概率论习题解法探讨_对称性的运用.pdf

兰州商学院学报综合版年第 期总第期 概率论习题解法探讨 一一对 称性的运用 李伯德马育英 古典概 塑与几何慨塑是 古型概率论中最基本的两个模型 由于古典概型的问题中大量应 排 列组合方法 而排列组合的灵活性相 当大 因此主要也在这里给学生开始造成概效论习 题难做的 印象 我认 为在教学中首先应注意不能大量运用只是单纯计算排列组合的习题 不 能使重在掌握排列组合的计算技巧超过重在掌握概率论的基本概念其次在解题时对概率论 性 质的运用要给 予充分的注意 要注意概率论本身的特点 若注意了这点 对有些 问题复杂 的排列组合是可以避免的 本文仅就 对称性 的运用作一介绍 通过下面的例子我们将会 看到 由于巧妙地运用了对称性 使 问题迎刃而解 从而避免了冗长的计算 例设掷次均匀硬币 求 出现正面的次数 多于反面的次数的概率 解用表示 出现正面的次数多于反面的次数 表示 出现反面的次数 多于正 面 的次数 当为奇数时 由于 出现的正面次数与反面次数不会相等 因此对于与的逆事件 来说 由于正 反地位对称 因此由对称性可知 二二一妻 一 一 一 一一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 当 为偶数时 出现的正面次数与反面次数可能相等 而显然相等的概率为 五 一 一 于是可得 再利用对称性 二 就叫鼻得 尸 二一 舀 一 弓 日 例甲 乙两人掷均匀硬币 其中甲掷次 大 于乙掷出正面的次数 这一 事件的概率 解令甲正甲掷 出的正面次数 乙正乙掷 出的正面次数 甲反 二 甲掷 出的反而次数 乙反乙掷出的反 面次数 勺 乙掷次 求 甲掷出正 面的次数 于是所 求事件的概率为甲正乙正 而显然有 一 甲正乙正甲正三乙正甲反乙反 因为硬币是均 匀的 所以由对称性知 甲正乙正甲反乙反 故甲正乙正 二 一要 一 一 一 例对夫妇任意地排成一列 求每一位丈夫都排在他的妻子后面的概率 解用表示事件 第对夫妇丈夫排在妻子的后面 本题就是要求概率 由对 性 二 一奋 一因为对每一对夫妇来 色 或丈夫在 前或妻子在前 两者是等可 能的 由对称性还可进一步断定 是相互独立的 因为不可能有任何理由断定某对夫妇丈夫与妻子的位置的先后会影响别对夫妇丈夫与妻子位 置的先后 所以根据独立性有 八 一匕 也许有的读者对 相互独立的这一事实不大理解 那么我们就用排列 组合来直接计算 尽管用排列组合计算比较困难 引 卜 列的总数为 而有 利场合的 个数可 以这样来计算 首先 把位丈夫进行排列 共有种可能 然后让排在第一 的 那 位丈夫的妻子进人队伍 她显然只有种可能的位置 即排在最前面接着让排在第二位的 丈夫 的妻子进入队伍 现在她的丈夫之前已有两人 因此她有种位置可选择排在第三位 的丈夫的妻子进人队伍有种位置可选择 以此下去 最后那位丈夫的妻子有 一 个 位置可选择 因此有利场合数是 二一 二 一 所以本题所求的概率为 一 与前面的结果完全一致 然而这种做法的思路确实是难以想到的 而且计算又复杂 第 一种做法充分利用了概率论 的概念 从而计算简单 显然比后一种解法优越得多 例一副纸牌共有张 其中有三张 随机地洗牌 然后从顶上开始一张接一张地 翻牌 直至翻到 出现第二张为止 求翻过的纸牌数的平均值 解法一用言记翻过的纸牌数 本题就是要求言的数学期望言 下而先求 言的分 布列 言 排列的总数为 有利场合数可以这样来计算 注意到言 二 表示直到翻到第二张出 现为止共翻了张牌 所以第一张有 一 个位置可取 第三张有 一 个 位 置可取 而张可任意变换 一 张非也可任意变换 所以 言 二二 一 句 一一 一一 一 一一一 三三 一 所以考 二 习言 二 一 上式的计算过程比较繁 我们分两步计算 川为 一 一 习 玲 一十 一 一 十 十 一十 十 十 一 一 一 一 一 一 一一 一一 一卜 十十 一 十 十 十一 一 名 一一 一 一一 一一 一一一 一 卜 丁一 一卜 所以言 二 一 一 一一一 一一 一 一 一 一一 一一 上述解法比较繁 下面利用对称性介绍一种简单的解法 解法二假设从底里开始一张接一张地翻牌 也翻到 出现第二张为止 翻过的纸牌数 记为 由对称性知 从顶上开始翻与从底里开始翻情况是一样的 因此随机变量言与即的分 布完全是一致的 因而有相同的平均值 上述解法 固然简 单 但有其局限性 但由于言 十二 故言 一 因为它利用了从顶上开始翻与从底里开始翻到第二 张是同一张牌 如果要求翻到第一张出现为止或第三张出现为止翻过的纸 牌 数的平均 依 上述方法就失效了 因此在这 里介绍另一种解法 它没有这种局限性 解法三设想把纸牌一张接一张翻到底 把纸牌作全排列 这样三张就把整个 排列分 害成了四段记若 第一张之前的纸牌数 言 二 第一张与第二张之间的纸牌数 言 二 第二张与第三张之间的纸牌数 言 二 第三张之后的纸牌数 由于每种排列是等可能的 三张的分布是均 匀的 因此 由对称性知 四个随机 变量 言 若 一 言 与套 应该有相同的分布 从而有相同的平均值 所以言 考 二 参 言 古 二 占 十 考 十 但由于若考 十 言 十 若 一 现在 所以本题所求的翻过的纸牌数的平均值为言考 十 参 十 十 这个结果与前面两种解法所得的结果完全一致 用这个方法求翻到第一张出现为止翻 过的纸牌数的平均值也很容易 它等于有 一卜 一 十 同理可求得翻到第三张出现为止翻 过的纸牌数的平均值为 夸 十 言若 十二 十 最后这种解法的适用面较广 它可将上例推广到任意有限张的情形 这种解法的实质 就是运用对称性 由于在儿何概型问题中具有类似的对称性 因此这力法也可应用到几何概 型 问题中去 下面举几个例 子来说明 例设有一线段 在上随机地取一点 求线段的平均值 解记言 二 由对称性知 刃二 随机变量言与 刀应该有相同的概率分布 言 刃 但言 十刃 所以言 因而有相同的平均值 即 例设在区间 上随机地取 个点 求相距最远的两点间的距离的数学期望 解个点把区间 分成了 十 段 色们的长 度依 次 记为爹 考 若 有 根据对称性 每一个教的概率分布都应相 同 从而数学期望也相同 但吞 十 言 所 以 牛 一 一 一 相距最远的两 点间的距离为若 十 言 十 一 言 因此它的数学期望为一几早粤 十 例在圆周上先任取两点 连成一弦 再任取两点 也连成一弦 求两弦 相交的概率 解设在圆周上有四个点 现在设想随机地取两点连 成一弦 余下的两点也连成一弦 这样的考虑与本题所述 实际上是等价的 这样的 连结法 总 共只有三种 其 中一种连结法 使两弦相交 根据对称性知两弦相交的概率为 一犷 若读者对这种解法感到疑惑 勺话 尽 一 一 一 一 一 一 一 一 一一 刃 一 一 一 一 一 目 子 护一 可用其它方法来验证 不妨我们用连续性随机变量的全概率公式来解一下这道题 以记事件 与 相交 我们要求 设点先取定 再取点 则整个圆 周被点分成两段弧 工 与 以鱿己弧的长度 我们设圆周长为 则若 为 上均匀分布的随机变量 即言 的分布密度函数为 上的均 匀分 布 设言已取定 则与相交 相当 于 两点分别选取在不 同的 两段弧 上 点取在弧上的概率为 点取在 弧 上的概率为 一 由于两点的取 法独立 因此取在弧匕同 时取在弧 上 的概率为 一 同 理 取在弧上取在弧 工上的概率为 一 所以若 二二一 故根据连续型随机变量的全概率公式得 广 若 一 一 下转第 页 等的译法参见董鼎山 外国名字译音的问题 载 中 国翻译 一读音为 此外 一词 据 第 第二读音为 产 主要参考书目 戚雨村 语言学引论 上海外语教育出版社 徐世 荣 普通话语音知识 文字改革出版社 岁常培 王均 普通语音学纲 要 商务印书馆 叶蜚声 徐通锵 语音学纲要 北京大学出版社 张冠林 怎样 学习英国语音的音 上海外语教育出版社 谭载喜 论翻译 学的途径 外语教学与研究 金定元 部建中 洋腔 洋调 探源 语言教学与研究 论西方的翻译对等概念 中国翻译 接页 即两弦与相交的概率为一要 一 一 二 一 例在线段上任取三点 求位于 之间的概率 解记事件 表示 位于和之间 事件表示 事件 表示 由对称性知 但显