面积问题和面积方法.doc

面积问题和面积方法一基本公式和定理 由于平面上的凸多边形都可以分割若干个三角形，因此在面积公式中，最基本的是三角形面积公式。1 常见三角形面积公式 2 常见的面积定理：1 一个图形的面积等于它的各部分面积的和；2 两个全等图形的面积相等；3 等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）的面积相等；4 等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积比等于其所对应的高（或底）的比；5 相似三角形的面积比等于相似比的平方；6 等角或补角的三角形面积的比，等于夹等角或补角的两边的乘积的比；等角的平行四边形面积比等于夹等角的两边乘积的比；7 若与的公共边所在直线与直线交于，则。二。面积问题例1设G是内一点，且，的面积都相等。证明：G是的重心。例2锐角的顶点的内角平分线交于，又交三角形的外接圆于，过分别作和边的垂线KL和LM于K和M，求四边形AKNM的面积等于的面积。例3三边长为的内切圆，作三条分别平行于三角形三边的切线，从上截得三个新的小三角形，求这四个三角形的内切圆的面积和例4给定半径为的圆上定点的切线，由此圆上的动点R引RQl，交l于Q，试确定面积最大的。例5如图，在中， 为边上任意一点，AB，PFAC，若，求证：和S AFPE 中至少有一个不小于例6如图，已知其中阴影所示的四个三角形AHF、BDI、CEG、GHI面积均相等。求证：三个四边形AHGE、BIHF、CGID面积也相等。三。面积方法 所谓面积方法，就是在处理一些数学问题时，以面积的有关知识为论证或计算的手段，通过适当的变换，从而导致所考虑的量与量之间的关系，最后得到结论。例7已知BC是等腰的斜边，在BC上取点D，使，作交AC于E，求证：AE=EC。例8设正六边形ABCDEF的对角线AC、CE分别被内点M、N分成比为的两段。如果B、M、N三点共线，求的值。例9在 ABCD中，P、Q分别是BC、CD上的两点，且，求证：PQBD。例10E为圆内接四边形ABCD的中点，EFAD于F，EHBC于H，EGCD于G，求证：EG平分FH。例11已知G是的重心，过G作直线交AB、AC于E、F。证明：例12在A内有一定点P，过P作直线交A的两边于B、C，问何时取最大值。例13给出及其内部任意一点P，直线，分别交对边于，试证：中，至少有一个不大于2，也至少有一个不小于2。例14设四边形ABCD外切于圆O，对角线AC和BD的中点分别为M、N，则M、N、O三点共线练习1 凸五边形ABCDE中，ABC，BCD、CDE、DEA、EAB的面积都等于1。求五边形的面积。2 四边形ABCD的两边AD和BC的延长线交于P，M、N各为AC和BD的中点，试证：PMN的面积等于四边形ABCD面积的四分之一。3 在ABC中，D是AB的中点，E、F分别在AC和BC的边上，证明：4 在平行四边形的每个边上依次取点，如果以所取这四点为顶点的四边形的面积等于平行四边形面积的一半，证明：四边形至少有一条对角线平行于平行四边形的边。5 如图，在ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB边上，求证：。6 已知P是ABC内部一点，延长AP、BP、CP与对边相交，图中a、b、c、d为各线段的长，且，求。7 如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：。8 如图，在四边形ABCD中，的面积比是3：4：1，点M、N分别在AC、CD上，满足AM：AC=CN：CD，且B、M、N三点共线，求证：M与N分别是AC与DE的中点。9 等腰三角形底边上的一点到两腰的距离的和等于一腰上的高。10内一点到垂线的垂足分别为，分别为上的高。求证：。11从正方形ABCD的顶点A任引两射线，使其夹角为，分别与BC、CD交于E、F，与BD分别交于P、Q。求证：12在中，求证：13已知中BC边上有点E、F，且BE=CF，BAE=CAF。求证：AB=AC。14设P是内任意一点，AP、BP、CP