转折角处巧添辅助平行线举例.doc

平行问题，平行线来帮忙在解决有关平行问题的时候，有时需要添加必要的辅助线，而添加平行线作为辅助线，更是解决此类问题好的帮手.例1如图1所示，直线ab，求A的大小.分析要求A的大小，只有直线ab和现有角度的大小不能解决问题.于是想到过点A作ADb，这样利用平行线的知识即可求解.解过点A作ADb，则DACACF50.又因为ab，所以ADa，所以DABABE28.所以BACDACDAB502822，即A的大小是22.例2如图2，ABCD，EO与FO相交于点O，试猜想BEO、EOF、DFO之间的关系，并说明理由.分析由于BEO、EOF、DFO三个角的位置较散，设法通过辅助线使之相对集中，考虑ABCD，可以过点O作MNAB，这样即可找到三个角之间的关系了.由此猜想BEO+DFOEOF.解过点O作MNAB.因为ABCD，所以CDMN，所以BEOEOM，MOFDFO，从而有BEO+DFOEOF.图1DEF图2NMFEODCBA图3例3如图3，已知ABED，A+E，B+C+D.试探索与2的数量关系，并说明你的理由.分析由已知条件ABED可知A+E180，于是只需知道B+C+D的大小即可探索出与2的数量关系.此时可以过点过C作CFAB，从而求出B+C+D360，即有2.解猜想2.理由是：过C作CFAB，所以A+E180.又因为ABED，所以CFDE，即(B+1)+(2+D)360，故2.例3如图4，已知直线l1l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在C、D之间有一点P，如果P点在C、D之间运动时，问PAC，APB，PBD之间的关系是否发生变化.若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索PAC，APB，PBD之间的关系又是如何？E图6CDl2Pl3l1ABE图5CDl2Pl3l1AB图4l1lCBDPl2AE分析若P点在C、D之间运动时，形同例2，只要过点P作出l1的平行线即可知道APBPAC+PBD；若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），则可以分为如图,5和如图6两种情形，同样分别过点P作出l1或l2的平行线，即有APBPBDPAC或APBPACPBD.解若P点在C、D之间运动时，则有APBPAC+PBD.理由是：如图4，过点P作PEl1，则APEPAC，又因为l1l2，所以PEl2，所以BPEPBD，所以APE+BPEPAC+PBD，即APBPAC+PBD.若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），则有两种情形：（1）如图5，有结论：APBPBDPAC.理由是：过点P作PEl1，则APEPAC，又因为l1l2，所以PEl2，所以BPEPBD，所以APBBAE+APE，即APBPBDPAC.（2）如图6，有结论：APBPACPBD.理由是：过点P作PEl2，则BPEPBD，又因为l1l2，所以PEl1，所以APEPAC，所以APBAPE+BPE，即APBPAC+PBD.转折角处巧添辅助线学习了平行线的知识后，我们知道平行线有三条性质，当两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。因此，在求解有关平行线中角的问题时，我们可以在转折点处添加辅助线-平行线，从而构造出特殊位置关系的角，为解题架桥铺路。下面举例加以说明。例1.（2008黑龙江）如图AB/CD,则的度数为 解析：由图形可以看出，在两条平行线AB,CD之间的E点处出现了一个转折角，即，因此我们可以过点E作EF/AB,，由条件AB/CD,可知AB/EF/CD所以所以又因为CD/EF,从而例2.（2008沈阳）如图，己知AB/DE,，则_.解析：由图形可以看出，C点处出现了一个转折角，因此我们可以过点C作CF/AB,由此可知所以例3.（2008广安）如图，AB/CD,若则 度解析：题中出现转折角，即，可过点E作与AB,CD平行的直线FG,则所以故答案为例4.（第三届中学生智能通讯赛初一赛题）如图试探索之间具备什么关系时，AB/CD,并说明理由。解析：观察图形可以猜想时, AB/CD。理由如下：在E点出现了转折角，可以过点E作EF/AB,则所以EF/CD又因为EF/AB，所以AB/CD诱发一题多解 培养创新思维有些题目，如果从不同的角度去分析，就会得到不同的解题方法，也就是说从多个角度去想就会有多种解法.这样做可以使思维更开阔，也能从中找到最佳的解题方法.下面的题目就可以用多种种方法来解.例1:已知:ABCD.求证: D+E+B=360.分析一:要证D+E+B=360，由360想到以E为顶点的周角恰好是360，这就需要设法寻找以E为顶点的两个角，使它们分别等于B和D.根据平行线的性质定理，需要过E点作一条直线EF，使EFAB可得到BEF=B.由已知ABCD可得EFCD，则可推出FED=D.故此题得证.ABCDE图1FABCDE图2F证法1:如图1，过点E作EFAB.B =BEF(两直线平行，内错角相等).又ABCD(已知)，EFCD (如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行).FED=D(两直线平行，内错角相等).DEB+BEF+FED=360(周角定义)，D+DEB+B=360(等量代换).分析二:要证D+E+B=360，设法把这三个角分成两组，使每组角的和为180即可.故作EFAB，使图中出现两组同旁内角，问题得证.证法2: 如图2，过点E作EFAB. B+FEB=180(二直线平行，同旁内角互补).又ABCD(已知)，EFCD (如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行).D+FED=180(二直线平行，同旁内角互补).B+BEF+D+D EF=360(等式性质)，即D+DEB+B=360.图3ABCDE1ABCDE23图4证法3:如图3，连结DB，ABCD(已知)， CDB+ABD=180(二直线平行，同旁内角互补).又BDE+E+DBE=180，CDB+ABD+BDE+E+DBE =360， (等式性质)，CDE+E+ABE=360.证法4:如图4，过点B作BCDE.1+E=180， 3+D=180(二直线平行，同旁内角互补).1+E+3+D=360(等式性质).ABCD(已知)，2=3(两直线平行，内错角相等).1+E+2+D=360(等量代换).CDE+E+ABE=360.ABCD13254图5例2:已知:如图5， 1=70， 2=110.求证: ABCD.证法11+3=180(平角定义). 1=70(已知)3=110，2=110， (已知)2=3(等量代换)，ABCD(同位角相等，两直线平行).证法22+4=