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第三节 气体的等容变化专项训练第四节 理想气体状态方程【例题精选】： 例1：一圆筒形气缸静置于地面上，如图所示，气缸筒的质量为M，活塞（连同手柄）的质量为m，气缸内部的横截面积为S，大气压强为P0，平衡时气缸内的容积为V，现用手握住活塞手柄缓慢向上提，设气缸足够长，在整个上提过程中气体温度保持不变，并不计气缸内气体的重力及活塞与气缸壁间的摩擦。求将气缸刚提离地面时活塞上升的距离。分析：本题是气体状态平衡与力的平衡相结合的综合题。在这个问题中，封闭气体的压强是联系气体与活塞和气缸的中介量。取气体为研究对象时，压强是气体的状态参量，取活塞或气缸为研究对象时，气体对活塞或气缸底面的压力等于PS。取气缸内封闭的气体为研究对象，气缸静置于地面时是它的初态，把气缸提离地面时是它的末态，在状态变化过程中，温度不变，可应用玻意耳马略特定律，设把气缸提离地面时活塞向上移动的距离为x，则气体在初态时体积，压强为，末态时体积，压强为，其中V，S是已知的，如果知道了，根据即可求出x，但压强需要通过对活塞、气缸进行受力分析，根据力的平衡求出。解：以封闭气体为研究对象，设气体原来压强为，气缸刚提离地面时活塞上升的距离为x，气体压强为，根据玻意耳马略特定律可得取活塞为研究对象，气缸静置于地面时，活塞受力如下图a所示，根据物体平衡条件可得所以把气缸刚提离地面时活塞受力如下图b所示，根据物体平衡条件可得由于式中的F是未知的，无法求出，还需进一步确定新的研究对象。取气缸筒为研究对象，把气缸刚提离地面时，气缸筒在竖直方向受力如下图c所示，根据物体平衡条件可得： 所以 把、代入方程可得所以小结：上面通过取活塞为研究对象利用方程求出，取气缸筒为研究对象利用方程求出，取封闭气体为研究对象利用方程求出了x，可以看出，正确分析物体状态、正确选取研究对象在解题中是很重要的，在求解时，如果不是取气缸筒为研究对象，而是取气缸整体（活塞和气缸筒）为研究对象，那么把气缸提离地面时，在竖直方向受力如上图d所示，根据物体平衡条件可得由于封闭气体对活塞和气缸筒的作用力为内力，不出现在力的平衡方程中，因此方程中不含，而且方程中的F属于未知量，因此还需要列出方程，由式、消去F求得显然这样求解要繁些。 总之，利用理想气体状态方程解决问题的主要步骤是：确定一定质量的气体为研究对象；明确一段变化过程；确定初末两态的参量；列方程求解。 例2：如图所示，一个质量可不计的活塞将一定量的理想气体封闭在上端开口的直立圆筒形气缸内，活塞上堆放着铁砂，最初活塞搁置在气缸内壁的固定卡环上，气体柱的高度为H0，压强等于大气压强P0，现对气体缓慢加热，当气体温度升高了时，活塞（及铁砂）开始离开卡环而上升，继续加热直到气柱高度为。此后，在维持温度不变的条件下逐渐取走铁砂，直到铁砂全部取走时，气柱高度变为，求此时气体的温度（不计活塞与气缸之间的摩擦）。分析：这是一个多状态变化过程的问题。被活塞封闭在缸内的气体，从最初的状态变化到最终状态共四个状态，经历了三个过程，设初始状态为状态1，活塞开始离开卡环时为状态2，气柱高度为H1时为状态3，气柱高度为H2时为状态4，则气体经历的三个状态变化过程是：状态1状态2状态3状态4每个状态都有3个参量，四个状态共12个参量，关系是复杂的，为了便于看出各参量间的关系，可列表写出各参量（见下表）。取活塞面积为单位面积，则气体体积可用气柱高表示，表中已知量为，所求量为，其余皆为未知量。经过分析，对气体的状态变化过程和各状态参量已完全清楚，便可根据气体状态变化规律列方程求解。状态压强体积温度1234解法1 沿着被封闭气体状态变化的过程逐步求解。设气体最初温度，压强。取活塞面积为面积单位，则体积，活塞刚离开卡环时的温度，压强为，体积，由于体积不变，根据查理定律可得，即设气柱高度为H1时温度为T3，压强为P3，体积，由于，根据盖吕萨克定律可得，即设气柱高度为H2时的温度为T4，压强，体积，由于，根据玻意耳马略特定律可得，即由式、消去P0，并利用可得由式，并利用得 解法2 根据理想气体状态方程，打破状态变化顺序，选取关系简单的两个状态列方程求解。 设气体在初状态时压强，体积，温度。气体刚离开卡环时的压强为P2，体积，温度，气柱高度为H1时气体压强为，体积，温度为T3，气柱高度为H2时气体的压强，体积，温度。由于，根据理想气体状态方程可得，即 由于，根据理想气体状态方程可得，即 由式、消去，并利用可得 小结：从对题目的分析过程看，弄清状态变化过程、分析状态参量是解题的关键，参量多时，列表分析可一目了然。比较两种解法，解法2较为简单，从解法2似乎看不出气体状态变化过程，实际上，对于一定质量的理想气体，在状态变化过程中任意两个状态都满足，在满足规律的条件下选用合适的方程可使求解过程简化。【专项训练】： 1、一定质量的理想气体从右图所示的状态M沿直线缓慢变化到状态N，在这个过程中A气体吸收热量，并同时对外界做功。B气体吸收热量，同时外界对气体做功。C气体放出热量，同时对外界做功。D气体放出热量，同时外界对气体做功。2、要使一定质量的理想气体，由某一状态出发，经过一系列状态变化后又回到初始状态，下列可能实现这一要求的过程是A先等容吸热，再等温吸热，最后等压压缩。B先等压升温，再等容吸热，最后等温放热。C先等温膨胀，再等压升温，最后等容吸热。D先等容放热，再等压降温，最后等温吸热。 3、一定质量的