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第十三章 拉普拉斯变换131 基本概念1311拉普拉斯变换的定义一个定义在区间的函数，它的拉普拉斯变换式定义为 式中为复数，称为的象函数，称为的原函数。式中积分下限取，把上述定义式作如下变形：可见，对拉普拉斯变换的定义，已自动计及时可能包含的冲激。1312 拉普拉斯变换的基本性质设 ，则有下表中性质。表13-1拉普拉斯变换的基本性质序号性质名称时域复频域1线性2尺度变换3时移性4频移性5时域微分6时域积分7复频域微分8初值定理9终值定理10时域卷积11复频域卷积1313 拉普拉斯反变换对于简单的象函数可在拉氏变换表中查出它的原函数，表中没有的可按反变换基本公式求出，即，但此式涉及到计算一个复变函数的积分，一般比较复杂。电路响应的象函数通常可表示为两个实系数的的多项式之比，即的一个有理分式式中和为正整数，且。若时，先将其化简成真分式，然后用部分分式展开，将复杂变换式分解为许多简单变换式之和，然后分别查表即可求得原函数。1具有个单实根时式中： 则 2具有重根时设除了个重根外，其它均为单根，共有个根。式中：则 3具有共轭根时若有复数根，一定是一对共轭根。设有个单根，其中两个为一对共轭根，。为一对共轭复数，设，则 1314 线性动态电路的拉氏变换分析法运算法（即复频域分析法）1 元件的伏安关系及运算电路如表13-2所示附表13-2。表13-2 元件的伏安关系及运算电路元件时域形式频域形式1频域形式2RLCM在分析时，注意以下几点：（1）式中各元件的电压、电流均为关联的参考方向；（2）附加电源的极性与初始值参考方向相同；（3）由互感引起的附加电源除了与初始值有关外，还和同名端有关。2基尔霍夫定律的运算形式如表13-3所示见附表13-3。表13-3 基尔霍夫定律的运算形式名称时域形式运算形式3用运算法分析动态电路的步骤复频域的基尔霍夫定律和各种元件伏安关系都是线性代数方程，与直流电路中的相应方程一一对应。因此，在线性直流电路中建立的各种分析方法、定理可推广用于复频域电路模型。具体步骤如下：（1）根据换路前电路的工作状态，计算电感电流初始值和电容电压初始值；（2）作出换路以后复频域的等效电路，即运算电路（注意附加电源的值和方向）；（3）应用线性网络一般分析方法（结点法、回路法、支路法、电路定理、等效变换等）列写运算形式的电路方程，求出响应的象函数或等；（4）用部分分式展开法对象函数取反变换，求出时域响应或等。132 重点、难点分析1321 本章重点拉普拉斯变换的核心问题是把以为变量的时间函数与以复频率为变量的复变函数联系起来，也就是把时域问题通过数学变换后成为频域问题，把时间函数的线性常系数微分方程化为复变函数的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换，就得到待求的时间函数。所以，本章重点为：1拉普拉斯变换求解线性动态电路的概念；2拉普拉斯变换的定义及其基本性质；3拉普拉斯反变换的部分分式展开法；4元件伏安关系及电路定律的复频域形式；5运用拉普拉斯变换分析计算线性电路的过渡过程。1322 本章难点前面我们学习了用经典法求线性电路的动态过程的方法，学习了用相量法求正弦激励下线性电路的稳态过程的方法，而拉普拉斯变换却能求得电路的全响应、全过程，因此，它是全面分析线性电路的一种有力工具。拉普拉斯变换法在解决一些电路分析的具体问题时比较简便，如避开了在作用下的电感电流和电容电压的跃变问题，但其物理意义没有经典法明显。在学习本章内容的同时，注意与前面所学内容相比较，注意它们之间的联系。应用拉普拉斯变换分析线性电路的瞬态，须经过三个过程：（1）从时域到复频域的变换，即对电路的输入取拉普拉斯变换，给出相应的复频域电路；（2）在复频域对电路列方程和应用电路定理，求出相应的象函数；（3）从复频域到时域的变换，求出响应的时域表达式。用拉氏变换法求解线性电路的响应时，要注意以下几点：1 初始状态的确定。对于复杂的电路，往往不能正确地计算出动态元件的初始值。2 正确地画出复频域等效电路模型。注意附加电源的大小和方向，注意一些常见信号的象函数的记忆。3 正确地计算出响应的象函数。在求解象函数时，由于复频率是以符号形式存在，在复频域求解响应的过程有时比较繁琐，这是该方法的不足之处。133 典型例题1331 拉普拉斯变换的定义及性质例13-1 已知如图13-1所示，求其拉氏变换的象函数。 解题指导：首先正确地写出函数的时域表达式，然后利用拉普拉斯变换的时移性质来求。解 由题图得函数的时域表达式为其象函数为例13-2求图13-2(a)所示三角脉冲电流的象函数。解题指导：本题可利用拉普拉斯变换的时域微分性质，先写出三角脉冲电流的微分信号及其象函数，再进行求解。解 对电流求导，波形如题图13-2（b）所示。则于是得到根据拉普拉斯的微分性质，即得例13-3 已知周期函数，周期为，试求其拉氏变换式。解题指导：这是一个周期函数的象函数的求解问题。可利用拉普拉斯变换的时移特性。解 求周期函数的拉氏变换，可以应用时移特性。用，分别表示第一周、第二周的波形，则根据时移特性，若：则：根据上式，首先求第一个周期波形的拉氏变换式。由拉氏变换定义可得：本题中周期为，于是得到例13-4 求的拉氏变换式。解题指导：任意函数与的乘积的象函数的求解可利用拉普拉斯变换的频移特性。解 应用频移特性，先求所以： 1332 拉普拉斯反变换例13-5 已知下列象函数。求原函数。（1）（2）（3）解 （1）解题指导：仅含有两个单实根的情况。（2）解题指导：包含了两个重根的情况。（3）解题指导：象函数乘以，相当于时域中发生了时移。例13-6 已知象函数。求其原函数。解题指导：当包含有共轭复根时，往往用配方法做比较简单。解 象函数可变换为其原函数为例13-7 求的拉氏反变换。解题指导：当所给出的有理分式不是真分式时，应先用长除法进行处理，变成真分式，然后再进行求解。解 所给函数不是真分式，用长除法，得于是可得1333 应用拉普拉斯变换法分析线性电路例13-8 用拉普拉斯变换法求图13-3(a)电路中开关S闭合后的电容电压（要求画出运算电路模型）。解题指导：这是一个直流激励下的二阶电路的全响应的求解问题。对于结点较少的电路宜用结点法进行求解。解 由换路前电路求得, 。运算电路模型如图13-3（b）所示。列写结点电压方程求得进行拉氏反变换得 例13-9 用拉氏变换法求图13-4(a)所示电路中电容电压。已知, V。解题指导：由于为方形脉冲，用拉氏变换法求解，应先写出电源电压的象函数然后求解。也可分为两段进行求解（后者读者可以自己考虑）。解 电源电压得象函数为运算电路模型如图13-4(b)所示。则结点电压方程为求得进行拉氏反变换，得 例13-10 电路如图13-5(a)所示。开关S原来接在“1”端，电路已达稳态。当时将开关S由“1”合向“2”，用拉氏变换法求换路后的电阻电压（要求画出运算电路模型）。解题指导：这是指数函数激励下的二阶电路的全响应的求解问题。首先正确地计算出换路前的初始状态，然后画出换路后的运算模型，本题中采用的电路分析的方法是回路电流法。解 由换路前电路求得, （电流参考方向见运算电路模型）运算电路模型如图13-5（b）所示。则按所选回路，回路电流方程为解得电压。进行拉氏反变换得：例13-11 电路如图13-6(a)所示。开关S闭合前电路已达稳态。在时闭合开关S。用拉氏变换法求换路后的。解题指导：本题为求二阶电路的零输入响应。注意受控电流源的状态。解 由换路前电路求得 开关闭合后，控制量为零，受控电流源开路。运算电路模型如图13-6(b)所示。由此模型可得进行反变换，得 例13-12 图13-7所示电路中二端口网络N的复频域短路导纳矩阵为，求零状态响应。解题指导：本题为求冲激激励下的零状态响应。用拉普拉斯变换法求冲激作用下的响应时，不需考虑电容电压和电感电流的跃变问题，简化了计算，而且不容易出错。在包含了二端口网络的电路的求解中，注意利用二端口的特性方程辅助求解。解 复频域节点方程 二端口方程解得 ， 例13-13 图13-8（a）所示电路在时处于稳态，求时的和。. 解题指导：本题为求解二阶电路的全响应。在包含了受控源的电路中，注意采用在直流电路中所学过的处理方法：将受控源作为独立电源来处理，并寻找控制量与变量之间的关系。解 复频域模型如题图13-8（b）： 节点方程 解得 ， 例13-14 如图13-9所示电路中，求零状态响应。解题指导：本题为求正弦激励下的零状态响应。对于电桥中的AB支路电流的求解，应首先求出从AB两点看进去的戴维南等效电路，以便简化计算。解 运算电路如图13-9(b)所示求从A、B两点看进去的戴维南等效电路：开路电压 等效阻抗 于是可得到AB支路电流 例13-15 如图13-10（a）所示电路原处于稳态，, , 时开关接通。试求 。解题指导：本题是求解三阶电路的全响应。首先注意初始值的求解，另外两个电容串联时所分得的电压应与电容值成反比，还有所求的应包含附加电压源的电压。解 由时的电路得 复频域电路模型如图13-10(b)所示，对其列结点电压方程 代入已知条件解得 进行反变换得到 例13-16 电路如图13-11(a)所示。已知， ，, 。求时的响应和。解题指导：本题为求含有互感电路的全响应。当含有互感的电路为非零初始状态时，注意正确地画出其运算电路，注意附加电源的大小和方向。当求某一互感线圈电压时，其象函数应包括相应的附加电源电压。对含有互感得电路最好用回路电流法或支路电流法。解 运算电路如图13-11(b)所示，其中。电路方程为2代入已知数整理得 解得 所以 进行拉氏反变换得 例13-16 如图13-12(a)所示，F，时合上开关S，用运算法求。解题指导：本题为正弦激励下的二阶电路的全响应的求解。注意初始值的求解应采用相量法。解 由于电路源处于正弦稳态，故采用相量法求初始值。画运算电路如图13-12(b)所示。进行反变换得到例13-17 求图13-13（a）中开关K闭合后，电路中得电流和。参数已标在图中。解题指导：本题的电路非常复杂。所以为计算方便，先将电路化简，用戴维南电路进行等效。解：设开关K闭合时刻为，初始值为求开关K以左的戴维南等效电路，得出，。作出原电路图的等效电路如图13-13(b)所示。下面用拉氏变换法来分析，为此先作出运算电路，如图13-13(c)所示，其中已进行了消互感的等效变换。列回路电流方程：代入元件数值，其中： 代入方程组得 反变换得 例13-18 在如图13-14（a）所示线性网络中，设，试用拉普拉斯变换法求电容电压的零状态分量，零输入分量及全响应。解题指导：线性电路的全响应=零输入响应+零状态响应。解 作出运算电路如图13-14（b）所示。求出各响应的象函数代入元件值整理得到其中求它们的原函数及可得出：零状态响应零输入响应 全响应例13-19 如图13-15所示为一零状态电路。求在激励下的响应，并指明瞬态响应、稳态响应、自由响应、强迫响应。解题指导：注意掌握瞬态响应、稳态响应、自由响应、强迫响应的概念。解 时，运算电路如图13-15(b)所示。列两个网孔方程：又有联立求解得进行反变换得到例13-21 如图13-16（a）所示电路，电容器初始电压及电感器初始电流均为零。，开关在时闭合。求时的响应及。解题指导：由于开关闭合前后电路结构改变，故分为两个阶段来分析。第一个阶段为求一阶电路的冲激响应，只不过是个延迟的冲激函数，作用时刻为。可以等效成一个零输入响应来求解。第二阶段是一个二阶电路求全响应的问题，应用拉氏变换法求解。注意题中时间变量的不同。解 （1），开关S未闭合，此时得电路图如图13-16（b）所示。按照已知条件有，可见这是求电路的冲激响应，由此得出：，仍维持为0，既有在瞬间，电容器被充电，电容电压发生跃变，其值为，电容放电，等效为一个零输入响应。其时间常数为求得 由于S断开，此时的电流仍然为零，即 当时，电容电压的值为（2），开关S闭合，由于A,在后，电流源支路相当于开路，得出等效电路如图13-16（c）所示。选一个新的时间变量，并令当时，。电路的初始值为作出运算电路如图13-16（d）。按照弥尔曼定理，可得进行拉氏反变换，求和。 再求和 总的解答为13.4 自测题习题13-1 求下列象函数的原函数。（1）答案：（2）答案：（3）答案：（4）答案：习题13-2电路如图13-17所示，开关S原来是打开的，电路已达稳定。已知，电容上原有电压100伏，极性如图中所示。在时将开关K闭合，求时的电感电流。答案： 习题13-3电路如图13-18所示的零状态电路中，已知伏，。时将开关K闭合，求时的。答案： 习题13-4电路如图13-19所示，开关S闭合前电路原已稳定，且电容上没有电荷。时将开关S闭合，求时的，及各支路电流。已知，。答案：