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第八节 连续函数的基本性质一 初等函数的连续性（一）连续函数的运算性质定理：如果函数、均在点处连续，则（1）在点处连续（为常数）；（2）在点处连续；（3）在点处连续（）；、在区间内连续，、在区间内连续，在处连续（二） 反函数和复合函数的连续性1定理2：如果函数在区间上单值、单调增加（或单调减少）且连续，那末它的反函数也在对应的区间上单值、单调增加（或单调减少）且连续。2定理3：设函数当时的极限存在且等于，即，而函数在点连续，那末复合函数当时的极限存在且等于，即。注：（1）将定理中的条件：换为时相应的结论也成立。 （2）如果函数、满足定理的条件，则有下式成立：。即在满足定理的条件下，求复合函数的极限时，函数符号和极限符号可以交换次序。例1：求下列极限（1） （2）（3）定理4：设函数在点连续，且，而函数在点连续，那末复合函数在点也是连续。（三）. 初等函数的连续性定理5：基本初等函数在其定义域内都是连续的。推论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。（所谓定义区间是指包含在定义域内的区间）例2：求极限二闭区间上连续函数的性质1最大值和最小值定理（1）. 最大值和最小值的概念 设函数在区间上有定义，若存在，使得对，都有（或）；则称为函数在区间上的最大值（或最小值）。（2）. 最大值和最小值定理 定理6：在闭区间上连续的函数一定存在最大值和最小值。2有界性定理 定理7：在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界。3介值定理（1） 零点定理（零值定理） 定理8：设函数在闭区间上连续，且；则至少存在一点，使得（即函数在开区间内至少有一个零点）。 （2）.介值定理 定理9：设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同的函数值： 及；那末，对于与之间的任意一个数，至少存在一点，使得。 推论1：在闭区间上连续的函数必定取得介于最大值与最小值
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