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和倍问题 和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数的应用题.为了帮 助我们理解题意，弄清两种量彼此间的关系，常采用画线段图的方法来表示两种量间的 这种关系，以便于找到解题的途径。 和(倍数+1)=小数（1 倍数） 小数倍数=大数 或： 和小数=大数 例 1、甲班和乙班共有图书 160 本.甲班的图书本数是乙班的 3 倍，甲班和乙班各有 图书多少本？ 解析：160（3+1）=40 （本） 乙 403=120 （本） 甲 例 2、光明小学有学生 760 人，其中男生比女生的 3 倍少 40 人，男、女生各有多少 人？ 解析： （760+40）（1+3）=200女 760-200=560男 例 3、 大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇 160 个，后来大白兔吃了 20 个，而小灰兔又采 了 10 个，这时，大白兔的蘑菇是小灰兔的蘑菇的 5 倍，原来小灰兔采了多少个蘑菇？（南京 2 届兴趣杯邀请赛预赛 A 卷） 解析：（160-20+10）（5+1）=25 （个） 25-10=15（个）例 4、甲、乙、丙、丁 4 个数的和是 549，如果甲数加上 2，乙数减少 2，丙数乘以 2， 丁数除以 2 以后，则 4 个数相等.求 4 个数各是多少？ 解析：5499=61丙 612+2=124乙 612-2=120甲 614=244丁 “差倍问题”就是已知两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数。 差倍问题的解题思路与和倍问题一样，先要在题目中找到 1 倍量，再画图确定解题 方法.被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量，然后求出 另一个数，最后再写出验算和答题。 差（倍数1）=小数（1 倍数） 小数倍数=大数 或：小数+差=大数 例 5、 光明小学开展冬季体育比赛，参加跳绳比赛的人数是踺子人数的 3 倍，比踢 踺子的多 36 人。参加跳绳和踢踺子比赛的各有多少人？ 解析： 36（31）=18 人 183=54 人。 例 6、已知两个数相除的商为 4，相减的差是 39，者两个数分别为多少？ 解析：39（4-1）=13除数 13+39=52被除数 例 7、仓库里存放大米和面粉两种粮食，面粉比大米多 3900 千克，面粉的千克数比 大米的 2 倍还多 100 千克。仓库有大米和面粉各多少千克？ 解析：（3900100）（21）=3800 千克大米 38003900=7700 千克面粉 例 8、两根绳，第一根长 64 米，第二根长 52 米，剪去同样长后，第一根是第二根的 3 倍，每根绳剪去多少米？（南京 3 届兴趣杯邀请赛预赛 ） 解析：（64-52）（3-1）=6 米 52-6=46 米） 随堂小试 1. 有两个自然数相除，商是 17，余数是 13，已知被除数、除数、商与余数之和等于 2113，则被除数是多少？（2003 奥数初赛 A 卷） 解析：（2113-17-13-13）（17+1）=115 11517+13=1968 2. 甲仓库存粮 104 吨，乙仓库存粮 140 吨，要使甲仓库是乙仓库的 3 倍，那么必须 从乙仓库运出多少吨放入甲仓库？（长春南关区 86 年 6 年级数学竞赛） 解析：（104+140）（3+1）=61 变乙 140-61=79 3. 有两根同样长的绳子，第一根截去 12 米，第二根接上 14 米，这时第二根长度是第一根长的 3 倍，两根绳子原来各长多少米？ 解析：（12+14）（3-1）=13 13+12=25 4. 育红小学原来参加室外活动的人数比室内的人数多 480 人，现在把室内的 50 人改为室外活动，这样室外活动的人数正好是室内人数的 5 倍，参加室内、外活动的一 共有多少人？ 解析：（480+502）（5-1）=145 人 1456=870 人 作业 1. 某单位举行迎春茶话会，买来 4 箱同样重的苹果，从每箱取出 24 千克后，结果 各箱所剩的苹果重量的和， 恰好等于原来一箱的重量， 那么原来每箱苹果重多少千克？（北京 11 届迎春杯决赛） 解析：2443=32 千克 2. 少先多少棵队员种柳树和杨树共 216 棵，杨树的棵数比柳树的 3 倍多 20 棵，两种树各种了？ 解析： （21620）（13）=49（棵）柳树 21649=167（棵）杨树 3. 有大、中、小三筐苹果，小筐装的是中筐的一半，中筐比大筐少 16 斤，大筐装的 是小框的 4 倍，那么大、中、小三筐共有苹果多少斤？（北京 2 届迎春杯刊赛） 解析：162=8 小 87=56 斤 4. 农业科技小组有两块小麦试验田，第二块比第一块少 6 公顷，第一块的面积是第二块的 3 倍。两块试验田各是多少公顷？ 解析：6（3-1）=3 33=9 大 小 5. 甲、乙两桶油重量相等，甲桶取走 16 千克油，乙桶加入 14 千克油后，乙桶油的 重量是甲桶油的重量的 4 倍，甲桶原来有油多少千克？（南京 2 届兴趣杯邀请赛预赛 A 卷） 解析：（14+16）（4-1）=10 千克 16+10=26 千克 6. 有两块同样长的布，第一块卖出 25 米，第二块卖出 14 米，剩下的布第二块 是第一块的 2 倍，求每块布原有多少米？ 解析：（25-14）（2-1）=11 11+25=36 米 7. 某文化用品商店，在一天中售出的小横线本比田格本的 3 倍还多 4 本，售出的大横线本比小横线本的 2 倍少 6 本。已知售出的大横线本比田格本多 57 本，求售出的田格 本、小横线本和大横线本各多少本？ 解析： （57-8+6）5=11 田 113+4=37小横、 372-6=68大横 8. 甲水池有水 2600 立方米，乙水池有水 1200 立方米，如果甲水池里的水以每分种 23 立方米的速度流入乙水池，那么多少分种后，乙水池中的水是甲水池的 4 倍？ 解析：（2600+1200）（1+4）=760变甲 （2600-760）23=80 分钟 思考题 1. 某鞋店有旅游鞋和皮鞋 400 双，在售出旅游鞋的 14 后，又采购来 70 双皮鞋， 此时皮鞋恰好是旅游鞋的 2 倍，问原来两种鞋各有几双？ 解析：将原旅游鞋做为 4 份数，采购后+原来的总份数为 10 份数 （400+70）10=47 双 原有旅游鞋：474=188 双 原有皮鞋：400-188=212 双 2. 有大、小两个水池，大水池里已有水 300 立方米，小水池里已有水 70 立方米， 现在往两个水池里注同样多的水后，大水池水量是小水池水量的 3 倍，问每个水池注入 了多少立方米的水。 解析： （300-70）（3-1）=115 立方米要注入的量：115-70=45 立方米 . 备用题 . 果园里有桃树、梨树、苹果树共 552 棵.桃树比梨树的 2 倍多 12 棵，苹果 树比梨树少 20 棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？（桃树、梨树、苹果树分 别是 292 棵、140 棵和 120 棵） 解析：（552-20-202-12）（1+1+2 ）=120 苹 120+40=140 梨 552-120-140=292桃 . 例 5、两数相除，商 4 余 8，被除数、除数、商、余数四数之和等于 415，那么被除数是多少？（2002 奥数初赛 B 卷） 解析： （415-4-8-8）（4+1）=79 794+8=324 例 9、大小两个桶，原来水一样多，如果从小桶中倒 7 千克到大桶，这时大桶里的水 是小桶里的 3 倍，大桶中原有水多少千克？（2 届希望杯邀请赛初赛 A 卷） 解析：72（3-1）=7 千克 7+7=14 千克 6. 小明、小红和小玲共有 73 块糖，小玲吃掉 3 块，小红与小玲的糖就一样多，如果 小红给小明 2 块糖，小明的糖就是小红的糖的 2 倍，那么，小红有多少块糖？ 解析：（73-3-2）（1+1+2）=17 块 17+2=19 红 4. 参加学校科技小组的同学，今年比去年多 41 人，今年的人数比去年的 3 倍少 35 人，两年各有多少人参加？ 解析：（41+35）（3-1）=38 去年 41+38=79今年 菜站运来的白菜是萝卜的 3 倍，卖出白菜 1800 千克，萝卜 300 千克，剩下的两 种蔬菜的重量相等，菜站运来的白菜和萝卜各是多少千克？ 解析：（1800-300）（3-1）=750萝 7503=2250白 . . 光明小学今年春季共种杨树、柳树 120 棵，其中杨树棵数比柳树棵数的 5/8 少 10 棵，杨树种了多少棵？（北京 14 届迎春杯初赛）解析：(120+10) =80 棵 柳树 120-80=40杨树 . 某小学有学生 975 人，全校男生人数是六年级学生人数的 4 倍少 23 人，全校 女生人数是六年级学生人数的 3 倍多 11 人，问全校有男、女生各多少人？（和倍问题） 解析： （975+23-11）(4+3)=141 1414-23=541男 1413+11=434女 1. 教室里有若干学生，走了 10 个女生后，男生人数是女生人数的 1.5 倍，又走了 10 个女生后，男生人数是女生 人数的 4 倍。问，教室里原有多少个学生。 2. 幼儿园买进大小两种毛巾各 40 条，共用 258 元，大毛巾的单价比小毛巾单价的 2 倍多 0.11 元，这两种毛巾的单价 各是多少？2.11 4.33 3. 某小学有学生 975 人，全校男生人数是六年级人数的 4 倍少 23 人，全校女生人数是六年级学生人数的 3 倍多 11 人，问全校有男、女生各多少人？ 和差倍问题专项练习例题 例1 学校图书馆有文艺书与科技书共 605 本，文艺书的本数比科技书的 3 倍多 50 本，图书馆有文艺书和 科技书各多少本？ 练习 1、禽养场今年养鸡和鸭共 4600 只，养的鸡比鸭的 4 倍还多 100 只，禽养场今年的鸡鸭各多少只？ 2、姐姐和妹妹共做了 340 朵小红花，后来姐姐把她做的红花送给了小明 30 朵，妹妹自己又做了 20 朵， 这时姐姐做的小红花是妹妹的 5 倍。问原来姐姐，妹妹各做了多少朵红花？ 例2 一根电线长 240 米，把它截成三段，使第一段比第二段长 20 米，第三段长是第一段的 2 倍。这三段 电线各长多少米？ 练习 3、A,B,C 三个停车场，A 停车场的汽车比 B 停车场的汽车 2 倍多 1 辆，C 停车场的汽车比 A 停车场的 汽车多 2 倍，已知 A,B,C 三个停车场共停汽车 121 辆，求 A,B,C 三个停车场各停汽车多少辆？ 例3 无线电一厂，上个月生产三种型号的收音机共 1156 台，A 型比 B 型的 2 倍还多 15 台，B 型比 E 型的 2 倍多 21 台，上个月生产 A 型、B 型、E 型收音机各多少台？ 练习、一筐苹果，一筐梨和一筐橘子平均重 40 千克，已知苹果重量是梨的 2 倍，梨的重量是橘子的 3 倍。 问苹果、梨、橘子各是多少千克？ 例题 4 小红和小明都爱画画，两人各有若干枝水彩笔。如果小红给小明 8 枝，小明的水彩笔是小红的 3 倍。 如果小明给小红 8 枝，则两人的水彩笔一样多。小红和小明原来各有多少枝水彩笔？ 练习 5、小花比爷爷小 57 岁，爷爷的年龄是小花的 6 倍少 3 岁，那么小花和爷爷各是多少岁？ 例题 5 有大中小三筐苹果，小筐装的是中筐的一半，中筐比大筐少装 16 千克 ，大筐装的是小筐的 4 倍。大 中小三筐共有苹果多少千克? 练习 6、如果鱼尾重 4 千克，鱼头重量等于鱼尾加上鱼身一半的重量，鱼身重量等于鱼头加鱼尾的重量，这 条鱼有几千克重？ 例题 6 王亮期中考试语文语文和数学的平均分时 94 分，数学没考好，语文比数学多 8 分。问王亮的语文数 学各得了多少分？ 1、某车间共有工人 77 名，其中女工人数比徒工人数的 2 倍还多 4 人，男工人数比徒工和女工人数之和 的 2 倍少 7 人，问：这个车间徒工，女工，男工各多少人？ 2、四年级甲班为筹办红领巾图书室号召同学捐送书籍，共收到科技书和故事书 320 笨，其中科技书是 故事书的 3 倍，四年级甲班同学捐送的科技书和故事书各是多少本？ 3、甲乙丙丁四个数之和为 45，若将甲数加上 2，乙数减去 2.，丙数乘以 2，丁数除以 2，则四个数恰好 相等，求这四个数各是多少？4、父亲今年 47 岁，徐红今年 11 岁，问几年前父亲的年龄是徐红年龄的 5 倍？ 5、某保险公司为鼓励工作成绩好的职工，决定将 4200 元奖金分给三名优秀职工，已知第一名比第二名 多得 800 元，第二名比第三名多得 500 元，三名优秀职工各得多少元奖金？ 1、 在书架上摆放着三层书共 275 本，第三层比第二层的书的 3 倍多 2 本，第一层比第二层的 2 倍少 3 本，三层上个 、 6、 一笔奖金分一等奖，二等奖和三等奖，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的两倍，每个二等奖的奖金是每个三 、等奖奖金的两倍。如果评一，二，三等奖各两人，那么每个一等奖金实 308 元；如果凭一个一等奖，三个三等奖， 两个二等奖，那么一等奖的奖金是多少元？ 7、 把一个减法算式里的被减数，减数与差相加，得数是 592，已知减数比差的 2 倍还大 2，问减数是多少？ 、 8、 甲乙丙三人的平均年龄是 42 岁，若将甲的岁数增加 7 岁，已的岁数扩大 2 倍，丙的岁数缩小 2 倍，则三人岁数相 、等，那么丙的年龄为多少岁？ 9、 甲数减去 878，就等于乙数；如果甲数加 1142，就等于乙数的 5 倍。甲乙两数各是多少？ 、 10、 某中学利用暑假进行军训， 、 晴天每日行 35 千米， 雨天每天行 22 千米， 天共行 403 千米。 13 这期间雨天有多少天？ 11、 三只木筏运木板 910 块，第一只木筏比第二只木筏多运 30 块，第三只木筏比第二只木筏少运 20 块。三只木筏各 、运多少块？ 12、1988 年父亲得年龄师兄弟两人年龄之和的 2 倍，是兄弟两人年龄差得 7 倍，父子三人年龄和是 84，那么，父亲出 生是在（ ）年，弟弟今年几岁？ 13、 小明三天读完一本 74 页的书，第一天比第二天少读 5 页，第二天比第三天少读 7 页。小明三天各读多少页？ 14、四学校有排球、篮球共 50 个，排球比篮球多 4 个。排球、篮球各有多少个 15、甲、乙两个仓库共有大米 80 吨。如果从甲仓库调 15 吨大米到乙仓库，两个仓库的大米正好相等。求原来两个仓库 各有大米多少吨？16、 小红在期末考试中，语文、数学两门功课的平均成绩是 95 分，数学比语文多得 8 分。小红这两门功课的成绩各是 多少分？ 17、 两筐水果共重 50 千克，如果从第一筐取出 5 千克放入第二筐中，那么第一筐还比第二筐多 4 千克。两筐原有水果 各多少千克？ 18、 学校图书馆有科技书和文艺书共 1200 本，文艺书本数是科技书的 4 倍。两种书各有多少本？ 19、 小明有课外书 35 本，小红有课外书 25 本。小明给小红多少本后，小红的课外书是小明的 2 倍？ 20、 师傅、徒弟 3 小时合作 288 个零件，师傅每小时做的零件个数是徒弟的 3 倍，师傅和徒弟每小时各做多少个零件？ 21、 两数相除商 3 余 2”,被除数、除数的和是 94，求被除数和除数各是多少？ 22、 某小学举行运动会