第9章 质点系动量定理.pdf

1 质点系动量定理质点系动量定理 理理理理 论论论论 力力力力 学学学学 2010年11月18日 基基基基 础础础础 部部部部 分分分分 动力学动力学动力学动力学 第第 9 章 质 点 系 动 量 定 理 章 质 点 系 动 量 定 理 2 质点系动量定理质点系动量定理 实际上 实际上 联立求解大规模微分方程组 尤其是积分 问题 非常困难 联立求解大规模微分方程组 尤其是积分 问题 非常困难 工程中 通常需要了解质点系整体的运工程中 通常需要了解质点系整体的运 动动 而不是每一个质点的运动 而不是每一个质点的运动 质点系动力学普遍定理概述质点系动力学普遍定理概述 理论上 理论上 n个质点构成的质点系动力学问题 可通过 建立 个质点构成的质点系动力学问题 可通过 建立3n个微分方程联立求解 一 质点系动力学普遍定理的特征 个微分方程联立求解 一 质点系动力学普遍定理的特征 3 质点系动量定理质点系动量定理 质点系动力学普遍定理包括动量定理 动量矩定 理 动能定理及其推论 质点系动力学普遍定理包括动量定理 动量矩定 理 动能定理及其推论 质点系整体运动状 态的 质点系整体运动状 态的物理量物理量 动量 动量矩 动能 动量 动量矩 动能 作用于质点系的力 系 作用于质点系的力 系特征量特征量 主矢 主矩 功 主矢 主矩 功 质点系动力 学普遍定理 质点系动力 学普遍定理 4 质点系动量定理质点系动量定理 二 质点系的二 质点系的二 质点系的二 质点系的质心质心质心质心 质点系的质点系的质量中心 质量中心 质量中心 质量中心 表征质点系表征质点系质量分布质量分布质量分布质量分布的一个重要概念 的一个重要概念 i ii C m m r r m m ii r m xm x ii C m ym y ii C m zm z ii C O x y z C r C i m i r C x C y C z i x i y i z 或或 5 质点系动量定理质点系动量定理 注意 注意 在均匀重力场中 质点系的质心与重心的 位置重合 在均匀重力场中 质点系的质心与重心的 位置重合 静力学中确定重心的方法可用来确定质心的 位置 静力学中确定重心的方法可用来确定质心的 位置 质心与重心是两个不同的概念 质心比重心 具有更加广泛的力学意义 质心与重心是两个不同的概念 质心比重心 具有更加广泛的力学意义 m m ii C r r m m ii C v v m m ii C a a 6 质点系动量定理质点系动量定理 内力内力 所考察的质点系内各质点 之间相互作用的力 三 质点系的外力与内力 所考察的质点系内各质点 之间相互作用的力 三 质点系的外力与内力 外力外力 所考察的质点系以外的物 体作用于该质点系中各质 点的力 所考察的质点系以外的物 体作用于该质点系中各质 点的力 F i F i F e F e 考察的质点系考察的质点系 0 i F 0 i O M 7 质点系动量定理质点系动量定理 第第第第9 9章章章章质点系动量定理质点系动量定理质点系动量定理质点系动量定理 9 1 动量定理 动量定理 9 2 质心运动定理 质心运动定理 9 3 本章讨论与小结本章讨论与小结 8 质点系动量定理质点系动量定理 几个有意义的问题几个有意义的问题几个有意义的问题几个有意义的问题 太空拔河 谁胜谁负太空拔河 谁胜谁负太空拔河 谁胜谁负太空拔河 谁胜谁负 9 质点系动量定理质点系动量定理 蹲在磅秤上的人站起来时蹲在磅秤上的人站起来时蹲在磅秤上的人站起来时蹲在磅秤上的人站起来时 磅秤指示数会不会发生变化磅秤指示数会不会发生变化磅秤指示数会不会发生变化磅秤指示数会不会发生变化 10 质点系动量定理质点系动量定理 水池水池水池水池 隔板隔板隔板隔板 光滑台面光滑台面光滑台面光滑台面 抽去隔板后将会抽去隔板后将会抽去隔板后将会抽去隔板后将会 发生什么现象发生什么现象发生什么现象发生什么现象 水水水水 11 质点系动量定理质点系动量定理 为什么会左右运动为什么会左右运动为什么会左右运动为什么会左右运动 这种运动有何规律这种运动有何规律这种运动有何规律这种运动有何规律 会不会上下跳动会不会上下跳动会不会上下跳动会不会上下跳动 有何工程应用有何工程应用有何工程应用有何工程应用 偏心转子电机偏心转子电机偏心转子电机偏心转子电机 12 质点系动量定理质点系动量定理 一 动量一 动量一 动量一 动量 瞬时矢量 瞬时矢量 1 1 质点的动量质点的动量质点的动量质点的动量 单位 单位 kg m s 动量动量动量动量是度量物体是度量物体机械运动强弱程度机械运动强弱程度机械运动强弱程度机械运动强弱程度的一个物理量 的一个物理量 9 9 1 1 动量定理动量定理动量定理动量定理 质点的质量与速度的乘积 质点的质量与速度的乘积 vm 方向与相同 方向与相同 v 质点系中各质点动量的质点系中各质点动量的矢量和矢量和矢量和矢量和 2 2 质点系的动量质点系的动量质点系的动量质点系的动量 p ii m v 13 质点系动量定理质点系动量定理 质点系中各质点动量的质点系中各质点动量的矢量和矢量和矢量和矢量和 2 2 质点系的动量质点系的动量质点系的动量质点系的动量 p C mv 即 即 即 即 质点系的动量等于其全部质量与质心速度的乘积 在直角坐标轴 质点系的动量等于其全部质量与质心速度的乘积 在直角坐标轴上的投影 上的投影 Cxx mvp CCyy ymmvp CCzz zmmvp ii m v C x m 14 质点系动量定理质点系动量定理 O C C vC a b c 例例例例9 9 1 1 试计算图示三种情形刚体的动量 试计算图示三种情形刚体的动量 p 解 解 解 解 a a 长为长为l 质量 质量m的均质细杆 角速度为 的均质细杆 角速度为 方向方向方向方向与质心速度方向相同 与质心速度方向相同 2 l m C mv 2 ml vC C 15 质点系动量定理质点系动量定理 O C C vC a b c vC C p b b 质量为质量为m的均质滚轮 质心的速度为的均质滚轮 质心的速度为vC C mv 方向方向方向方向水平向右 水平向右 c c 质量为质量为m的均质轮 绕中心转动 角速度为的均质轮 绕中心转动 角速度为 p C mv0 vC 0 16 质点系动量定理质点系动量定理 Cixix vMp 设第设第i个刚体 则系统动量 个刚体 则系统动量 Cii M v 3 3 刚体系统的动量刚体系统的动量刚体系统的动量刚体系统的动量 Cii M vp CiiCiyiy yMvMp CiiCiziz zMvMp Cii xM 17 质点系动量定理质点系动量定理 A A O O B B C C 例例例例9 9 2 2 椭圆规机构椭圆规机构椭圆规机构椭圆规机构 求 图示位置系统的总动量 已知 求 图示位置系统的总动量 已知 OC AC CB l 滑块 滑块 A和和B的质量均为的质量均为m 曲柄 曲柄OC和 连杆 和 连杆AB的质量忽略不计 曲柄 以等角速度 的质量忽略不计 曲柄 以等角速度 绕绕O轴旋转 图示 位置时 角度为任意值 轴旋转 图示 位置时 角度为任意值 整个系统为两个质点整个系统为两个质点A和和B组成的质点系 组成的质点系 解 解 解 解 p A v B v BA mmvv BBAA mmvv 18 质点系动量定理质点系动量定理 A A O O B B C C A v B v sin2ly A 建立图示建立图示Oxy坐标系 则坐标系 则 cos2lxB AA yv cos2l BB xv sin2l sin2lmpx cos2lmpy x x y y p BA mmvv jip cos2sin2lmlm 19 质点系动量定理质点系动量定理 A A O O B B C C 思考 思考 思考 思考 在上例中 若曲柄在上例中 若曲柄OC和连杆和连杆AB均为均质杆 且 质量分别为 均为均质杆 且 质量分别为m1和和 2m1 则系统的总动量又为多少 则系统的总动量又为多少 20 质点系动量定理质点系动量定理 二 动量定理二 动量定理二 动量定理二 动量定理 1 1 质点的动量定理质点的动量定理质点的动量定理质点的动量定理 Fv d d m t 即 即 即 即 质点的动量对时间的一阶导数等于作用于质点的力 质点的动量对时间的一阶导数等于作用于质点的力 上式改写为上式改写为tmd d Fv 动量的微分等于力的元冲量 动量的微分等于力的元冲量 Id 两边积分得两边积分得tmm t t d 2 1 12 FvvI 21 质点系动量定理质点系动量定理 Fv d d m t 投影形式投影形式投影形式投影形式 xx Fmv t d d x t t xxx ItFmvmv 2 1 d 12 tmm t t d 2 1 12 FvvI yy Fmv t d d zz Fmv t d d y t t yyy ItFmvmv 2 1 d 12 z t t zzz ItFmvmv 2 1 d 12 22 质点系动量定理质点系动量定理 z t t zzz ItFmvmv 2 1 d 12 若若若若 0 F 若 则若 则常量常量常量常量 质点沿 质点沿x轴作惯性运动 轴作惯性运动 0 x F x mv 守恒形式守恒形式守恒形式 则 守恒形式 则常矢量常矢量常矢量常矢量 质点作惯性运动 质点作惯性运动 vm 投影形式投影形式投影形式投影形式 xx Fmv t d d x t t xxx ItFmvmv 2 1 d 12 yy Fmv t d d zz Fmv t d d y t t yyy ItFmvmv 2 1 d 12 Fv d d m t 23 质点系动量定理质点系动量定理 2 2 质点系的动量定理质点系的动量定理质点系的动量定理质点系的动量定理 e d d i t F p 即 即 即 即 质点系的动量对时间的一阶导数等于作用于质点系质点系的动量对时间的一阶导数等于作用于质点系 外力系的主矢外力系的主矢外力系的主矢外力系的主矢 质点系的动量定理质点系的动量定理质点系的动量定理质点系的动量定理 整个质点系 任一质点 整个质点系 任一质点i iii m t Fv d d i i F d d ie iiii m t FFv d d ii m t v d d ii m t v td d p e i F e d d F p t 24 质点系动量定理质点系动量定理 积分形式积分形式 12 pp 微分形式微分形式 pd e d I 结论 结论 结论 结论 只有只有只有只有外力外力外力外力才能改变质点系的动量 内力不能改变才能改变质点系的动量 内力不能改变才能改变质点系的动量 内力不能改变才能改变质点系的动量 内力不能改变 整个质点系的动量 整个质点系的动量 整个质点系的动量 整个质点系的动量 e d d F p t e I 即 即 即 即 质点系的动量对时间的一阶导数等于作用于质点系质点系的动量对时间的一阶导数等于作用于质点系 外力系的主矢外力系的主矢外力系的主矢外力系的主矢 25 质点系动量定理质点系动量定理 投影形式投影形式投影形式投影形式 e d d x x F t p e 12xxx Ipp e d d y y F t p e d d z z F t p e 12yyy Ipp e 12zzz Ipp e d d F p t e 12 Ipp 26 质点系动量定理质点系动量定理 守恒形式守恒形式守恒形式守恒形式 若若若若 则 则 则 则常矢量常矢量常矢量常矢量 0 e F 0 pp 若若若若 则 则 则 则常量常量常量常量 0 e x F xx pp 0 注意 注意 注意 注意 内力虽不能改变 整个质点系的动量 但 可以引起系统内各质点 动量的传递 内力虽不能改变 整个质点系的动量 但 可以引起系统内各质点 动量的传递 质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律 e d d F p t 27 质点系动量定理质点系动量定理 例例例例9 9 3 3 质量为质量为M的大三角块 放于光滑水平面上 斜 面上另放一质量为 的大三角块 放于光滑水平面上 斜 面上另放一质量为m的小三角块 求小三角块滑到底时 大三角块的位移 的小三角块 求小三角块滑到底时 大三角块的位移 解 解 解 解 选选选选整个系统为整个系统为研究对象研究对象研究对象研究对象 受力分析受力分析受力分析 受力分析 如图所示如图所示 0 e x F xx pp 0 运动分析运动分析运动分析 运动分析 小三角块的绝对速度小三角块的绝对速度 ra vvv vM 由由质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律 有 有 r vvm x 0 0 gMgm r v v N F 28 质点系动量定理质点系动量定理 解题步骤 解题步骤 解题步骤 解题步骤 1 选取选取研究对象研究对象研究对象研究对象 2 进行进行受力分析受力分析受力分析受力分析 画出受力图 画出受力图 3 进行进行运动分析运动分析运动分析运动分析 4 应用应用质点系动量定理质点系动量定理质点系动量定理质点系动量定理 守恒定律守恒定律守恒定律守恒定律 建立方程 求解未知量 只需考虑 建立方程 求解未知量 只需考虑外力外力外力外力 所有运动量均为 所有运动量均为绝对量绝对量绝对量绝对量 x v mM m v r ba mM m x S mM m S r vM r vvm x 0 29 质点系动量定理质点系动量定理 思考思考 小三角块与大三角块间的摩擦对什么有影响 小三角块与大三角块间的摩擦对什么有影响 30 质点系动量定理质点系动量定理 思考题思考题思考题思考题 长均为长均为l 质量均为 质量均为m的均质杆的均质杆OA OB在在O处 光滑铰接 求图示两种运动状态时 系统的动量 处 光滑铰接 求图示两种运动状态时 系统的动量 v v 31 质点系动量定理质点系动量定理 9 9 2 2 质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理 e d d F p t 质点系的动量定理 质点系的动量定理 m 即 即 即 即 质点系的质量与其质心加速度的乘积 等于作用于 质点系 质点系的质量与其质心加速度的乘积 等于作用于 质点系外力系的主矢外力系的主矢 C a e F m C r e F 或或 质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理 将代入 并当质点系将代入 并当质点系质量不变质量不变质量不变质量不变时 有时 有 C mvp 32 质点系动量定理质点系动量定理 1 1 应用时应取应用时应取投影形式投影形式投影形式投影形式 e FaCm 讨论 讨论 讨论 讨论 直角坐标系直角坐标系直角坐标系直角坐标系 Cx ma e x F e yCy Fma e zCz Fma 思考 思考 写出在自然轴系中的投影形式 写出在自然轴系中的投影形式 33 质点系动量定理质点系动量定理 可见 可见 可见 可见 假想把整个质点系的质量集中于质心 且作用于 质点系上的全部外力也都集中于质心 则 假想把整个质点系的质量集中于质心 且作用于 质点系上的全部外力也都集中于质心 则质点系质心的质点系质心的质点系质心的质点系质心的 运动相当于一个质点的运动运动相当于一个质点的运动运动相当于一个质点的运动运动相当于一个质点的运动 Fam e Fa C m 2 2 与与与与质点动力学基本方程质点动力学基本方程质点动力学基本方程质点动力学基本方程的比较的比较的比较 质点动力学基本方程 质心运动定理 的比较 质点动力学基本方程 质心运动定理 单个质点单个质点 质点系质点系 34 质点系动量定理质点系动量定理 例如 例如 例如 例如 定向爆破 根据 定向爆破 根据质心的运动轨迹质心的运动轨迹质心的运动轨迹质心的运动轨迹及需要堆积土石块的位置 可 以设计质心的初始发射倾角和速率大小 及需要堆积土石块的位置 可 以设计质心的初始发射倾角和速率大小 C v 35 质点系动量定理质点系动量定理 3 只有只有外力外力外力外力才能改变质点系质心的运动 内力不能改变 质心的运动 但可以改变系统内各质点的运动 才能改变质点系质心的运动 内力不能改变 质心的运动 但可以改变系统内各质点的运动 例如 例如 例如 例如 汽车靠什么汽车靠什么外力外力外力外力启动 启动 e FaCm 静静滑动摩擦力滑动摩擦力 思考 思考 思考 思考 当汽车制动时 又是什么当汽车制动时 又是什么外力外力外力外力使汽车的质心运动 停止的呢 使汽车的质心运动 停止的呢 36 质点系动量定理质点系动量定理 若 则常矢量 即质心作 若 则常矢量 即质心作匀速直线运动匀速直线运动匀速直线运动匀速直线运动 0 e F CC va 0 4 4 质心运动守恒定律质心运动守恒定律质心运动守恒定律质心运动守恒定律 若开始时系统静止 即 则常矢量 即 若开始时系统静止 即 则常矢量 即质心位置质心位置质心位置质心位置始终保持不变 始终保持不变 0 0 C v C r 若 则常量 即质心 若 则常量 即质心在该轴上的速度投影在该轴上的速度投影在该轴上的速度投影在该轴上的速度投影保持不变 保持不变 0 e x F CxCx va 0 若开始时 则常量 即质心 若开始时 则常量 即质心沿该轴的位置坐标沿该轴的位置坐标沿该轴的位置坐标沿该轴的位置坐标保持不变 保持不变 0 0 Cx v C x e FaCm 37 质点系动量定理质点系动量定理 或或 e FaCi i M e Fr Cii M 5 5 刚体系统刚体系统刚体系统 设第 刚体系统 设第 i 个刚体 则有个刚体 则有 Cii Ma Cixia M e yCiiCiyi FyMaM e zCiiCizi FzMaM 直角坐标投影式 直角坐标投影式 e x F Ciix M 38 质点系动量定理质点系动量定理 第一类 第一类 第一类 第一类 已知质点系质心已知质点系质心的运动 求作用于质点系的 外力 包括约束力 的运动 求作用于质点系的 外力 包括约束力 思考 思考 思考 思考 若已知质点系一部分的运动 则如何求另一 部分的运动 若已知质点系一部分的运动 则如何求另一 部分的运动 6 6 求解两类动力学问题求解两类动力学问题求解两类动力学问题求解两类动力学问题 第二类 第二类 第二类 第二类 已知作用于质点系的外力 求质心已知作用于质点系的外力 求质心的运动规律 的运动规律 e Fa C m 39 质点系动量定理质点系动量定理 例例例例9 9 4 4 电动机的外壳固定在水平基础上 定子质量为电动机的外壳固定在水平基础上 定子质量为 m1 转子质量为 转子质量为m2 设转子的轴通过定子质心 设转子的轴通过定子质心O1 由于 制造误差 转子质心 由于 制造误差 转子质心O2到到O1的距离为的距离为e 求转子以匀角 速度 求转子以匀角 速度 转动时 基础的约束力 研究对象 整个电动机 转动时 基础的约束力 研究对象 整个电动机 受力分析受力分析 运动分析运动分析 m1g m2g Fx Fy M m1g m2 g Fx Fy M 解 解 解 解 r12 aaa teaa yy sin 2 12 cos 2 12 teaa xx 40 质点系动量定理质点系动量定理 根据根据质心运动定理质心运动定理 有 有 e xCx Fma cos 2 2 tea x tea y sin 2 2 cos 2 2 tem e yCy Fma sin 2 2 tem temFx cos 2 2 temgmgmF y sin 2 221 由于偏心引起的由于偏心引起的附加附加附加附加动约束力动约束力动约束力动约束力是随时间变化的是随时间变化的周期函数周期函数周期函数周期函数 x F gmgmFy 21 0 11 yx aaQ m1g m2g Fx Fy M 41 质点系动量定理质点系动量定理 O 例例例例9 9 5 5 在绝对光滑的水平面上放一半径为在绝对光滑的水平面上放一半径为r 质量为 质量为 M的圆环 在某一瞬间有一质量为的圆环 在某一瞬间有一质量为m的甲虫开始沿此圆 环爬行 试求甲虫及圆环中心的运动轨迹 的甲虫开始沿此圆 环爬行 试求甲虫及圆环中心的运动轨迹 解 解 解 解 取圆环和甲虫作为质点系研究 由 取圆环和甲虫作为质点系研究 由质心运动守恒定理质心运动守恒定理质心运动守恒定理质心运动守恒定理可知质心的位置是固定不变的 可知质心的位置是固定不变的 受力分析受力分析受力分析受力分析 运动分析运动分析运动分析运动分析 在水平面内不受外力 开始时系统静止 在水平面内不受外力 开始时系统静止 0 0 C v 由质心定义和题设条件 可知质心由质心定义和题设条件 可知质心C必在圆环中心必在圆环中心O 与甲虫与甲虫A的连线上 的连线上 C A 42 质点系动量定理质点系动量定理 Mm OAm CO Mm OAM CA 因和都是因和都是常数常数常数常数 故在运动过程中 甲虫和 圆环中心相对于固定点 故在运动过程中 甲虫和 圆环中心相对于固定点C的距离始终保持不变 的距离始终保持不变 CACO 因此 它们的运动轨迹为以因此 它们的运动轨迹为以C点为圆心 半径分别 为和的圆 点为圆心 半径分别 为和的圆 Mm Mr Mm mr Mm mr Mm Mr O C A 43 质点系动量定理质点系动量定理 例例例例9 9 7 7 在例在例4中 若电动机外壳未 固定 且摩擦不计 初始系统静止 中 若电动机外壳未 固定 且摩擦不计 初始系统静止 受力分析受力分析受力分析受力分析 运动分析运动分析运动分析运动分析 求 电动机跳起的条件 外壳在水平方向的运动规律 求 电