课题153-154复数的四则运算.doc

课题：15.3-15.4复数的四则运算教学目的：1、掌握复数的加、减、乘、除四则运算及其运算律；理解复数加、减法的几何意义。2、培养类比思想和逆向思维。3、培养学生探索精神和良好的学习习惯。教学重点：复数的加、减、乘、除四则运算及其运算律。教学难点：运用类比思想由实数运算法则探究复数运算法则。教学过程：问题：复数集是实数集的扩展，能否把实数集中的四则运算推广到复数集呢？复数的加法：设z1abi，z2cdi(a,b,c,dR)是任意两个复数，则它们和为z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i复数的和仍然为一个复数，其实部为z1、z2的实部和，虚部为z1、z2的虚部和。复数加法满足(1)交换律：z1z2z2z1；(2)结合律(z1z2)z3z1(z2z3)例1计算：(1) (43i)(2i)62i(2) (3i2)(32i)15i思考：若(23i)(xyi)25i，则xyi？由加法运算：(23i)(xyi)(3x)(2y)i25i由复数相等的定义： 得 则xyi42i复数的减法：(加法的逆运算)复数abi减去复数cdi的差是指满足(cdi)(xyi)abi的复数xyi，记作(abi)(cdi)根据复数相等的定义：(abi)(cdi)(ac)(bd)i复数的差仍然是一个复数，其实部为两个复数实部的差，虚部为两个复数虚部的差。显然，减法不满足交换律和结合律。复数加法的几何意义：复数可以用向量表示，复数加法的几何意义即为平行四边形法则。Z2Z1ZOxy证明思路1：设z1abi、z2cdi分别对应复平面上的点Z1(a，b)和Z2(c，d)，z(ac)(bd) i对应复平面上Z (ac，bd)，证明OZ1ZZ2为平行四边形。证明思路2：根据平行四边形法则求得点Z，证明其坐标为(ac，bd)。 z1z2z复数减法的几何意义：复数减法的几何意义即为三角形法则。 z1z2z复平面上两点之间的距离：复数可以用点表示。设z1abi、z2cdi分别对应复平面上的点Z1(a，b)和Z2(c，d)，则|z1z2|(ac)(bd)i |显然，|z1z2|可以表示Z1、Z2之间的距离，即|Z1Z2|z1z2|；|z1z2|还可以表示向量的模，即|z1z2|例2已知复数z132i、z213i分别对应向量和，求向量对应的复数及其模的大小。解：向量对应的复数为z3z2z1(13i)(32i)45i |45i| 例3已知复数z满足|z|1，求|z2|取值范围。解1：设zabi (a，bR)，由|z|1得1即 a2b21，且1a1 |z2| abi2|ABC121OZxy 1|z2|3解2：|z|1表示复数z对应的点的图形为圆心为原点、半径为1的圆。|z2|表示圆上的点Z与2所对应的点A(2，0)之间的距离如图可知：1|z2|3练习：教材P68习题15.310复数的乘法：设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)是任意两个复数，则它们积为z1z2(abi) (cdi)(acbd)(bcad)i复数的积仍然为一个复数，复数的乘法与多项式的乘法相似。复数乘法满足(1)交换律：z1z2z2z1；(2)结合律(z1z2)z3z1(z2z3)；(3)分配律z1 (z2z3)z1z2z1z3 (可让学生自行选择一个进行证明。)例4计算：(1) (12i)(34i)(2i)25i(2) (12i)(23i)(12i)1015i发现：(12i) (12i)5，12i与12i很有意思共扼复数：实部相等而虚部互为相反数的两个数。复数z的共轭复数用表示。若zabi，则abi (a，bR) za2b2共轭复数有很多有趣的性质，我们将在下节课作专门研究。例5已知z(12i)3i，求z解1：设zabi (a，bR)，则(abi) (12i)3i即(a2b)(2ab) i3i 复数乘法即 复数相等的定义则z1i解2：(abi)(12i)(12i)(3i )(12i)即(abi)555i则z1i复数的除法：(乘法的逆运算)复数abi除去复数cdi的商是指满足(cdi) (xyi)abi的复数xyi，记作 (cdi0)根据复数相等的定义：i利用共轭复数性质：i例6计算：已