特征函数及其应用.doc

特征函数及其应用摘 要在概率论和数理统计中, 求独立随机变量和的分布问题是经常遇到的，经过人们不断的探索和研究，终于发现了另一个重要工具特征函数，它是处理许多概率论问题的有力工具，它能把寻求独立随机变量和的分布的卷积运算（积分运算）转换成乘法运算，本文介绍了特征函数的基本概念、主要性质以及特函数的一系列应用.关键词 随机变量 特征函数 积分ABSTRACTIn probability theory and mathematical statistics, find the distribution of independent random variables and the problem is often encountered after people continue to explore and research, finally found another important tool - characteristic function, it is to deal with many problems of probability theory powerful tool, it can seek independent random variables and the distribution of convolution (integral computation) into a multiplication, this article introduces the basic concepts of characteristic function, the main character and the special function of the number of applications.Key Words Random variable ,Characteristic function ,Integration目 录一、引言1二、特征函数的定义2三、常用分布的特征函数2四、特征函数的主要性质3五、特征函数的应用6六、结论10参 考 文 献11致谢1210特征函数及其应用一、引言随机变量是数学研究中经常遇到的一项重要内容。随机变量的分布函数则可以全面的描述随机变量的统计规律，但是，有时候分布函数或分布密度这些工具使用起来并不方便，如求独立随机变量和的分布密度，用卷积求太烦琐和复杂，这里将从介绍特征函数的定义、性质出发, 介绍如何用特征函数更方便、优越的表示随机变量的分布, 并在随机变量的基本性质引导下, 讨论并阐述特征函数的各种应用. 特征函数也是概率论中研究极限定理的重要工具。.二、特征函数的定义设是一个随机变量，称 , ,为的特征函数.因为，所以总是存在的，即任一随机变量的特征函数总是存在的.当离散随机变量的分布列为，则的特征函数为 , .当连续随机变量的密度函数为,则的特征函数为 , . 与随机变量的数学期望，方差及各阶矩阵一样，特征函数只依赖于随机变量的分布，分布相同则特征函数也相同，所以我们也常称为某分布的特征函数.三、常用分布的特征函数1、单点分布：其特征函数为 2、分布：，其特征函数为 ，其中. 3、泊松分布：，k=0,1，其特征函数为 . 4、均匀分布：因为密度函数为 所以特征函数为 . 5、标准正态分布：因为密度函数为 ， .所以特征函数为 =.其中 .四、特征函数的主要性质现在我们来研究一下特征函数的一些性质，其中表示的特征函数.1、.证明 =.2、,其中表示的共轭.证明 =.3、若Y=,其中，是常数，则 .证明 .4、独立随机变量和的特征函数为特征函数的积，即设与相互独立，则 .证明 因为与相互独立，所以与也是相互独立的，从而有 .5、若存在，则的特征函数可次求导，且对1k,有 .证明 因为存在，也就是 ，于是含参变量的广义积分可以对求导次，于是对，有 ,令=0即得 .6、一致连续性 随机变量的特征函数在（）上一致连续.证明 设是连续随机变量（离散随机变量的证明是类似的），其密度函数为，则对任意实数，和正数0,有 .对任意的，先取定一个充分大的，使得 ，然后对任意的x，只要取，则当时，便有 2.从而对所有的t，有 ，即在上一致连续.7、非负定性 随机变量的特征函数是非负定的，即对任意正整数，及个实数和个复数，有 .证明 设是连续随机变量，其密度函数为，则有 = = = =.8、唯一性定理 随机变量的分布函数有其特征函数唯一确定.证明 对的每一个连续点，当沿着的连续点趋于时，由逆转公式得 ，而分布函数由其连续点上的值惟一决定，故结论成立. 9、若为连续随机变量，其密度函数为，特征函数为，如果，则 .证明 记的分布函数为，由逆转公式知 =.再次利用不等式，就有.又因为，所以可以交换极限号和积分号，即 =.5、 特征函数的应用 1、在求数字特征上的应用 求分布的数学期望和方差.由于的分布的特征函数为,于是由得，,由此即得.我们可以看出用特征函数求正态分布的数学期望和方差, 要比从定义计算方便的多.2、 在求独立随机变量和的分布上的应用利用归纳法, 不难把性质4推广到个独立随机变量的场合,而是个相互独立的随机变量, 相应的特征函数为的特征函数为. 设是个相互独立的，且服从正态分布的正态随机变量.试求的分布.由于的分布为，故相应的特征为.由特征函数的性质的特征函数为 .而这正是的特征函数.由分布函数与特征函数的一一对应关系即知服从.3、 在证明二项分布收敛于正态分布上的应用在重贝努力实验中，事件A每次出现的概率为p(0p1)，为次试验中事件A出现的次数，则 .要证明上述结论只需证明下面的结论，因为它是下面的结论一个特例.若是一列独立同分布的随机变量，且则有.证明 设的特征函数为则 的特征函数为又因为所以于是特征函数有展开式 .从而对任意的t有， .而是分布的特征函数，由连续定理可知 .成立，证毕.我们知道在是服从二项分布.的随机变量，为“泊松分布收敛于正态分布” , 我们把上面的结论常常称为“ 二项分布收敛于正态分布”.4、在求某些积分上的应用我们知道可以用递推法，现在我们用特征函数来解决随机变量服从，其密度函数为：，其特征函数为：，故 ，所以 ,由特征函数的性质 ，又 ，故 .即 六、结论从上面的内容可以看出：特征函数并不是一个抽象概念，在概率论与数理统计的许多问题中，无论是证明还是应用，通过构造特