概率统计习题册(2014).pdf

概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 1 第一章 随机事件与概率 1 1 随机事件 1 写出下列随机试验的样本空间 1 记录一个小班一次数学考试的平均分数 以百分制记分 2 在以原点为圆心的单位圆内任取一点 记录它的坐标 2 设CBA 是三个事件 用CBA 的运算关系表示下列各事件 1 A发生而CB 都不发生 2 BA 都发生而C不发生 3 三个事件恰有一个发生 4 三个事件至少有一个发生 5 三个事件至少有两个发生 6 三个事件不多于两个发生 7 BA C都不发生 3 指出下列命题中哪些成立 哪些不成立 并说明理由 1 BBABA 2 CBACBA 3 BAAB 4 若BA 则ABA 5 若 AB且AC 则 BC 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 2 1 2 随机事件的概率 1 设事件 A与 B 互不相容 3 0 AP 6 0 BP 求 BAP 2 设CBA 是三个随机事件 0 BCPABP 8 1 ACP 4 1 CPBPAP 求CBA 至少有一个发生的概率 3 设 3 1 AP 2 1 BP 在下列三种情况下求 ABP的值 1 AB 2 BA 3 8 1 ABP 4 设 A B 为两个事件 0 5P B 0 3P AB 求 BAP 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 3 1 3 古典概型与几何概型 1 一批产品共 10 件 其中一等品 3 件 二等品 5 件 三等品 2 件 现 从中任取 3 件 求 1 恰好有两件一等品的概率 2 至少有 2 件产品 的等级相同的概率 2 从 5 双不同的鞋中任取 4 只 求这 4 只鞋子中至少有两只能配成一双 的概率 3 将 3 个球随机地放入 4 个杯子中去 求杯子中球的最大个数分别为 1 2 3 的概率 4 在区间 1 0 中随机地取两个数 求事件 两数之差的绝对值小于 2 1 的概率 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 4 1 4 条件概率 1 1 已知 2 1 3 1 4 1 BAPABPAP求 BAP 2 已知 5 0 4 0 3 0 BAPBPAP 求条件概率 BABP 2 掷两枚均匀的骰子 已知它们出现的点数各不相同 求其中有一个点数 为 4 的概率 3 假设有 3 箱同型号的零件 分别装有 25 件 20 件 15 件 而一等品分 别有 20 件 18 件 12 件 现在等可能地任选一箱 从中先后各随机抽取 一个零件 第一次取到的放回 1 计算两次都取到一等品的概率 2 已知两次都取到了一等品 求取自第一箱的概率 4 甲袋中有 4 个红球 2 个白球 乙袋中有 5 个红球 3 个白球 从甲袋中任 取 2 球放入乙袋 再从乙袋中任取一球 求 1 乙袋中取得红球的概率 2 已知从乙袋中取到红球 求从甲袋中取到一个红球一个白球的概率 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 5 1 5 事件的独立性 1 72 0 4 0 6 0 3 0 CBPABPCPAP B与C独 立 求 BAP 2 加工一个产品要经过三道工序 第一二三道工序不出废品的概率分别 为 0 9 0 95 0 8 若假定各工序是否出废品是独立的 求经过三道工序生产 出的是废品的概率 3 某种电子元件寿命在 1000 小时以上的概率为 0 8 求 3 个这种元件使 用 1000 小时后 最多只坏了一个的概率 4 甲乙二人轮流投篮 甲先开始 假定他们命中的概率为 0 4 及 0 5 则 甲先投中的概率为多少 乙先投中的概率为多少 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 6 第一章 自测题 一 填空题 1 已知 5 1 5 4 BAPAP 则 BAP 2 设BA 互不相容 且 qBPpAP 则 ABP BAP 3 5 0 4 0 3 0 BAPBPAP 则 ABP BAP 4 1 0 3 P B AP A BP A 则 BP 5 两个相互独立的事件 A B 都不发生的概率为 9 1 A 发生 B 不发生的 概率与 B 发生 A 不发生的概率相等 则 AP 6 一袋中有 2 个黑球和若干个白球 现有放回地摸球 4 次 若至少摸到一 个白球的概率为 81 80 则袋中有 个白球 7 箱中有 6 个球 其中 2 个红球 4 个白球 有放回的从中抽取 4 次 每 次抽取一球 则至少 2 次抽到红球的概率为 8 袋中有 50 个球 20 个黄色 30 个白色 两人依次从中任取一球 取后 不放回 则第二个人取到黄球的概率为 9 某动物出生后活到 20 岁的概率为 0 7 活到 25 岁的概率为 0 56 求现 年 20 岁的这种动物活到 25 岁的概率 10 甲 乙二人各投篮一次 设甲投中的概率为 0 7 乙投中的概率为 0 8 则甲 乙二人至少有一人投中的概率为 11 某机床三分之一的时间加工零件 A 其余时间加工零件 B 加工 A 时 停机的概率为 0 3 加工 B 时停机的概率为 0 4 则机床停机的概率是 二 选择题 1 设 A B 为两随机事件 且AB 则下列式子正确的是 A APBAP B APABP C BPABP D APBPABP 2 设 A B 是两个随机事件 且 1 0ABPABPBPAP 则一定有 A BAPBAP B BAPBAP C BPAPABP D BPAPABP 3 设事件 A 与 B 同时发生时 事件 C 必发生 则正确的结论是 A 1 BPAPCP B 1 BPAPCP C ABPCP D BAPCP 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 7 4 掷两颗质地均匀的骰子 出现的点数之和为 7 的概率为 A 6 1 B 9 1 C 12 1 D 18 1 5 一个班级中有 8 名男生和 7 名女生 今要选出 3 名学生参加比赛 则选 出的学生中 男生数多于女生数的概率为 A 65 36 B 65 25 C 15 8 D 3375 1856 6 在某一问卷调查中 有 50 的被访者会立刻答完并上交问卷表 在没有 立刻上交问卷表的被访者中 有 40 的人会在调查人员的电话提醒下 送回问卷表 如果只有 4 人参加这样的问卷调查 则至少有 3 人没有 任何回音的概率为 A 7 03 043 0 34 B 7 03 04 3 C 33 7 03 04 D 3 07 047 0 34 三 计算题 1 一间宿舍中住有 6 名学生 计算下列事件的概率 假定每人生日在各个 月的可能性相同 1 6 个人中至少 1 人生日在十月份的概率 AP 2 6 个人中恰好有 4 个人的生日在十月份的概率 BP 3 6 个人中恰好有 4 个人的生日在同一个月份的概率 CP 2 在分别写有 1 2 3 4 5 这五个数字的卡片中不放回地抽取 2 次 每次1 张 求 1 第 1 次取到奇数卡的概率 2 已知第 1 次取到的是偶数卡 求第 2 次取到奇数卡的概率 3 第 2 次才取到奇数卡的概率 4 第 2 次取到奇数卡的概率 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 8 3 有枪 8 支 其中 5 支经过试射校正 校正过的枪 击中靶的概率为 0 8 未经校正的枪 击中靶的概率是 0 3 今任取一支枪射击 结果击中靶 问此枪经过试射校正的概率是多少 4 已知每枚地对空导弹击中敌机的概率为 0 96 问需要发射多少枚导弹才 能保证至少有一枚导弹击中敌机的概率大于 0 999 5 设有甲 乙 丙三门炮 同时独立地向某目标射击 各炮的命中率分别 为 0 2 0 3 和 0 5 目标被命中一发而被击毁的概率为 0 2 被命中两 发而被击毁的概率为 0 6 被命中三发而被击毁的概率为 0 9 求 1 三门炮在一次射击中击毁目标的概率 2 在目标被击毁的条件下 只有一门炮击中目标的概率 6 把长为l的棒任意折成 3 段 求此三段能构成一个三角形的概率 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 9 7 在空战训练中 甲机先向乙机开火 击落乙机的概率为 0 2 若乙机未 被击落 就进行还击 击落甲机的概率是 0 3 若甲机也没被击落 则 再进攻乙机 此时击落乙机的概率是 0 4 求这几个回合中 1 甲机 被击落的概率 2 乙机被击落的概率 8 设随机事件A与B相互独立 证明A与B也相互独立 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 10 第二章 随机变量的分布与数字特征 2 1 随机变量及其分布 1 离散型随机变量X的概率分布为 1 100 1 2 iaiXP i 2 2 1 2 iaiXP i 分别求 1 和 2 中a的值 2 袋中有 5 个黑球 3 个白球 每次抽取 1 个不放回 直到取得黑球为止 记X表示取到白球的数目 求X的分布 3 设随机变量 其它 0 20 xbax xfX 且25 0 31 XP 4 设 随 机 变 量 其它 0 1 2 10 axx xx xfX 求a及 2 2 1 XP 2 2 2 XP 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 11 5 某 电 子 元 件 的 寿 命X是 随 机 变 量 其 密 度 函 数 为 100 0 100 100 2 x x xxf 三个元件串联在一个线路中 计算这三个元件 使用 150 小时后仍能使线路正常工作的概率 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 12 2 2 随机变量的数字特征 1 某自动流水线在单位时间内生产的产品中 含有次品X个 已知X的 分布如下 X0 1 2 3 4 5 p 1 12 1 6 1 4 1 4 1 6 1 12 1 求该流水线在单位时间内生产的次品数的数学期望及方差 2 求 2 2 E X 2 4 人进行射击比赛 每人发射 4 发 在射击时 约定某人全部不中得 0 分 只中一弹得 15 分 中两弹得 30 分 中三弹得 55 分 中四弹得 100 分 四 人射击的命中率都为 0 6 求 4 人射击总得分的数学期望 3 设某企业生产线上的产品合格率为 0 96 不合格的产品中只有 3 4 产品 可进行加工 且再加工后的合格率为 0 8 其余均为废品 设每生产一件 合格品可获利 80 元 每生产一件废品亏损 20 元 为保证该企业每天平均 获利不低于 2 万元 问企业每天至少生产多少产品 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 13 4 设随机变量X服从参数为 1 的指数分布 求 2X eXE 5 设随机变量X的密度函数为 2 5 随机变量函数的分布 1 设随机变量X的分布函数为 0 1 0 2 10 0 5 01 0 9 12 1 2 x x F xx x x 求 2 YX 的 分布律 2 设随机变量 02 2 0 X x x Xfx x x 则 EX 2 12 XE 3 设随机变量 X 的分布函数为 arctan xBAxF aXP 用分布 函数表示 6 若随机变量X的概率密度为 xfX 则随机变量XY3 的概率密度 yfY 7 离 散 型 随 机 变 量 的 概 率 分 布 为 2 1 4 3 iaiXP i 则 a 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 18 8 随机变量X的分布函数 2 0 2 1 2 x x x A xF 则 A 40 XP 密度函数 xf 12 若 XP 二 计算题 1 已知随机变量X的密度函数 其它 0 0 sin axx xf 求 1 a 2 3 XP 3 分布函数 xF 2 设连续型随机变量X的分布函数为 1 1 11 2 1 arctan 2 1 0 x xx x xF 求 1 X的密度函数 2 DXEX 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 19 3 设随机变量X的密度函数 0 0 0 x xe xf x 每个零件的成本为 2 元 假设每 个零件的售价为 5 元 并且当零件的寿命低于 900 小时时厂家将退还 全部货款 求该厂家售出每个零件的期望利润 3 校对一份 5 页的稿件 假定每页的错误数服从参数为 2 的泊松分布 求 1 恰有一页错误数不超过 1 个的概率 2 至少有一页错误数不超 过 1 个的概率 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 21 4 假设某居民区每个用户的煤气月使用量服从正态分布 平均用量为 39 5 立方米 标准差为 10 立方米 试求在该居民区随意调查的三个用户中 有两户的煤气用量都在 25 到 30 立方米之间的概率 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 22 第三章 随机向量 3 1 随机向量的分布 1 设二维随机向量 YX的概率分布为 Y X 0 1 2 0 a 0 2 0 2 1 0 3 0 1 0 1 求 1 a的值 2 X Y的边缘分布 3 P XY 4 0 XYP 5 1 0 F 2 把一枚均匀的骰子独立地抛掷两次 X 表示第一次出现的点数 Y 表示 两次出现的点数的最大值 求 1 YX的概率分布 2 X Y的边 缘分布 3 P XY 4 2 P XY 3 设 YX服从 10 20 yxyxG上的均匀分布 求 1 YX的概率密度函数 2 X和Y的边缘密度函数 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 23 4 设随机向量 YX的密度函数为 2 01 02 0 xcxyxy f x y 其他 求 1 常数c 2 1 P XY 3 X和Y的边缘密度函数 5 设随机向量 YX的密度函数为 2 01 0 kxyyx f x y 其他 求 1 k 2 X和Y的边缘密度 3 3 1 XP 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 24 3 2 条件分布与随机变量的独立性 1 一个袋内装有 5 个白球 3 个红球 第一次从袋内任意取一个球 不放 回 第二次又从袋内任意取两个球 i X表示第 i 次取到的白球数 i 1 2 求1 2 X的条件下 1 X的条件分布 2 随机向量 YX只取 2 1 1 1 0 0 及 0 2 四对值 相应概 率依次为 12 5 3 1 6 1 12 1 试判断随机变量 X 与 Y 是否独立 3 设二维随机向量 YX的密度函数为 其他 10 10 0 2 yxCxy yxg 求常数 C 并判断 X 与 Y 是否独立 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 25 4 设二维随机变量 YX 的概率密度函数 其他 0 0 yxe yxf y 1 求YX 的边缘密度函数 2 判断YX 是否独立 3 求在yY 的条件下 X的条件概率密度函数 4 求 12 YXP 5 求 4 2 YXP 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 26 3 3 随机向量函数的分布与数学期望 1 设随机变量 X 与 Y 相互独立 且 X Y 的概率分布分别为 X 0 1 Y 1 2 p 4 1 4 3 p 5 2 5 3 试求 1 二维随机向量 YX的分布 2 随机变量YX 与 XY 的概率分布 2 设二维随机向量 YX服从 10 20 yxyxD上的均 匀分布 求XYZ 的密度函数 3 已 知 二 维 随 机 向 量 YX的 分 布 如 习 题1 1 所 示 求 YXEEXYEYEX 4 已知 YX的密度函数为 其他 10 20 0 31 4 1 2 yx yx yxf 试求EX EY 及 YXE EXY Y X E 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 27 3 4 随机向量的数字特征 1 已知随机向量 YX的概率分布为 8 18 18 11 8 108 10 8 18 18 11 101 X Y 1 求X与Y的协方差矩阵以及相关系数 2 X与Y是否相互独立 是否不相关 2 设 YX服从二元正态分布 5 0 4 1 1 0 N 求 32 2 XYXE 3 已知 9 2 NX 4 2 Y 5 EXY 求 1 32 YXD 2 cov YXYX 4 设二维随机变量 YX 的概率密度函数为 其他 0 2020 8 1 yxyx yxf 求 YXDEYEX XY 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 28 5 已知随机向量 YX的密度函数为 其他 0 10 12 2 xyy yxf 求 YX YXDYDXEYEX cov 3 5 大数定律和中心极限定理 1 一盒同型号螺丝钉共有100个 已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机 变量 期望值是100克 标准差是10克 求一盒螺丝钉的重量超过10 2 千克的概率 2 已知一本300页的书中每页印刷错误的个数服从泊松分布 2 0 P 求 这本书的印刷错误总数不超过70的概率 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 29 3 某城市的市民在一年里遭遇交通事故的概率达到千分之一 为此 一家 保险公司决定在这个城市中新开一种交通事故险 每个投保人每年缴纳18 元保险费 一旦发生事故 投保人将得到1万元的赔偿 经调查 预计有 10万人会购买这种保险 假设其他成本为40万元 问保险公司亏本的概 率多大 平均利润多少 4 银行为支付某日即将到期的债券须准备一笔现金 已知这批债券共发行 了500张 每张须付本息1000元 设持券人 一人一券 于债券到期之日 到银行领取本息的概率为0 4 问银行于该日应准备多少现金才能以99 9 以上的把握满足客户的兑换 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 30 第三章 自测题 一 填空题 1 若 YX的概率分布如下表所示 则 a b 应满足的条件是 若 X 和 Y 独立 则 a b 2 设随机向量 YX的密度函数 其他 0 20 11 yxc yxf 则 c 1 1 YXP 4 设 YX的密度函数 其他 0 10 8 yxxy yxf 则在 10 yyY的条件下X的条件密度函数为 yxf YX 5 设随机变量 3 0 10 bX 7 1 UY 且X与Y相互独立 则 2 2 YXYE 6 设 YX为二维随机向量 且6 0 36 25 YX YDXD 则 YXD 2 YXD 7 设随机变量 4 2 1 3 NYNX 且X与Y相互独立 则 112 YX 二 选择题 1 若二维随机向量 YX满足EYEXXYE 则 A DYDXXYD B YXDYXD C X与Y相互独立 D X与Y不相互独立 2 设随机变量X与Y独立同分布 且 5 011 YPXP X Y 1 2 3 1 1 6 1 9 1 18 2 1 3 a b 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 31 5 011 YPXP 则 A YX B 25 0 YXP C 5 0 YXP D 1 YXP 3 设随机变量 21 X X的概率分布为 2 1 4 12 14 1 101 i P Xi 且 10 21 XXP 则 21 XXP A 0 B 1 4 C 1 2 D 1 4 设两个相互独立的随机变量X和Y分布服从正态分布 1 0 N和 1 1 N 则下列结论正确的是 A 5 00 YXP B 5 01 YXP C 5 00 YXP D 5 01 YXP 5 设随机变量 X 与 Y 相互独立 且 10 41 NYNX 令 YXZ 则 2 EZ A 1 B 4 C 5 D 6 6 已知随机变量YX 不相关 有关数字特征均存在 则以下结论中不成 立的是 A 0 Cov YX B DDYDXYX C DYDXXYD D EYEXXYE 7 若X与Y的相关系数0 XY 则表示X与Y A 相互独立 B 不线性相关 C 存在常数ba 使得1 baXYP D EY EX Y X E 三 计算题 1 设袋中有4个球 分别标有号码1 2 3 4 现从中每次任取1个球 不放 回抽取两次 YX 分别表示取出的球上的最小号码和最大号码 求 YX的概率分布并判断X与Y的独立性 计算DYDXEYEX 2 设二维随机向量 YX的概率分布为 Y X 1 0 1 0 0 1 0 25 0 3 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 32 1 0 15 0 1 0 1 试求 1 YX 的边缘分布 2 cov YX YXD 和 XY 3 设A B为两个随机事件 且 4 1 AP 3 1 ABP 2 1 BAP 令 不发生 发生 A A X 0 1 不发生 发生 B B Y 0 1 求 1 二维随机变量 YX的概率分布 2 X与Y的相关系数 XY 3 22 YXZ 的概率分布 4 设随机变量X在区间 10 上服从均匀分布 在 10 YXP 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 33 5 设随机向量 YX的密度函数为 其他 0 10 2 yxyx yxf 1 求YX 的边缘密度函数 并判断YX 是否相互独立 2 求 1 YXP 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 39 3 设 n XXX 21 是来自正态总体 2 0 2 N的简单随机样本 试求系数 cba使得统计量 2 9876 2 543 2 21 XXXXcXXXbXXaW 服从 2 分布 并求自由度 四 证明题 1 已知 121 nn XXXX 是取自正态总体 2 N的样本 试证明 1 0 1 1 2 1 1 1 n n NX n XY n i in 2 已知 ntX 证明 1 2 nFX 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 40 第五章 参数估计与假设检验 5 1 点估计概述 1 设总体 2 NX 其中 未知 2 已知 又设 n XXX 21 是来自总体X的样本 试指出以下各量是不是统计量 在统计量中哪些是 的无偏估计量 并说明理由 1 321 6 1 3 2 2 1 XXX 2 2 3 1 2 X 3 3 X 4 n i i X 1 2 2 2 假设总体 X 服从参数为 的泊松分布 n XXX 21 是来自总体 X 的简单随机样本 其均值为X 样本方差 n i i XX n S 1 22 1 1 已知 2 32 SaXa 为 的无偏估计 计算 a 3 设总体 X 服从参数为 p 的 0 1 分布 n XXX 21 是来自总体 X 的 简单随机样本 试证 n S Xp 2 22 是 2 p的无偏估计 4 设 是 的无偏估计量 且有0 D 证明 2 不是 2 的无偏估计 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 41 5 设 n XXX 21 是来自于总体 1 N的简单随机样本 试证估计量 3 2 3 1 3 2 3211 XXX 3 1 3 1 3 1 3212 XXX 3213 2 1 2 1 XXX 均是 的无偏估计量 并指出哪一个估计量最为有效 5 2 参数的最大似然估计与矩估计 1 设 n XXX 21 是来自总体X的简单随机样本 试求下列总体分布 中未知参数的矩估计与最大似然估计 1 X的密度函数为 为未知参 数 2 X服从参数为 的指数分布 0 为未知参数 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 42 3 X服从参数为 的泊松分布 0 为未知参数 2 总体X具有分布律 22 1 1 2 321 P X 其中 10 为 未知参数 已知随机抽样取得样本值1 2 1 321 xxx 试求参数 的 矩估计值和最大似然估计值 5 3 置信区间 1 为了对完成某项工作所需时间建立一个标准 工厂随意抽选了16名有 经验的工人分别去完成这项工作 结果发现他们所需的平均时间为13 分钟 样本标准差为3分钟 假定完成这项工作所需的时间服从正态 分布 试确定完成此项工作所需平均时间的95 置信区间 2 随机地从一批零件中抽取16个 测得长度 cm为 2 14 2 10 2 13 2 15 2 13 2 12 2 13 2 10 2 15 2 12 2 14 2 10 2 13 2 11 2 14 2 11 设零件长度分布为正态分布 试求总体 的90 的置信区间 1 若0 01 cm 2 若 未知 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 43 3 从某校初一年级中随机抽取20名学生 他们的数学期末考试成绩为 81 84 74 98 66 99 84 97 92 69 48 87 72 100 84 88 41 55 49 64 设该年级学生的数学成绩X服从正态分布 2 N 求 1 该年级学生的数学平均成绩 的95 的置信区间 2 该年级学生数学成绩的方差 2 的95 的置信区间 5 4 假设检验概述 5 5 单正态总体的参数假设检验 1 某电器零件的平均电阻一直保持在 64 2 标准差保持在 06 0 改 变加工工艺后 测得100个零件 其平均电阻为 62 2 标准差不变 问 新工艺下此零件的平均电阻有无显著变化 05 0 2 食品厂用自动装罐机装罐头食品 每罐的标准重量为g500 每隔一定 的时间 需要检验机器的工作情况 现抽得10罐 测得其重量 单位 g 的 平 均 值 为498 x 样 本 方 差 22 5 6 s 假 定 罐 头 的 重 量 2 NX 试问机器的工作是否正常 显著性水平02 0 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 44 3 某机床生产某种型号零件的直径 单位 mm 在正常状态下服从正态 分布 2 30 N 某日开工后测得6件该型号零件的直径分别为 28 27 31 29 30 27 mm 根据测试结果判断该天机床工作是否正常 05 0 4 9名测量人员独立测量同一块土地 分别得到面积数据为 单位 2 km 1 24 1 29 1 28 1 26 1 22 1 28 1 26 1 27 1 25 设测量值服从正态分布 由观测数据能否说明这块土地面积超过1 26 2 km 05 0 5 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布 且标准差为 0 048 从某 天产品中抽取 5 根纤维 测得其纤度为 1 32 1 55 1 36 1 40 1 44 问这一天纤度的总体方差是否正常 05 0 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 45 6 某炼铁厂的铁水含碳量X在正常条件下服从正态分布 108 0 2 N 现对操作工艺进行了某些改进 从中抽取5个样品 测得含碳量为 4 421 4 052 4 357 4 287 4 683 据此是否可以认为新工艺炼出的 铁水含碳量的方差仍为 2 108 0 05 0 7 某厂生产的铜丝 要求其折断力的方差不超过 2 16N 今从某日生产的 铜丝中随机抽取容量为8的样本 测得其折断力如下 单位 N 289 286 285 284 285 286 298 292 设总体服从正态分布 问该日生产的铜丝的折断力的方差是否符合标 准 05 0 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 46 5 6 双正态总体的参数假设检验 1 设甲 乙两台车床生产同一种产品 今从甲车床生产的产品中抽取30 件 测得平均重量为130克 从乙车床生产的产品中抽取40件 测得平 均重量为125克 假定两台车床生产的产品的重量都服从正态分布 方差 分别为80 60 2 2 2 1 问在显著性水平05 0 下 两台车床生产的 产品重量是否有显著差异 2 甲 乙两厂生产同种灯泡 其寿命YX 分别服从正态分布 2 11 N 2 22 N 已知他们寿命的标准差分别为84h和96h 现从两厂生产的 灯泡中各取60只 测得平均寿命分别为1295h和1230h 能否认为甲厂生 产的灯泡的寿命比乙厂生产的灯泡的寿命长 05 0 3 有甲 乙两台机床加工相同的产品 从这两台机床加工的产品中随机地 抽取若干件 测量它们的直径 单位 mm 数据如下 397 0 20 7 216 0 925 19 8 2 22 2 11 synsxn 试比较甲 乙两台机床加工的产品直径均值有无显著差异 假定两台机床 加工的产品直径都服从正态分布 且总体方差相等 05 0 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 47 4 假设机器A和机器B生产同型号的钢管 要检验A和B生产的钢管的 内径的稳定程度 设它们生 产的钢管 内径分别 为 X和Y 且 2 22 2 11 NYNX 现从A生产的钢管中抽出16 根 测得 34 0 2 1 s 从B生产的钢管中抽出13根 测得 29 0 2 2 s 设两组样本 相互独立 问是否能认为两台机器生产的钢管内径的稳定程度相同 1 0 5 甲 乙两台车床生产同一种滚珠 滚珠直径服从正态分布 从两台车床 生产的滚珠中分别抽取8个和9个产品 测得其直径为 单位 mm 甲 15 0 14 5 15 2 15 5 14 8 15 1 15 2 14 8 乙 15 2 15 0 14 8 15 2 15 0 15 0 14 8 15 1 14 8 问能否认为乙车床生产的滚珠直径的方差小于甲车床生产的滚珠直径的 方差 取05 0 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 48 6 为了研究矽肺患者肺功能变化情况 假定矽肺患者的肺活量服从正态分 布 某医院对 期矽肺患者各 21 名测定其肺活量 得到第 期患者 肺活量的平均数为 2710 毫升 标准差为 147 毫升 期患者肺活量的平 均数为 2830 毫升 标准差为 118 毫升 对水平05 0 试问第 期矽肺患者的肺活量有无显著差异 第五章 自测题 一 填空题一 填空题 1 设总体X的均值 EX 方差 2 DX 其中 是未知参数 n xxx 21 是 来 自X的 一 组 样 本 观 测 值 则 的 矩 估 计 为 2 的矩估计为 2 2 已知总体X服从参数为 的泊松分布 n xxx 21 是来自 X 的一组样 本观测值 则 的矩估计为 3 设总体X的密度函数 是未知参 数 n xxx 21 是来自X的一组样本观测值 则似然函数 L 4 设总体X的均值 EX 方差1 DX 23 321 XXXk 为 的一个估计量 其中 321 XXX为X的样本 k为常数 则当 k 时 为 的无偏估计量 此时 D 5 设 为总体X的未知参数 21 为统计量 若 21 为 的置信度 为 10 1 的置信区间 则 21 P 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 49 6 一名汽车销售经理正在考虑采取一种新型的奖励计划以提高销售量 目 前 平均每月销售 14 辆汽车 经理通过研究想知道这种新型的奖励计 划能否增加销量 在该项研究中 合适的原假设和备择假设为 7 假设检验的实际推断原理是 8 设 101 xx 是来自 2 N的样本 其中 2 未知 考虑假设检验问 题10 10 10 HH 显著水平05 0 则此检验的拒绝域 为 26 2 9 025 0 t 二 判断题二 判断题 1 设总体X的密度函数为 xf是未知参数 对于总体的一组样本观 测值 21n xxx 则 n i i xf 1 是参数 的函数 2 最大似然估计就是要找出一个估计量 使得似然函数的对数取最大 值 即 lnmax ln LL 3 对于给定的置信度 任一未知参数的置信区间都是唯一的 4 对于任一总体X 样本方差 n i i XX n S 1 22 1 1 都是总体方差 2 的无偏估计量 5 任一总体的未知参数 的最大似然估计量一定是无偏估计量 6 假设检验中 若检验法选择正确 且计算无误 则计算精确就可避免做 出错误判断 三 计算题三 计算题 1 设总体 2 2 NX 321 XXX是它的样本 试问 32123211 12 5 4 1 3 1 7 2 7 3 7 2 XXXXXX 213 6 1 3 1 XX 3 2 1 X 是否都是 的无偏估计量 并问哪个估计量最有效 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 50 2 用最大似然估计法估计几何分布 1 1 k ppkXP 2 1 k 中的未知参数 p 3 设总体X的密度函数为 为未 知参数 n xxx 21 是X的一组样本值 试求 的最大似然估计 4 某工厂滚珠车间 根据长期实践经验 滚珠直径服从正态分布 05 0 2 N 现从生产的滚珠中任取6个 测得直径为 1 152 158 149 141 156 11 试求该车间生产的滚珠直径的均值的置信区间 05 0 5 某食品公司连续统计了12个月的猪肉销售量 单位 吨 数据如下 45 42 39 36 5 42 43 5 39 5 42 40 46 5 43 45 假设猪肉的销售量X服从正态分布 试求其方差 2 的置信区间 05 0 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 51 四 应用题四 应用题 1 某厂生产的电池的寿命均值一直稳定在30 小时 今用新工艺生产电 池 假定其寿命 2 NX 参数均未知 从用新工艺生产的电池 中随机地抽取9个 测得 9 32 2 sx 1 求 的置信度为0 95的置信区间 2 与以往相比 用新工艺生产的电池的寿命均值是否有显著提高 05 0 2 某洗衣粉包装机 在正常工作情况下 每袋标准重为1000克 标准差 不能超过15克 假设每袋洗衣粉的净重服从正态分布 某天为检查机器 工作是否正常 从已包装好的洗衣粉中 随机地抽查10袋 测得净重 克 为 950 982 976 998 1048 1014 994 968 1030 1020 问这天机器工作是否正常 05 0 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 52 3 从甲 乙两校的高考英语试卷中各抽27份和26份 其英语平均分分别 为67分和71分 假定两校学生的高考英语成绩均服从正态分布且标 准差均为8分 试问两校高考英语成绩有无显著差异 05 0 4 有两台车床生产同一型号的滚珠 根据以往经验 这两台车床生产的滚 珠的直径服从正态分布 现在从这两台车床生产的产品中分别抽取8 个和9个 测得滚珠的直径的标准差分别为 7 67 0 和 8 21 0 问乙车床 产品的方差是否比甲车床的小 05 0 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 53 2012 2013 第第 1 学期概率论与数理统计期中试卷学期概率论与数理统计期中试卷 一一 填空题填空题 每空3分 共30分 1 4 1 CPBPAP 16 1 0 BCPACPABP 则 CBA 均不发生的概率为 2 设8 0 6 0 5 0 ABPBPAP 则 ABP 3 袋中有5个白球和3个黑球 从中任取2个球 则取得的2球颜色相 同的概率为 4 从0 1 2 3 4五个数中任意取三个数 则这三个数中不含0的概 率为 5 从 0 1 中随机地取出两个数 则两个数之和小于 5 6 的概率为 6 一个工厂有一 二 三3个车间生产同一种产品 每个车间的产量分 别占总产量的25 35 40 如果每个车间成品中的次品率分别为 5 4 2 则从全厂产品中任取一件 取出的是次品的概率为 7 在某一问卷调查中 有50 的被访者会立刻答完并上交问卷表 在没 有立刻上交问卷表的被访者中 有40 的人会在调查人员的电话提醒下送 回问卷表 如果只有4人参加这样的问卷调查 则至少有3人没有任何回 音的概率为 8 已知随机变量X的分布列为 k kXP 2 1 3 2 1 k 则 42 XP 9 设 随 机 变 量的 分 布 列 为 1 2 3 2 i P Xii a 则 2 P X 10 设随机变量 X 的分布函数 3 1 31 8 0 11 4 0 1 0 x x x x xF 则 13 PX 二二 计算题计算题 1 15分 设考生的报名表来自三个地区 分别有10份 15份 25份 其中女生的分别为3份 7份 5份 随机地从一地区先后任取2份报名 表 求 1 先取的那份报名表是女生的概率 2 已知先取的那份报名 表是女生 则该表来自于第一个地区的概率 3 先取的那份报名表是女 生的 且后取到的报名表是男生的概率 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 54 2 13分 随机变量 其它 x cx xf X 0 20 求 1 c 2 1 XP 3 一元二次 方程012 2 Xxx有实根的概率 3 12分 设随机变量 4 0 UX 用Y表示对X独立重复观测中 事 件 1 XA首次发生时观测的总次数 求 1 概率 P A 2 概 率 4 YP 3 数学期望EY 4 10分 设随机变量X的密度函数为 其它 0 8 1 3 3 2 x x xf xF是 X的分布函数 求 XFY 的密度函数 yfY 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 55 2011 2012 学年第一学期 概率论与数理统计 试卷 一 填空题 本题共 6 小题 每小空 2 分 满分 20 分 一 填空题 本题共 6 小题 每小空 2 分 满分 20 分 1 设A B是随机事件 8 0 AP 6 0 BP 则当A与B互不 相 容 时 BAP 当A与B相 互 独 立 时 BAP 2 设5 0 AP 4 0 BP 6 0 BAP 则 BAP BAP 3 假设笼子里有 6 只黑猫 4 只白猫 打开笼子 猫依次跑出 则第 6 只 跑出的是黑猫的概率为 4 设随机变量X服从参数为 2 的指数分布 则 EX 2 EX 5 设 n XX 1 是来自总体 0 UX的一个样本 样本均值为X 若Xc是参数 的无偏估计量 则 c XcD 6 设某微机系统有 120 个终端 每个终端有 5 时间在使用 若各终端使 用与否是相互独立的 则由中心极限定理知 有不少于 10 个终端在使用 的概率为 二 选择题 本题共 5 小题 每小题 2 分 满分 10 分 二 选择题 本题共 5 小题 每小题 2 分 满分 10 分 1 设 2 NX 那么当 增大时 XP将 A 增大 B 减小 C 不变 D 增减不定 2 若 1 X与 2 X相互独立 并且2 1 5 0 1 0 iXPXP ii 则下列结论正确的是 A 21 XX B 1 21 XXP C 5 0 21 XXP D 以上都不正确 3 设随机变量X的密度函数 x x c xf 1 2 则c的值是 A 1 B 2 C 1 D 2 4 若 2 11 NX 2 22 NY 则 YX的联合分布为 A 二维正态 且相关系数为 0 B 二维正态 且相关系数不确定 C 未必是二维正态 D 以上都不正确 5 设 2 NX其中 已知 2 未知 321 XXX是一个样本 则 下列选项中不是不是统计量 A 321 XXX B max 321 XXX C 1 X D 3 1 2 2 i i X 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 56 三 计算题 本题共 4 小题 满分 40 分 三 计算题 本题共 4 小题 满分 40 分 1 6 分 某工厂由甲 乙 丙三个车间生产同一种产品 每个车间的产 量分别占全厂的 25 35 40 各车间产品的次品率分别为 5 4 2 求 1 从全厂产品中任取一件是次品的概率 2 若任取一件产品发现是次 品 则此次品是甲车间生产的概率 2 12 分 已知离散型随机变量X的分布律为 05 03 025 04 0 2101 i p X 求 1 随机变量1 2 XY的分布律和 分布函数 2 关于x的一元二次方程034 2 Xxx有实数根的概率 3 YXCov 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 57 3 14 分 设区域D是由直线1 xxy和x轴围成的区域 二维随机 变量 YX服从区域D上的均匀分布 求 1 YX的边际密度函数 xfX和 yfY 并判断X和Y的独立性 2 概率 1 XYP 3 条件密度函数 xyf XY 4 YX Ee 4 8 分 设 n XX 1 为总体X的一个样本 X的密度函数 求参数 的矩估计量和最大似然估 计量 四 应用题 本题共 2 小题 满分 20 分 四 应用题 本题共 2 小题 满分 20 分 1 8 分 随机地从一批零件中抽取 16 个 测得长度 cm 为 2 14 2 10 2 13 2 15 2 13 2 12 2 13 2 10 2 15 2 12 2 14 2 10 2 13 2 11 2 14 2 11 设零件长度分布为正态分布 试求当总体标准差 01 0 cm 已知时 总体 的 90 的置信区间 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 58 2 12 分 某食品厂生产的袋装食品中维 C 的含量X服从正态分布 现 对操作工艺发生了改变 从中选取 7 袋进行抽样检测 测得维 C 含量数据 如下 4 052 4 683 4 394 4 287 4 421 4 326 4 357 是否可以 认为新工艺下 1 维 C 含量的期望仍为 4 3 2 维 C 含量的方差仍为 2 112 0 检验显著性水平均为05 0 五 证明题 本题共 2 小题 满分 10 分 五 证明题 本题共 2 小题 满分 10 分 1 4 分 设 n XX 1 是来自总体 2 NX的一个样本 样本均 值和样本方差分别为X和 2 S 1 n X是对总体X的又一独立观测值 则 统计量 1 1 n n S XX T n 1 nt 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 59 2 6 分 设二维随机变量 YX的联合密度函数为 2 1 21 yxyxyxf 其中 1 yx 和 2 yx 都是二维正 态密度函数 且 1 yx 和 2 yx 对应的二维随机变量的相关系数分别 为 3 1 和 3 1 1 yx 和 2 yx 的边际密度所对应的随机变量的数学期 望都是 0 方差都是 1 证明 X和Y不相关 本次考试可能用到的分位数 本次考试可能用到的分位数 955 0 7 1 95 0 645 1 9 0 28 1 000 341 1 15 753 1 15 1 005 0 tt 895 1 7 365 2 7 943 1 6 447 2 6 05 0025 005 0025 0 tttt 690 1 7 01