2019年高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角练习新人教A版.docx

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1.a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)a等于(C)(A)-1(B)0(C)1(D)2解析:因为a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)a=(1,0)(1,-1)=1.故选C.2.已知向量a=(1,-2),b=(2m,1),若ab,则m的值为(B)(A)-1(B)1(C)-(D)解析:向量a=(1,-2),b=(2m,1),若ab,可得2m-2=0,解得m=1.故选B.3.已知|a|=1,b=(0,2),且ab=1,则向量a与b夹角的大小为(C)(A)(B)(C)(D)解析:因为|a|=1,b=(0,2),且ab=1,设a,b夹角为,所以cos =,所以=,所以向量a与b夹角的大小为.故选C.4.已知向量a=(1,-2),b=(x,4),且ab,则|a-b|等于(B)(A)5(B)3(C)2(D)2解析:因为ab,所以4+2x=0,所以x=-2,a-b=(1,-2)-(-2,4)=(3,-6),所以|a-b|=3.故选B.5.设向量a=(1,0),b=（,）,则下列结论中正确的是(C)(A)|a|=|b| (B)ab=(C)a-b与b垂直(D)ab解析:A项,因为|a|=1,|b|=,所以|a|b|.故A错误.B项,因为ab=1+0=,故B错误.C项,因为a-b=(1,0)-（,）=（,-） ,所以(a-b)b=（,-）（,）=-=0,所以a-b与b垂直,故C正确.D项,因为1-00,所以a不平行于b,故D错误.故选C.6.已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)b,c(a+b),则c等于(D)(A)（,）(B)（-,-）(C)（,） (D)（-,-）解析:设c=(m,n),则a+c=(1+m,2+n),a+b=(3,-1).由(c+a)b,得2(2+n)-(-3)(1+m)=0,由c(a+b),得3m-n=0.联立,解得所以c=（-,-）.故选D.7.与向量a=（,）,b=（,-）的夹角相等,且模为1的向量是(B)(A)（,-）(B)（,-）或（-,）(C)（,-）(D)（,-）或（-,）解析:设与向量a=（,）,b=（,-）的夹角相等,且模为1的向量为(x,y),则解得或8. 若函数y=Asin(x+)（A0,0,|）在一个周期内的图象如图所示,M,N分别是这段图象的最高点和最低点,且=0(O为坐标原点),则A等于(B) (A)(B)(C)(D)解析:由题意知M（,A）,N（,-A）,又因为=-A2=0,所以A=.故选B.9.已知a=(3,-2),a+b=(0,2),则|b|=.解析:因为a=(3,-2),a+b=(0,2),所以b=(a+b)-a=(-3,4),所以|b|=5.答案:510.已知向量a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),且ab,则a+b与a-b的夹角的大小是.解析:法一(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=1-1=0,所以a+b与a-b的夹角为.法二设=a=(cos ,sin ),=b=(cos ,sin ),则|=|=1.所以a+b与a-b分别表示以,为邻边的菱形OACB的两条对角线所对应的向量,由菱形的对角线垂直知a+b与a-b的夹角为.答案:11.在平面直角坐标系xOy中,已知=(3,-1),=(0,2).若=0,=,则实数的值为.解析:由已知得=(-3,3),设C(x,y),则=-3x+3y=0,所以x=y.=(x-3,y+1).又=,即(x-3,y+1)=(0,2),所以由x=y得,y=3,所以=2.答案:212.已知a=(,2),b=(-3,5).(1)若a与b的夹角是钝角,则;(2)若a与b的夹角是锐角,则.解析:(1)因为a,b的夹角为钝角,所以ab=(,2)(-3,5)=-3+10.又当反向时,不存在,所以（,+）.(2)因为a,b的夹角为锐角,所以ab=|a|b|cos0,所以-3+100,所以.又当=-时,=0不合题意.所以的范围为（-,-）（-,） .答案:(1)（,+）(2)（-,-)(-,)13.已知向量a=(1,2),b=(2,-2).(1)设c=4a+b,求(bc)a;(2)若a+b与a垂直,求的值;(3)求向量a在b方向上的投影.解:(1)因为a=(1,2),b=(2,-2).所以c=4a+b=(4,8)+(2,-2)=(6,6),所以bc=26-26=0,所以(bc)a=0.(2)a+b=(1,2)+(2,-2)=(2+1,2-2),由于a+b与a垂直,所以2+1+2(2-2)=0,所以=.(3)设向量a与b的夹角为,向量a在b方向上的投影为|a|cos ,所以|a|cos =|a|=-.14.已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).(1)若|c|=2,且ca,求c的坐标;(2)若|b|=,且a+2b与a-b垂直,求a与b的夹角.解:(1)由于a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2),且ca,可设c=a=(,2),则由|c|=2,可得=2,所以c=(2,4),或c=(-2,-4).(2)因为|b|=,且a+2b与a-b垂直,所以(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2=0,化简可得ab=-,即cos =-,所以cos =-1,故a与b的夹角=.15.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a=(-1,2),又点A(8,0),B(n,t),C(ksin ,t)(0).(1)若a,且|=|,求向量;(2)若向量与向量a共线,当k4,且tsin 取最大值4时,求.解:(1)由题设知=(n-8,t),因为a,所以8-n+2t=0.又因为|=|,所以564=(n-8)2+t2=5t2,得t=8.当t=8时,n=24;当t=-8时,n=-8,所以=(24,8)或=(-8,-8).(2)由题设知=(ksin -8,t),因为与a共线,所以t=-2ksin +16,tsin =(-2ksin +16)sin =-2k(sin -)2+.因为k4,所以01,所以当sin =时,tsin 取得最大值.由=4,得k=8,此时=,=(4,8),所以=(8,0)(4,8)=32.16.在边长为1的正方形ABCD中,M为BC的中点,点E在线段AB上运动,则的取值范围是(C)(A),2(B)0,(C),(D)0,1解析: 如图所示,以AB,AD分别为x,y轴建立平面直角坐标系,进而可得C(1,1),M(1,),设E(x,0)(0x1),=(1-x,1),=(1-x,),=(1-x)(1-x)+1=x2-2x+.因为0x1,所以当x=1时,()min=;当x=0时,()max=.17.在直角三角形ABC中,ACB=90,AC=BC=2,点P是斜边AB上的一个三等分点,则+等于(A)(A)4(B)(C)-(D)0解析: 建立如图所示平面直角坐标系,A(2,0),B(0,2),=(-2,2),当=(-,)时,由=(2,0)得=+=(,),所以+=(+)=(,)(2,2)=+=4;当=时,同理可得+=4,故选A.18.如图,在24的方格纸中,若a和b是起点和终点均在格点的向量,则向量2a+b与a-b的夹角余弦值是.解析:由题意可设a=(2,-1),b=(3,2),所以2a+b=(7,0),a-b=(-1,-3),因此向量2a+b与a-b的夹角余弦值是=-.答案:-19. 如图,已知在ABC中,A=,AB=2,AC=4,=,=,=,则的值为.解析:以A为原点,AC为x轴,AB为y轴建立平面直角坐标系,则C(4,0),B(0,2),E(2,0),F(0,1),由=可求D（1,）,所以=（）1,-）,=（-1,-）,则=-1+=-.答案:-20. 如图所示,以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A,点B,P在单位圆上,且B（-,）,AOB=.(1)求的值;(2)设AOP=（）,=+,四边形OAQP的面积为S,f()=(-1)2+S-1,求f()的最值及此时的值.解:(1)tan =-2,=-10.(2)由已知得P(cos ,sin ),又=+,|=|,所以四边形OAQP为菱形