第三章 MATLAB 矩阵分析与处理.pdf

1 第三章第三章MATLAB MATLAB 矩阵分析与处理矩阵分析与处理 2 主要内容主要内容 特殊矩阵特殊矩阵 矩阵结构变换矩阵结构变换 矩阵求逆与线性方程组求解矩阵求逆与线性方程组求解 矩阵求值矩阵求值 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 矩阵的超越函数矩阵的超越函数 3 特殊矩阵特殊矩阵 通用的特殊矩阵通用的特殊矩阵 零矩阵零矩阵 幺矩阵幺矩阵 单位矩阵单位矩阵 随机矩阵随机矩阵 用于专门学科的特殊矩阵用于专门学科的特殊矩阵 魔方矩阵魔方矩阵 范德蒙德矩阵范德蒙德矩阵 希尔伯特矩阵希尔伯特矩阵 特普利茨矩阵特普利茨矩阵 伴随矩阵伴随矩阵 帕斯卡矩阵帕斯卡矩阵 4 通用的特殊矩阵通用的特殊矩阵 常用的产生通用特殊矩阵的函数常用的产生通用特殊矩阵的函数 zeros 产生 产生全全0矩阵矩阵 零矩阵零矩阵 ones 产生 产生全全1矩阵矩阵 幺矩阵幺矩阵 eye 产生 产生单位矩阵单位矩阵 rand 产生 产生0 1间间均匀分布均匀分布的的随机矩阵随机矩阵 randn 产生 产生均值为均值为0 方差为 方差为1的的标准正态分布标准正态分布随机矩阵随机矩阵 以以zeros函数为例函数为例 zeros m 产生 产生m m零矩阵零矩阵 zeros m n 产生 产生m n零矩阵零矩阵 zeros size A 产生一个与矩阵 产生一个与矩阵A同样大小的零矩阵同样大小的零矩阵 5 通用的特殊矩阵通用的特殊矩阵 续续 例 分别建立例 分别建立3 3 3 2和与矩阵和与矩阵A同样大小的零矩阵 同样大小的零矩阵 建立一个建立一个3 3零矩阵零矩阵 zeros 3 建立一个建立一个3 2零矩阵零矩阵 zeros 3 2 设设A为为2 3矩阵 则可以用矩阵 则可以用zeros size A 建立一个与矩阵建立一个与矩阵A同样大同样大 小零矩阵小零矩阵 A 1 2 3 4 5 6 产生一个产生一个2 3阶矩阵阶矩阵A zeros size A 产生一个与矩阵产生一个与矩阵A同样大小的零矩阵同样大小的零矩阵 6 通用的特殊矩阵通用的特殊矩阵 续续 随机矩阵的生成随机矩阵的生成 Rand 生成均匀分布的伪随机数生成均匀分布的伪随机数 分布在 分布在 0 1 之间 之间 主要语法 主要语法 rand m n 生成生成m行行n列的均匀分布的伪随机数列的均匀分布的伪随机数 产生在产生在 a b 区间服从均匀分布的随机数方法区间服从均匀分布的随机数方法 a b a rand m n Randn 生成标准正态分布的伪随机数生成标准正态分布的伪随机数 均值为 均值为0 方差为 方差为1 主要语法 和上面一样主要语法 和上面一样 产生均值为 方差为的随机数方法产生均值为 方差为的随机数方法 2 randn m n 7 通用的特殊矩阵通用的特殊矩阵 续续 例建立随机矩阵 例建立随机矩阵 1 在区间在区间 20 50 内均匀分布的内均匀分布的5阶随机矩阵 阶随机矩阵 2 均值为均值为0 6 方差为 方差为0 1的的5阶正态分布随机矩阵 阶正态分布随机矩阵 命令如下 命令如下 x 20 50 20 rand 5 y 0 6 sqrt 0 1 randn 5 注意 注意 正常情况下每次调用相同正常情况下每次调用相同rand指令生成的随机数是不同的指令生成的随机数是不同的 例如 例如 rand 1 3 ans 0 1390434825360490 7340076333626350 19479146484 3949 rand 1 3 ans 0 6022047663242150 93792374501942207192 8 通用的特殊矩阵通用的特殊矩阵 续续 主要原因 主要原因 matlab的的rand函数生的是伪随机数函数生的是伪随机数 即由随机种子递推出来的即由随机种子递推出来的 相 同的种子 相 同的种子 生成相同的随机数生成相同的随机数 matlab刚运行起来时刚运行起来时 种子都为初始值种子都为初始值 因此每次第一次执行因此每次第一次执行rand 得到的随机数都是相同的得到的随机数都是相同的 多次运行生成相同的随机数方法多次运行生成相同的随机数方法 用用rand state S 设定种子 设定种子 S取值为取值为0 2 32 1 最简单的 方法是设为 最简单的 方法是设为0 例例 rand state 0 rand 5 9 用于专门学科的特殊矩阵用于专门学科的特殊矩阵 魔方矩阵魔方矩阵 性质 每行 每列及两条对角线上的元素和都相等性质 每行 每列及两条对角线上的元素和都相等 实例实例 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1 例 将例 将101 125等等25个数填入一个个数填入一个5行行5列的表格中 使其每 行每列及对角线的和均为 列的表格中 使其每 行每列及对角线的和均为565 M 100 magic 5 10 用于专门学科的特殊矩阵用于专门学科的特殊矩阵 续续 范德蒙德范德蒙德 Vandermonde 矩阵矩阵 性质 性质 最后一列全为最后一列全为1 倒数第二列为一个指定的向量 其他各 列是其后列与倒数第二列的点乘积 倒数第二列为一个指定的向量 其他各 列是其后列与倒数第二列的点乘积 实例 实例 64 16 4 1 125 25 5 1 216 36 6 1 343 49 7 1 可以用一个指定向量生成一个范德蒙德矩阵可以用一个指定向量生成一个范德蒙德矩阵 函数函数vander V 生成以生成以向量向量V为基础向量为基础向量的范德蒙德矩阵的范德蒙德矩阵 例如 例如 A vander 4 5 6 7 即可得到上述范德蒙德矩阵即可得到上述范德蒙德矩阵 A vander 4 5 6 7 等价于等价于vander 4 7 11 用于专门学科的特殊矩阵用于专门学科的特殊矩阵 续续 希尔伯特矩阵希尔伯特矩阵 性质 性质 矩阵的每个元素矩阵的每个元素aij为为1 i j 1 实例实例 1 1 2 1 3 1 4 1 2 1 3 1 4 1 5 1 3 1 4 1 5 1 6 1 4 1 5 1 6 1 7 生成希尔伯特矩阵的函数生成希尔伯特矩阵的函数 hilb n 求希尔伯特矩阵的逆的函数求希尔伯特矩阵的逆的函数 希尔伯特矩阵是一个希尔伯特矩阵是一个条件数很差条件数很差的矩阵 使用一般方法求逆会因为原始数 据的微小扰动而产生不可靠的计算结果 的矩阵 使用一般方法求逆会因为原始数 据的微小扰动而产生不可靠的计算结果 MATLAB中 有一个专门求希尔伯特矩阵的逆的函数中 有一个专门求希尔伯特矩阵的逆的函数invhilb n 其功能 是求 其功能 是求n阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵 阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵 例 求例 求4阶希尔伯特矩阵及其逆矩阵 阶希尔伯特矩阵及其逆矩阵 format rat 以有理数形式输出以有理数形式输出 H hilb 4 H invhilb 4 12 用于专门学科的特殊矩阵用于专门学科的特殊矩阵 续续 特普利茨矩阵特普利茨矩阵 性质 性质 除第一行第一列外 其他每个元素都与左上角的元素相同除第一行第一列外 其他每个元素都与左上角的元素相同 实例实例 2 3 4 5 6 7 8 9 3 2 3 4 5 6 7 8 4 3 2 3 4 5 6 7 5 4 3 2 3 4 5 6 生成特普利茨矩阵的函数生成特普利茨矩阵的函数 toeplitz x y 生成一个以 生成一个以x为第一列 为第一列 y为第一行为第一行的托普利兹矩阵 这里的托普利兹矩阵 这里x y均为向量 两者不必等长 均为向量 两者不必等长 例例 toeplitz 2 5 2 9 toeplitz 2 5 2 8 9 toeplitz x 用向量用向量x生成一个对称的特普利茨矩阵 生成一个对称的特普利茨矩阵 例例 T toeplitz 1 6 13 用于专门学科的特殊矩阵用于专门学科的特殊矩阵 续续 伴随矩阵伴随矩阵 矩阵中的元素用它们在行列式中的代数余子式替换后得到的矩阵再 转置 这个矩阵叫 矩阵中的元素用它们在行列式中的代数余子式替换后得到的矩阵再 转置 这个矩阵叫A的伴随矩阵 的伴随矩阵 生成伴随矩阵的函数生成伴随矩阵的函数 compan p 其中 其中p是一个是一个多项式的系数向量多项式的系数向量 高次幂系数排在前 低次幂排在后 高次幂系数排在前 低次幂排在后 例 求多项式例 求多项式x3 7x 6的伴随矩阵的伴随矩阵 p 1 0 7 6 compan p 14 用于专门学科的特殊矩阵用于专门学科的特殊矩阵 续续 帕斯卡矩阵帕斯卡矩阵 二次项二次项 x y n 展开后的系数 随 展开后的系数 随n的增大组成 一个三角形表 称为杨辉三 角形 的增大组成 一个三角形表 称为杨辉三 角形 由杨辉三角形 组成的矩阵称 为帕斯卡 由杨辉三角形 组成的矩阵称 为帕斯卡 Pascal 矩阵矩阵 15 用于专门学科的特殊矩阵用于专门学科的特殊矩阵 续续 生成一个生成一个n阶帕斯卡矩阵的函数阶帕斯卡矩阵的函数 pascal n 例 求例 求 x y 4的展开式的展开式 pascal 5 ans 1 1 1 1 1 1 2 3 45 1 3 610 15 1 410 20 35 15 15 35 70 矩阵次对角线上的元素矩阵次对角线上的元素1 4 6 4 1即为展开式的系数即为展开式的系数 16 主要内容主要内容 特殊矩阵特殊矩阵 矩阵结构变换矩阵结构变换 矩阵求逆与线性方程组求解矩阵求逆与线性方程组求解 矩阵求值矩阵求值 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 矩阵的超越函数矩阵的超越函数 17 对角阵对角阵 对角阵对角阵 只有只有对角线对角线上有上有非非0元素元素的矩阵称为对角矩阵的矩阵称为对角矩阵 特例特例 对角线上的对角线上的元素相等元素相等的对角矩阵称为的对角矩阵称为数量矩阵数量矩阵 对角线上的对角线上的元素都为元素都为1的对角矩阵称为的对角矩阵称为单位矩阵单位矩阵 对角线的性质对角线的性质 转置运算对角线元素不变转置运算对角线元素不变 相似运算对角线元素的和不变相似运算对角线元素的和不变 矩阵研究中经常用到矩阵研究中经常用到 提取矩阵的对角线元素提取矩阵的对角线元素 生成列向量生成列向量 利用向量利用向量 构造对角矩阵构造对角矩阵 18 对角阵对角阵 续 续 提取矩阵的对角线元素提取矩阵的对角线元素 设设A为为m n矩阵 矩阵 diag A 函数用于提取矩阵函数用于提取矩阵A主对角线元素 产 生一个具有 主对角线元素 产 生一个具有min m n 个元素的个元素的列向量列向量 A 1 2 3 4 5 6 B diag A diag A 函数还有一种形式函数还有一种形式diag A k 其功能是提取第 其功能是提取第k条对角线 的元素 条对角线 的元素 与主对角线平行与主对角线平行 往上为第往上为第1条条 第第2条条 第第n条对角线 往下为第条对角线 往下为第 1条 第 条 第 2条条 第第 n条对角线条对角线 例 提取例 提取A矩阵主对角线两侧对角线元素矩阵主对角线两侧对角线元素 C diag A 1 D diag A 1 19 对角阵对角阵 续 续 构造对角矩阵构造对角矩阵 设设V为具有为具有m个元素的向量 个元素的向量 diag V 将产生一个将产生一个m m对角矩阵 其主对角线元素即为向量 对角矩阵 其主对角线元素即为向量V的元素 的元素 diag 1 2 3 4 diag V 函数也有另一种形式函数也有另一种形式diag V k 其功能是产生一个 其功能是产生一个 n n n m k 对角阵 其第对角阵 其第k条对角线的元素即为向量条对角线的元素即为向量V的元素的元素 diag 1 4 1 20 对角阵对角阵 续 续 例 先建立例 先建立5 5矩阵矩阵A 然后将 然后将A的第一行元素乘以的第一行元素乘以1 第 二行乘以 第 二行乘以2 第五行乘以 第五行乘以5 A 17 0 1 0 15 23 5 7 14 16 4 0 13 0 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 19 D diag 1 5 D A 用D左乘A 对A的每行乘以一个指定常数 问题 对矩阵问题 对矩阵A的每列元素乘以同一个数 如何实现 的每列元素乘以同一个数 如何实现 答 对角阵答 对角阵右乘右乘矩阵矩阵A 21 三角阵三角阵 三角阵三角阵 上三角阵 矩阵的对角线以下的元素全为上三角阵 矩阵的对角线以下的元素全为0的一种矩阵的一种矩阵 下三角阵 对角线以上的元素全为下三角阵 对角线以上的元素全为0的一种矩阵的一种矩阵 上三角矩阵上三角矩阵 求矩阵求矩阵A的上三角阵的的上三角阵的MATLAB函数是函数是triu A 功能 提取矩阵功能 提取矩阵A的上三角元素的上三角元素 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 B triu A triu A 函数也有另一种形式函数也有另一种形式triu A k 功能 提取矩阵功能 提取矩阵A的第的第k条对角线以上的元素条对角线以上的元素 C triu A 2 2 下三角矩阵下三角矩阵 tril A 和和tril A k 用法与提取上三角矩阵的函数用法与提取上三角矩阵的函数triu A 和和triu A k 完全相同 完全相同 22 矩阵的转置与旋转矩阵的转置与旋转 矩阵的转置矩阵的转置 转置运算符是转置运算符是单撇号单撇号 D A 矩阵的旋转矩阵的旋转 以以90 为单位为单位对矩阵按对矩阵按逆时针方向逆时针方向进行旋转进行旋转 rot90 A k 将矩阵将矩阵A旋转旋转90 的的k倍 当倍 当k为为1时可省略 时可省略 E rot90 A F rot90 A 4 23 矩阵的转置与旋转矩阵的转置与旋转 续 续 矩阵的左右翻转矩阵的左右翻转 列调换列调换 将原矩阵的第一列和最后一列调换 第二列和倒数第二列调换 将原矩阵的第一列和最后一列调换 第二列和倒数第二列调换 依次类推 依次类推 MATLAB对矩阵对矩阵A实施左右翻转的函数是实施左右翻转的函数是fliplr A G fliplr A 矩阵的上下翻转矩阵的上下翻转 行调换行调换 MATLAB对矩阵对矩阵A实施上下翻转的函数是实施上下翻转的函数是flipud A H flipud A 24 主要内容主要内容 特殊矩阵特殊矩阵 矩阵结构变换矩阵结构变换 矩阵求逆与线性方程组求解矩阵求逆与线性方程组求解 矩阵求值矩阵求值 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 矩阵的超越函数矩阵的超越函数 25 矩阵求逆矩阵求逆 矩阵的逆矩阵的逆 对于一个对于一个方阵方阵A 如果存在一个与其同阶的方阵 如果存在一个与其同阶的方阵B 使得 使得 A B B A I I为单位矩阵为单位矩阵 则称则称B为为A的逆矩阵 当然 的逆矩阵 当然 A也是也是B的逆矩阵 的逆矩阵 求一个矩阵的逆是一件非常烦琐的工作 容易出错 但在求一个矩阵的逆是一件非常烦琐的工作 容易出错 但在 MATLAB中 求一个矩阵的逆非常容易 中 求一个矩阵的逆非常容易 求方阵求方阵A的逆矩阵可调用函数的逆矩阵可调用函数inv A A 1 1 1 5 4 3 2 1 1 B inv A A B B A 26 矩阵求逆矩阵求逆 续 续 矩阵的伪逆矩阵的伪逆 如果矩阵如果矩阵A不是一个方阵不是一个方阵 或者 或者A是一个是一个非满秩的方阵非满秩的方阵时 矩阵时 矩阵A 没有逆矩阵 但可以找到一个与没有逆矩阵 但可以找到一个与A的转置矩阵的转置矩阵A 同型的矩阵同型的矩阵B 使得 使得 A B A A B A B B 此时称矩阵此时称矩阵B为矩阵为矩阵A的伪逆 也称为广义逆矩阵 的伪逆 也称为广义逆矩阵 在在MATLAB中 求一个矩阵伪逆的函数是中 求一个矩阵伪逆的函数是pinv A A 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 B pinv A 27 线性方程组求解线性方程组求解 用矩阵求逆方法求解线性方程组用矩阵求逆方法求解线性方程组 在线性方程组在线性方程组Ax b两边各左乘两边各左乘A 1 有 有 A 1Ax A 1b 由于由于A 1A I 故得 故得 x A 1b 例 用求逆矩阵的方法解线性方程组 例 用求逆矩阵的方法解线性方程组 A 1 2 3 1 4 9 1 8 27 b 5 2 6 x inv A b 也可以运用左除运算符也可以运用左除运算符 求解线性代数方程组 求解线性代数方程组 x A b 6278 294 532 zyx zyx zyx 28 主要内容主要内容 特殊矩阵特殊矩阵 矩阵结构变换矩阵结构变换 矩阵求逆与线性方程组求解矩阵求逆与线性方程组求解 矩阵求值矩阵求值 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 矩阵的超越函数矩阵的超越函数 29 方阵的行列式方阵的行列式 把一个方阵看作一个行列式 并对其按行列式的规则求值 这个值就称为所对应的行列式的值 把一个方阵看作一个行列式 并对其按行列式的规则求值 这个值就称为所对应的行列式的值 在在MATLAB中 求中 求方阵方阵A所对应的行列式的值的函数是所对应的行列式的值的函数是 det A 例例 A rand 5 B det A 30 矩阵的秩和迹矩阵的秩和迹 矩阵的秩矩阵的秩 矩阵线性无关的行数与列数称为矩阵的秩 矩阵线性无关的行数与列数称为矩阵的秩 在在MATLAB中 求矩阵秩的函数是中 求矩阵秩的函数是rank A A 1 2 3 1 4 9 1 8 27 r rank A 矩阵的迹矩阵的迹 矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和 也等于矩阵的特征值之和矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和 也等于矩阵的特征值之和 在在MATLAB中 求矩阵的迹的函数是中 求矩阵的迹的函数是trace A A 1 2 3 1 4 9 1 8 27 trace A 31 向量和矩阵的范数向量和矩阵的范数 向量和矩阵的范数向量和矩阵的范数 矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义某种意义下的长度 下的长度 范数有多种方法定义 其定义不同 范数值也就不同 范数有多种方法定义 其定义不同 范数值也就不同 向量的范数向量的范数 3种常用范数及其计算函数种常用范数及其计算函数 设向量设向量V v1 v2 vn 1 范数 范数 V 1 v1 v2 vn 2 范数 范数 V 2 v1 2 v2 2 vn 2 1 2 范数 范数 V max v1 v2 vn 在在MATLAB中 求向量范数的函数为 中 求向量范数的函数为 1 norm V 或或norm V 2 计算向量 计算向量V的的2 范数 范数 2 norm V 1 计算向量 计算向量V的的1 范数 范数 3 norm V inf 计算向量 计算向量V的 的 范数 范数 32 向量和矩阵的范数向量和矩阵的范数 续 续 矩阵的范数及其计算函数矩阵的范数及其计算函数 1 范数 范数 A 1 max ai1 ai2 ain 列和范数列和范数 A每一列元素绝对值之和的最大值 每一列元素绝对值之和的最大值 其中 其中 ai1 第一列元素绝对值的和 第一列元素绝对值的和 ai1 a11 a21 an1 其余类似 其余类似 2 范数 范数 A 2 A的最大奇异值的最大奇异值 max i A H A 1 2 谱范数谱范数 即即A A特征值 特征值 i中最大者 中最大者 1的平方根 其中的平方根 其中A H为为A的转置共轭 矩阵 的转置共轭 矩阵 范数 范数 A max a1j a2j amj 行和范数行和范数 A每一行元素绝对值之和的最大值 每一行元素绝对值之和的最大值 其中为 其中为 a1j 第一行元素绝对值的和 其余类似 第一行元素绝对值的和 其余类似 MATLAB提供了求提供了求3种矩阵范数的函数 其函数调用格式与求向量的 范数的函数完全相同 种矩阵范数的函数 其函数调用格式与求向量的 范数的函数完全相同 A 1 2 3 1 4 9 1 8 27 a1 norm A 1 a2 norm A 2 ainf norm A inf 33 矩阵的条件数矩阵的条件数 矩阵的条件数矩阵的条件数 用用矩阵及其逆矩阵的范数的乘积矩阵及其逆矩阵的范数的乘积表示矩阵的条件数表示矩阵的条件数 cond A A A 1 为什么要研究矩阵的条件数 为什么要研究矩阵的条件数 矩阵条件数的大小是衡量矩阵条件数的大小是衡量矩阵矩阵 坏坏 或或 好好 的标志的标志 一个简单的例子是 如果我们想求解线性方程组一个简单的例子是 如果我们想求解线性方程组Ax b 虽然当 虽然当A 可逆时 理论上可以解出可逆时 理论上可以解出x A 1 b 但在实际工程中 由于构 成 但在实际工程中 由于构 成A b中的数可能都不是精确的 而仅是一些近似数 当中的数可能都不是精确的 而仅是一些近似数 当b中数 据发生 中数 据发生 小小 的变化时会对解的变化时会对解x造成多大的误差呢 如果误差很大 那么 这种方程按 造成多大的误差呢 如果误差很大 那么 这种方程按x A 1 b算出的结果算出的结果x就不可信 因此称 为病态方程 就不可信 因此称 为病态方程 利用矩阵论理论 利用矩阵论理论 当当A的条件数越大 方程的条件数越大 方程Ax b的病态就越严重的病态就越严重 这也就是我们研究条件数的原因 这也就是我们研究条件数的原因 34 矩阵的条件数矩阵的条件数 续 续 由于矩阵范数的定义不同 因而其条件数也不同 但是由 于矩阵范数的等价性 故在不同范数下的条件数也是等价 的 由于矩阵范数的定义不同 因而其条件数也不同 但是由 于矩阵范数的等价性 故在不同范数下的条件数也是等价 的 在在MATLAB中 计算矩阵中 计算矩阵A的的3种条件数的函数是 种条件数的函数是 1 cond A 1 计算计算A的的1 范数下的条件数 范数下的条件数 2 cond A 或或cond A 2 计算计算A的的2 范数数下的条件数 范数数下的条件数 3 cond A inf 计算计算A的 的 范数下的条件数 范数下的条件数 A 1 2 3 1 4 9 1 8 27 a1 cond A B 2 5 4 1 5 2 1 2 4 a2 cond B a3 cond hilb 5 35 主要内容主要内容 特殊矩阵特殊矩阵 矩阵结构变换矩阵结构变换 矩阵求逆与线性方程组求解矩阵求逆与线性方程组求解 矩阵求值矩阵求值 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 矩阵的超越函数矩阵的超越函数 36 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 在在MATLAB中 计算矩阵中 计算矩阵A的特征值和特征向量的函数是的特征值和特征向量的函数是 eig A 常用的调用格式有 常用的调用格式有3种 种 1 E eig A 求矩阵 求矩阵A的全部特征值 构成向量的全部特征值 构成向量E 2 V D eig A 求矩阵 求矩阵A的全部特征值 构成对角阵的全部特征值 构成对角阵D 并求 并求A 的特征向量构成的特征向量构成V的列向量 的列向量 3 V D eig A nobalance 与第 与第2种格式类似 但第种格式类似 但第2种格式 中先对 种格式 中先对A作相似变换后求矩阵作相似变换后求矩阵A的特征值和特征向量 而格式的特征值和特征向量 而格式3直 接求矩阵 直 接求矩阵A的特征值和特征向量 的特征值和特征向量 A 1 1 0 5 1 1 0 25 0 5 0 25 2 V D eig A A V V D 37 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 续 续 例 用求特征值的方法解方程例 用求特征值的方法解方程 3x5 7x4 5x2 2x 18 0 第一步 构造与方程对应的多项式的伴随矩阵第一步 构造与方程对应的多项式的伴随矩阵 p 3 7 0 5 2 18 A compan p A为伴随矩阵为伴随矩阵 第二步 求第二步 求A的特征值的特征值 x1 eig A A的特征值即为方程的根的特征值即为方程的根 比较 比较 用直接求多项式零点的方法解方程用直接求多项式零点的方法解方程 x2 roots p edit roots m roots函数正是应用求伴随矩阵的特征值方法来求方程的根函数正是应用求伴随矩阵的特征值方法来求方程的根 38 主要内容主要内容 特殊矩阵特殊矩阵 矩阵结构变换矩阵结构变换 矩阵求逆与线性方程组求解矩阵求逆与线性方程组求解 矩阵求值矩阵求值 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 矩阵的超越函数矩阵的超越函数 39 矩阵的超越函数矩阵的超越函数 矩阵的超越函数矩阵的超越函数 在在MATLAB中