出发 展开讨论 抽象出两个向量的夹角的定 义 对于两个非零向量a和b 作OA a OB b 则 AOB 00 1800 叫做向量a和b的夹角 评注 明确夹角概念 强调共起点 教学过程中 动员学生就力对物体做功的情形进行 讨论 画出F和S所成角 零度角 锐角 直角 钝角 平角 的不同图形 并进行展示 交流 教师指导学生进行归纳 并用准备好的课件演示抽象过程 强化学生对向量夹角的认 识 特别地 当a与b的夹角分别等于 0 0 0 180和 0 90时 两个向量分别是同向 反向和 垂直 向量a和b垂直 记作ba 在讨论中应注意上述定义中对向量的 非零 限制 平面向量的数量积 形式化的表述 表述的精确化 问题 在进一步弄清了 向量的夹角 的意义以后 应该怎样更精确地表述向量的数 量积的概念 学生思考 对前面的定义加上 非零 的限制 问题 零向量有没有数量积 应该如何定义 教师 重放问题 中的图片 物体在 2 F方向上的位移为零 因此 2 F对物体所做的 功为零 受此启发我们规定 零向量与任何向量的数量积为 评注 至此 向量的数量积运算 两个向量的夹角极其范围 零向量的数量积 均从 求功运算 中抽象获得 通过讨论 整理得到 数量积 的完整定义 向量数量积的定义 已知两个非零向量a和b 它们的夹角为 我们把数量 cosba叫做a和b的数量 积 或内积 记作ba 即ba cosba 同时规定 0 与任何向量的数量积为 即 0 a 对定义的理解 尽管向量的数量积是从求功运算中抽象出来的 但是 它已经是一种抽象的数学运算 了 一般地 它已经不具有 求功运算 的具体意义了 在引入向量的数量积以后 物理学 中功的概念就可以用数学语言表述为 功就是力F与在其作用下物体产生的位移S的数量 积 即 F S 两个向量数量积的结果是一个实数 这与向量的加法 减法和数乘运算是不同的 注意 0 a 等式右边的零是一个实数 而不是零向量 练习 投影 判断下列说法是否正确 向量的数量积可以是任意实数 若 a 则对任意向量b 有ba 若 a 则对任意非零向量b 有ba 如果 ba 那么a和b的夹角为锐角 若 a ba 则b 若cba 是三个非零向量 bacbca 那么 评注 通过练习深化对数量积概念的理解 如 使学生体会到向量不能随便约分 数量积的运算性质 问题 向量的数量积有什么样的性质 教师把需要总结的数量积的性质 设计成七个讨论题 调动全体学生参与到探索中来 发动学生进行合作讨论 让他们总结规律 这七个讨论题是 向量的数量积的正负如何确定 单位向量与任何向量的数量积有什么规律 互相垂直的两个向量的数量积有什么特点 共线向量的数量积有什么规律 任何求两个向量的夹角 比较两个向量的数量积的模与两个向量模的乘积的大小关系 两个相等向量的数量积等于什么 教师指出 从向量数量积的定义入手 并与字母的乘法运算相比较 在小组合作讨论的基础上 再由教师归纳结论 评注 由向量数量积的定义入手 研究其性质 很自然地教给学生研究问题的出发点 实 际授课时 学生可以得到 当a与b同向时 ba ba 当a与b反向时 ba ba 特别地 2 aaa 此时可能仍有学生不知如何思考 可提醒学生有序地思考 如对角 从 0 0变到 0 180顺 次考虑 教给结论不如授予方法 引导学生学会怎样思考 不仅 发现 了数量积的所有性 质 更重要的是让学生感悟到了应该如何去研究 问题 向量的数量积满足什么样的运算律 学生类比猜想 再进行验证 教师明确给出结论 评注 对于前两个运算律 学生自己能够证明 而对于分配律 学生证明有困难 教师 可以指导学生用 特殊化 的思想 如 分别令 0 0 0 180 和ba 来进行验证 并要求学生举出反例 四 数学运用 例 已知正ABC 的边长为2 设 BCa CA b AB c 求accbba 小结强调 求向量的夹角 首先要使其共起点 例 判断正误 cbacba 222 abba 222 2 bababa 若 b 且cbba 则ca 小结强调 向量的数量积与实数的乘法有类似之处 但又很不相同 不能盲目照搬 如 数量积不满足结合律 练习 已知向量a和b的夹角为 3 2 ba 分别在下列条件下求ba 0 135 a b ba 直接应用 练习 设ba 是两个单位向量 它们的夹角是 0 60 则 23 baba 等于 8 2 9 2 5 8 已知ba bababa 与且23 3 2垂直 则 等于 2 3 2 3 2 3 1 已知 3 5 1 3 12 10bbaba 且则a与b的夹角是 0 60 0 120 0 135 0 150 化简 bbababa 3 32 评析 本案例运用了 以问题为中心 的讨论式教学模式 教师以建构主义理论为依据设置问 题情境 让问题处于学生思维水平的最近发展区 教师的作用不仅是问题的提供者 还是讨 论学习的引导者 组织者 教师立足于学生发展的角度 还课堂于学生 还问题的探索权于 学生 使学生养成主动参与 乐于探究 勤于动手 交流合作的学习方式 设计的开始是创设情境 引导学生从已有的物理知识背景 功的概念出发 提出研究 课题 向量数量积的概念 使学生领悟到数学来源于实践 激发学生兴趣 使数学学习真 正成为学生自觉的兴趣和需要 使学生积极地参与到课堂中来 向量的数量积是中学代数中从未遇到过的一种新的 乘法 它与实数的乘法既有相似 之处 又有着很大的区别 这就给理解和掌握这一概念带来了一些困难 为了解决这个难点 教师精心设计了一组练习题 启发学生从定义出发 辩析正误 巩固概念 此时 教师并没 有急于 推销 自己的想法 把学生的思维纳入自己预先设好的轨道 以教师的思考代替学 生的思考 而是为学生提供独立思维的空间 让学生主动思考 主动