浅论三视图中的作图实践和易错习题.pdf

26福建中学数学2015年第4期 选择贴切的教学素材和教学流程 准确地体现基本 理念和内容标准规定的要求 实施导学案 是把 预设 转化为实际的教学活 动 在这个过程中 师生双方的互动往往会 生成 一些新的教学资源 这就需要教师能够及时把握 因势利导 适时调整预案 使教学活动收到更好的 效果 在这一节课 就有学生提出了教师的 预设 里 没有的 生成 问题 这就是在考验教师的教育机 智 应急能力 例如就有学生提问 球面上的三角 形的各个内角之和也等于180 吗 既然剪拼法不 能保证 三角形的内角和是180 我们就直接去推 理算了 没有必要那么麻烦 面对学生这些 可爱 的问题 教师就必需趁机耐心解释 吸引学生 让 学生喜欢数学 往往能达到事倍功半的效果 教师 的专业水平也得到了发展 实现了师生共同发展 3 弃弃 让一部分学生先发展起来让一部分学生先发展起来 关注每一位 学生的课堂学习 关注每一位 学生的课堂学习 教师教学应该以学生的认知发展水平和已有 的经验为基础 面向全体学生 注重启发式和因材 施教 教师要发挥主导作用 处理好讲授与学生自 主学习的关系 引导学生独立思考 主动探索 合 作交流 使学生理解和掌握基本的数学知识与技 能 数学思想和方法 获得基本的数学活动经验 所 以我们应当放弃 让一部分学生先发展起来 关注 每一位学生的课堂学习 平常所说的 让一部分学生先发展起来 的这 些学生往往是指优等生 这显然与我国的教育要实 现均衡的义务教育观相违背 班级里的中等生和后 进生 他们往往是学习的弱势群体 应该是我们教 师更加关注的教育对象 他们往往更需要关心和帮 助 江三平时在同学的眼里总是有那么多希奇古 怪的想法 成绩却不好 同学总戏笑他 爱迪生再 来 在这一节课里提 球面上的三角形的各个内角 之和也等于180 吗 就是他 同学又笑开了 这 一次 老师严肃地批评了这些同学 并向学生解释 说道 正是因为有 球面上的三角形的各个内角之 和也等于180 吗 的想法 才有今天的非欧几何 的产生 借机向学生介绍了相关的数学史 胡科比较懒 不爱动手 作业经常没有交 少 不了受到老师的批评 改不了 所以成绩不好 在 这一节课里提 既然剪拼法不能保证三角形的内角 和是180 我们就直接去推理算了 没有必要那么 麻烦 就是他 同学又笑开了 这一次 老师还 是耐心地解释道 科学的发展史中的真理往往需要 经得起时间的验证甚至生命的付出 也趁机向学生 介绍了布鲁诺的故事 胡科听了似乎有些感动地低 了头 新课标也指出 数学课程应致力于实现义务教 育阶段的培养目标 要面向全体学生 适应学生个 性发展的需要 使得 人人都能获得良好的数学教 育 不同的人在数学上得到不同的发展 因此我们 教师应该关注每一位学生的课堂学习 这堂课仅仅是我们在初中数学课堂教学中实 践 全员课堂 的一些探索 定然比较粗糙 存在不 少不足 但是长期以来初中数学课堂教学已形成了 固有的一些传统教法 而且普遍存在 师生也习以 为常 不觉得有什么错误 因此 师生共同发展 的初中数学全员课堂教学 的尝试会给我们带来崭 新的视角 以彰显数学之魅力 让我们怀着美好的 期待和坚定的信心一起前行吧 参考文献参考文献 1 中华人民共和国教育部制定 义务教育数学课程标准 2011版 S 北 京 人民教育出版社 2011 本文为福建省教育科学 十二五 规划 2014 年度课题 基于师生 共同发展的初中数学全员课堂教学的实践研究 课题编号 FJJKCG14 499 的课题研究成果 浅论三视图中的作图实践和易错习题浅论三视图中的作图实践和易错习题 罗永松福建省上杭县第二中学 364200 正如法国数学家加斯帕 蒙日 Gaspard Monge 在军事实践中归纳出 画法几何 一样 数学源于 生活 而实践是对理论的最好诠释 作为中华人民 共和国教育部制订的普通高中数学标准 简称 新 2015年第4期福建中学数学27 课标 的三视图教学 学生存在着很多认识上的 困惑 如难以把实物图的长度转化为三视图的长 度 画三视图不规范 甚至连 高平齐 宽相等 一样长 主 俯视图长对正 主 左视图高齐平 俯 左视图宽相等的投影规律 也不知所云 而作 为三视图的实践课和习题课则很好的解决了这 点 在实践中较好的图形以及作图艺术能激发学生 对空间图形的热爱 对逻辑推理论证的追求 而且 促使他们进一步把握几何图形的本质特征 达到图 形与推理相互渗透 相互促进的理想效果 1 三视图与直观图的读图实践三视图与直观图的读图实践 1 1 由三视图到立体图的读图实践由三视图到立体图的读图实践 本部分内容的学习 主要并不在于知识本身的 学习 而在于相关技能的培养 并由此培养学生的 空间想象能力和空间推理能力 三视图的学习是一 个理论和实践相互结合 思维与操作高度一体的学 习 如下面关于三视图到立体实物图的转化体现了 学生在该方面的水平表现 1 江苏版第 18 页第 8 题 已知三视图轮 廓的孔形样板 如图 1 试找出一个塞子 使得它 能堵住孔形样板上的每一个洞 2 北师大版 19 页 B 组第二题 一块木板 上有 3 个孔 方孔 圆孔 三角孔 如图 2 试设 计一个几何体 使它能沿 3 个不同方向不留空隙地 通过这 3 个孔 图 1图 2 图 3 这两道题都没有明确表示正视图和侧视图 俯 视图分别是哪个图形 给学生以灵活的思考空间 上 图江苏版第 18 页第 8 题学生在脑海中呈现的圆柱 体经过切割调整后即可得到两个圆柱体组合的简 单组合体 而北师大版 19 页 B 组第二题虽然题意 比较明确 但对学生的思维有一定的挑战 适合作 为竞赛题 这道题宜引导学生从圆柱体出发 经过 切割形成新的几何体形象 由于这个几何体的三视 图有虚线 所以该几何体的三视图并不是上述图形 的重新排列 在相关的教学中 上述图形可画成规 范的三视图 让学生画出对应的实物图 以此训练 学生的实践能力 1 2 利用积木和几何画板软件 进行变式从立 体图到三视图的绘制实践 利用积木和几何画板软件 进行变式从立 体图到三视图的绘制实践 画三视图时 确定几何体的一个面为正面 想 象自己就站在物体的正前面看到的图形就是物体 的正视图 在左侧面看到的图形就是物体的侧视 图 在正上方看到的图形就是物体的俯视图 规范 画图时要注意正视图 主视图 在左 侧视图在右 俯视图在主视图的正下方 并且保证主视图与侧视 图的高度一样 与俯视图的宽度一样对齐 侧视图 经过90 旋转后与俯视图的宽相等并对齐 实际绘 图时最好标明每个线段及其他图形的数据 如图3是由五个大小相同的正方体组成的几何 图形 请学生画出它的主视图 左视图和俯视 图 为了方便说明 教师规定了几何图形各个部 分的名称 如给正方体编号 教师先让学生回忆三 视图的定义 由于初中已经学过三视图 这里可以 让学生进一步看物体的投影规律 再让学生用直 尺 铅笔画出该图形的三视图 由于这个问题比较 简单 学生很快就能画出正确图形 而且对三视图 的投影规律能够做到清晰的程度 关于变式可以把图中的一个正方体移动 教师 利用 几何画板 展示这个移动的过程和增减小正 方体的过程 从而设置多种变式 如把由 27 个小 正方体组成的大正方体 魔方 玩具的几个小正方 体去掉后所形成物体的三视图 让学生观察 分 析 思考三种视图的变化 顺便可提问左视图和俯 视图都相同的立体图形一定相同吗 但 三视图 与实物图是否是一一对应的 不必提问 因其涉 及物体的特殊摆放 三视图表示的几何体并不唯 一 从而确定画正方体组合图形的三视图的关键是 看每个视图方向的正方形的个数及其相对位置 特 别是画俯视图以便关注立体图形的底面形状 因为 它相当于建筑物的平面图 有助于提高学生的读图 能力 此类题实践作业可布置画积木 哑铃 简单建 筑 简单零件的三视图 2 易错题习题课易错题习题课 2 1 正视图与直观图 实物图 的失真转化 例 正视图与直观图 实物图 的失真转化 例 1 2010 年高考福建卷 理 11 若一个底 面是正三角形的三棱柱的正视图如图 4 所 示 则其表面积等于 这是一道考查学生识图能力和空间想象能力 的基本题目 熟悉三视图的学生可很快得出答案 该 题由正视图可知三棱柱是以底面边长为 2 高为 1 图 4 28福建中学数学2015年第4期 的正三棱柱 所以底面积为 3 242 3 4 侧面 积为3 2 16 其表面积为6 2 3 但有些学生还 是不能完成 其思维障碍在于不知道底面的投影可 以是线段 从而把底面三角形周长误算为 4 导致不 能完成该题 在解很多此类题目中 有些同学难以 将三视图中的正三角形或正方形及其它正多边形 跟脑海中的实物图对应 从而出现图形的失真 在 绘制实践中可指导学生绘制正六棱锥的实物图和 三视图 并标出每个线段长度的数据 从而形成比 较精确的想象 2 2 错把斜高当高 例 错把斜高当高 例 2 一个几何体的三视图及尺寸如图 5 所示 求这个几何体的表面积为 侧视图主视图 图 5 6 俯视图 正方形 5 5 6 5 5 6 在这道题中 学生很容易判断出该物体是四棱 锥 但容易把5当作是四棱锥的侧棱 实际上5是 四棱锥的斜高 正确答案为 该几何体的表面积等 于 1 4 6 5 6 696 2 由实物图画三视图学生较 容易识别 但又由三视图识别出实物图的尺寸数据 学生较容易出错 而这正是近几年高考的热点 2 3 从三视图看点 线 面的位置关系对应易 错题目 例 从三视图看点 线 面的位置关系对应易 错题目 例3 2008年高考海南 宁夏卷 理12 某几 何体的一条棱长为7 在该几何体的正视图中 这条棱的投影是长为6的线段 在该几何体的侧 视图与俯视图中 这条棱的投影分别是长为a和b的 线段 则ab 的最大值为 A 2 2B 2 3C 4D 2 5 这道题相当于已知正视图求侧视图和俯视图 问题 可以把7看成是长方体的对角线长 6看 成足某一面的面对角线长 那么a b分别是另外 相邻两面的面对角线长 由题意易得长方体的其中 一边长为1 根据长方体体的对角线在各个面的投 影和勾股定理可得a b的关系式 22 8ab 又 22222 282816abaabbabab 4ab 当且仅当2ab 时取等号 故选C 此 类题错误的原因在于学生难以对几何的数据作出 理论推导 由三视图到实物图本身就是一个推理和 画图的结合 如三视图中的垂直关系到实物图中线 面的垂直关系 在几何解题中应加强对数据的推理 能力 例例4 2008年南通第三次调研 A卷5 已知三 棱锥SABC 的三视图如图6所示 图 6 主视图 S CAB 左视图 C S A 俯视图 A C B 则原三棱锥中给出下列三个命题 BC 平面SAC 平面SBC 平面SAB SBAC 其中所有正确命题的代号为 该题 许多学生并不明确SA与底面ABC的位 置关系 原因是投影知识的缺乏 如该题正投影中 的点S与其在底面中的投影点A的连线应与底面 垂直 和线面垂直定理的推理不明 从而认为SA是 底面的斜线 实际上 S在底面上的投影即为A SA 底面ABC 从而SABC 结合俯视图AC BC 所以BC 面SAC 由此该几何体的直观图 容易准确还原画出 并判断只有 正确 3 小结小结 画法几何与工程制图 是高等工科院校的重 要课程 三视图的基础知识和技能是学生的进一步 发展必不可少的基本条件 关于三视图 近几年的 高考出题也灵活多样 可考性很强 正确的认识点 线 面的投影规律 如线的投影可以是点 面的投 影可以是线 多做相关的投影实践 学生才能做题 过程中避免出错 在高中阶段 教育部制订的普通高中数学课程 标准 实验 对三视图的要求是 能画出简单空间 图形 长方体 球 圆柱 圆锥 棱柱等的简易组 合 的三视图 能识别上述的三视图所表示的立体 模型 会使用材料 如纸板 制作模型 会用斜二 测法画出它们的直观图 通过观察用两种方法 平 行投影和中心投影 画出三视图与直观图 了解空 间图形的不同表示形式 完成实习作业 如画出某 些建筑的视图与直观图 在不影响图形特征的基础 上 尺寸不作严格的要求 2 鉴于初中阶段已经学 过三视图 初中阶段的要求是直观感知 包括物体 被阻挡的部分画成三视图时用虚线 不要求精确 2015年第4期福建中学数学29 绘制 因此高中阶段应重点放在点 线 面的关系 和投影 三视图与立体直观图的相互转化的实践理 论上 而实践课和习题课正好加深了这两方面的重 点 使学生的能力螺旋上升 使课本的理论解说落 到实处 参考文献参考文献 1 朱恒元 三视图和直观图 文本之间关联性的比较研究 J 高中数 理化 2011 6 24 27 2 教育部 普通高中数学课程标准 实验 S 人民教育出版社 2003 3 钱敏 几何体三视图易错点及其成因分析 J 数理化研究 2011 36 50 一道自主招生试题的探究性学习一道自主招生试题的探究性学习 问题 探究 结论 应用 四环教学法教学尝试一例 黄明英福建省宁德市高级中学 352100 普通高中数学课程标准 实验 指出 教 师要创设适当的问题情境 鼓励学生发现数学规律 和问题解决的途径 使他们经历知识形成的过程 高中数学课程应力求通过各种不同的自主学习 探究活动 让学生体验数学发现和创造的历程 发 展他们的创新意识 为此 笔者以 问题 探究 结论 应用 四环教学法作为切入点进行尝试 所 谓 问题 探究 结论 应用 四环教学法 就是在 教师的引导下 对一些数学事实 数学问题进行分 析 提出问题或新的数学问题 并对之进行探究 得出新的结论 再应用所得结论去解决有关问题的 教学过程 学生经历了这种在教师引导下的 问题 探究 发现 应用 的自主学习 自主探索的 再 创造 过程 其问题意识 探究意识和应用意识得 到了培养 其创新能力得到了发展和提高 正如著 名数学教育家 G 波利亚所说 一个专心的认真备 课的教师能拿出一个有意义的但又不太复杂的题 目 去帮助学生发掘问题的各个方面 使其通过这 道题 就好像通过一道门户 把学生引入一个完整 的理论领域 下面就是 问题