相对论雅可比方程.doc

相对论哈密顿 雅可比方程王雪莲红河学院,云南省,中国,邮编661100摘要:利用相对论哈密顿 雅可比方法求出了电子在激光场中的相对论性运动方程的解析解 并且在电子与激光脉冲散射的实验室参照系 电子初始静止参照系 电子平均静止系中，对于给定的任意椭圆偏振的激光场，得到了解析表达式。关键词:相对论；矢势;哈密顿 雅可比方程;边条件;运动方程 通过求解哈密顿 雅可比方程，从而得到力学问题的解，这就是经典力学中的哈密顿 雅可比方法 为计算电子在激光场中的辐射，需要知道电子的运动方程，本文考虑的即是这个问题 当激光脉冲的强度很高时，电子将作相对论性运动，此时必须考虑磁场的作用，因此要采用相对论形式的哈密顿雅可比方法求解电子运动方程 相对论是关于时空和引力的基本理论，主要由阿尔伯特爱因斯坦(Albert Einstein)创立，依据研究的对象不同分为狭义相对论和广义相对论。相对论和量子力学的提出给物理学带来了革命性的变化，共同奠定了近代物理学的基础。1 哈密顿 雅可比方法 哈密顿一雅可比方程是具特定形式的一阶常微分方程组（运动方程组）与一个相应的偏微分方程的关系的理论。它来源于分析力学，对经典力学、理论物理、微分方程。一个电荷为e 静止质量为m 的带电粒子在电磁场中运动，则相对论形式的哈密顿 雅可比方程为 其中A 为电磁场矢势， 为标势，S 是哈密顿主函数。考虑电子被激光脉冲散射的情形，此时，标势.假定入射激光是任意椭圆偏振的横向平面波，波矢为 k，频率满足 ，而洛伦兹不变相位 可表为 ，并且设激光场矢势是 的周期函数，在电子与激光束相互作用前后为零，在t =0 时刻脉冲到达原点，于是矢势可写为 将式(2)代入式(1)电子运动的哈密顿 雅可比方程化为 首先我们注意到当外场A =0 时，式(3)的解是显然的 ，为 由于在哈密顿 雅可比方程中仅出现 S 的偏微商，因此式(4)略去了一个无关紧要的任意常数项，而常矢量和常数 需满足条件 这就是说在自由粒子情形，该粒子的四动量为哈密顿主函数S， 是四动量与四矢径的标量积 由于 仅仅是相位 的函数，哈密顿主函数也必将包含依赖于相位 的部分，受式(4)启发，我们寻求如下形式的解 其中 和 由初始条件确定，并且为了方便起见，下文的讨论中均将初始时刻取为 ，此时电子位于原点，即 函数 由式(3)确定 。将式(6)代入式(3)有 消去 的导数平方项，并应用横向条件得到的一阶微分方程: 以 表示初相位，积分可得 将 代入式(6)即得到哈密顿主函数的解， 将主函数对常矢量 微商并令其等于初始坐标就得到电子的运动方程: 其中 表示对矢量a 的各分量的偏导。 将主函数对微商并利用 就得到的表示: 这其实就是上文的洛伦兹不变相位 ，在本文的计算中取将主函数对坐标微商得到正则能动量: 利用式(12)可将能量表为 根据加在电子上的初始条件 可以确定解的具体形式，下文考虑3 种有代表性的情形:电子初始静止的参照系;电子平均静止的参照系;电子与脉冲任意角度散射的实验室参照系。2 .不同参照系中的运动方程电子初始静止的参照系 (以下简称 e 系，并用下标e 标记)中，在激光束到达之前电子静止于原点即为在时电子的坐标 ，此时激光脉冲即将到达，场的矢势 ，电子初始动量 ，初始能量 ，由式(12)得到 可见 没有横向分量。 将初始条件代入式(13)即得 故 的纵向分量满足 式(14)和式(16)是加在 和 上的所有限制条件，不失一般性，可取 和 以简化计算，这样方程（10）变为 于是我们就得到了电子初始静止系中的电子运动方程： a将 和 代入式(12)和式(13)可解得电子的动量为 而电子的能量为 式(18) 式(20)给出了 e 系中电子运动方程的完整解。当电子处于激光场中时，电子平均动量为零的参照系 (以下简称 R 系，用下标 R 标记)是一个非常有用的参照系。 我们将此参照系相对于 e 系的速度记为 ，称为漂移速度，并取远大于光学周期 而小于脉宽的时间作时间平均，则有 解得 R 系中电子运动方程可通过对式(10)和式(13)加上相应的边条件来确定新的 和 而导出 将 R 系初始条件 应用于式(12)得到 因此 也没有横向分量，并满足限制条件 其中 满足。 我们可取 和以简化计算。时电子位于原点，由式（12）可得电子在R系中的运动为 可见电子在横向按照矢势的频率振动，而纵向振动为其 2 倍频，因此是两个简谐振动的叠加 通过洛伦兹变换，R 系中激光束频率可用 e 系频率的多普勒频移表示为 接下来我们考虑最为一般的情形，即电子与激光脉冲散射的实验室参照系(以下简称 L 系，相应物理量用下标 L 标记)中电子的运动 初始时刻电子位于原点，初始动量为 ，激光场矢势为 0，代入式(12)有 将 和沿垂直和平行于脉冲传播方向分解为横向的 ， 和纵向的 、矢量，即 , 横向的、 矢量垂直于，则由式(27)有 根据式(13)我们得到， 式(29)和式(30)即为实验室系中加在和 上的所有限制 因此我们可取等于0，即 是横向的， ，而以简化计算，代入式(12)电子在 L 系中的运动方程为 其中 如上所述，并且电子的轨迹被表为横向与纵向的叠加。3. 给定激光场矢势的结果以上讨论了激光场中电子运动的一般情形，下文我们对给定的矢势来讨论具体结果。如图 1 所示的沿 + z方向传播的任意椭圆偏振的平面波，其矢势可表为 其中 和 是横向单位矢量，常数 表征偏振度 。线偏振对应于，而圆偏振为，。 为方便起见，记无量纲激光强度参数为 并定义参数 如下: 将式(32)代入式(25)得到， R 系中电子运动方程 对于线偏振激光，取 =1，由式(34)有， ， 消去 即得 R 系中的轨迹方程 轨迹式(36)为xz 平面内的 8 字形 ，图 2 给出了 分别为0 .1，0 .2 和0 .3 时的轨迹曲线。同样的对于 e 系，计算可得电子运动方程为 对于 L 系的表述稍复杂，为此引入电子归一化初始速度 和洛伦兹因子 ,并代入 ，计算可得在 L 系的结果为 4 .结论如上所述，我们利用哈密顿雅可比方法求出了电子在激光场中的相对论性运动方程的解析解 并且对于给定的任意椭圆偏振的激光场矢势式(32)， 在电子与激光脉冲以任意角度散射的实验室参照系 电子初始静止参照系 、电子平均静止系中，我们分别得到了解析解最后还应指出，在上述讨论中我们忽略了电子的辐射反冲。 由于我们的讨论是经典的，因此该近似的适用条件可以简单的表示为:在电子平均静止参照系中看来，光子能量远远小于电子的静止能量 。不难看出，由于激光波长一般均在可见光或红外波段，光子能量是 eV 量级，所以对于电子与脉冲任意角度散射的实验室参照系而言，电子能量只要小于500 MeV，上述结果不会有显著修正参考文献:1 H 戈德斯坦 经典力学M 陈为恂，译 北京:科学出版社，1986:521-5602 朗道，栗弗席兹 力学M 北京:高等教育出版社，1979:194-2143 Landau L D，Lifshitz E M Classical Theory of FieldsM 2nd ed New York:Addsion Wesley PublishingCompany，19624 Eberly J H，Sleeper A Trajectory and mass shift of aclassical electron in a radiation pulseJ Phys Rev，1968，176(5)1:570-15735 Sarachik E S，Schappert G T Classical theory of thescattering of intense laser radiation by free