把握数学知识体系_提高教师能力及素质_下__教学案例设.pdf

黑龙江教育 中学教学案例与研究 关于学科内外习题挖掘的总体要求 一 课内例题的闪亮点 例 1 A 城有肥料 200 吨 B 城有肥料 300 吨 现要把这些肥 料全部运往 C D 两乡 从 A 城往 C D 两乡运肥料费用分别为每 吨 20 元和 25 元 从 B 城往 C D 两乡运肥料费用分别为每吨 15 元和 24 元 现 C 乡需要肥料 240 吨 D 乡需要肥料 260 吨 怎样 调运总运费最少 例题的分析与评价 这是方案设计型题中的调运问题 其中 蕴含着方程 函数的思想 在哈尔滨中考中占有重要地位 符合新 课程标准 与学生实际相结合 与实际生活联系非常密切 学生 学起来很感兴趣 也容易明白 它不仅锻炼了学生综合分析问题 解决问题的能力 启发锻炼了学生的思维 而且对学生今后的生 活也有一定影响 并且它对后来应用题的学习起到了承上启下的 作用 所以讲好 练好这道典型的例题至关重要 二 课外经典题目的示范点 例 2 如图 1 平面直角坐标系中 四边形 OABC 为矩形 点 A B 的 坐 标 分 别 为 6 0 6 8 动点 M N 分别从 O B 同时出发 以每秒 1 个单位的速 度运动 其中 点 M 沿 OA 向终点 A 运动 点 N 沿 BC 向终点 C 运 动 过点 N 作 NP BC 交 AC 于 P 连结 MP 已知动点运动了 x 秒 1 P 点的坐标为 用含 x 的代数式表示 2 试 求 MPA 面积的最大值 并求此时 x 的值 3 请你探索 当 x 为何值时 MPA 是一个等腰三角形 你发现了几种情况 写出 你的研究成果 三 重点问题的专题点 仅以开放型专题为例 距离型专题 存在型专题 探究型专题 应用型专题 方案设计型专题 运动 平移 翻折 旋转 型专题 多解问题专题 坐标系中的几何图形专题 求函数解析式专题 开放型专题 1 条件开放 例 3 已知 x1 y 1 x2 y 2 为反比例函数 y k x 图像上的点 当 x1 x2 0 时 y1 y2 则 k 的一个值可为 只需写出 符号条件的 一 个k 的值 解 答案不唯一 只要符合 k 0即可 如 k 1 或 k 2 例 4 如图 2 已知 在 ABC 和 DCB 中 AC DB 若不增加任何字母 与辅助线 要使 ABC DCB 则还需 增加一个条件是 解 答案不唯一 如 AB DC ACB DBC A D Rt 例 5 2 0 0 7 年江苏省南京市 已知点 P x y 位于第二象 限 并且 y x 4 x y 为整数 写出 一 个符合上述条件的点 P 的 坐标 答 1 3 1 2 1 1 2 1 2 2 3 1 六个中任意写出一个即可 2 结论开放 例 6 2 0 0 5 年湖南省湘潭市 如图 3 在 ABC 中 AB AC AD BC D 为 垂足 由以上两个条件可得 写出一个结论 解 1 2 或 B D D C或 A B D A C D等 例 7 已知矩形 ABCD 和点 P 当点 P 在边 BC 上任一位置 如图 4 所示 时 易证得结论 PA2 PC2 PB2 PD2 请你探 究 当 P 点分别在图 4 图 4 中的位置时 PA2 PB2 PC2和 PD2又有怎样的数量关系 请你写出对上述两种情况的探究结 论 并利用图 证明你的结论 把握数学知识体系 提高教师能力及素质 下 x y AM P C NB O 图 1 AD BC 图 2 A D B C P A D B C P A D B C P N M 图 4 图 4 图 4 笠哈尔滨市阿城区龙涤新世纪学校马红艳 专 题 A DBC 图 3 4 黑龙江教育 中学教学案例与研究 答 对图 4 的探究结论为 对图 4 的探究结论为 证明 如图 4 结论均是 PA2 PC2 PB2 PD2 证明 如图 4 过点 P 作 MN AD 交 AD 于点 M 交 BC 于 点 N A D BC MN AD MN BC 在 Rt AMP 中 PA2 PM2 MA2 在 Rt BNP 中 PB2 PN2 BN2 在 Rt DMP 中 PD2 DM2 PM2 在 Rt CNP 中 PC2 PN2 NC2 PA2 PC2 PM2 MA 2 PN2 NC2 PB2 PD2 PM2 DM2 BN2 PN2 MN AD MN NC DC BC 四边形 MNCD 是矩形 MD NC 同理 AM BN PM2 MA2 PN2 NC 2 PM2 DM2 BN2 PN 2 即 PA2 PC2 PB2 PD2 3 综合开放 例 8 如图 5 ABC 中 AB AC 过点 A 作 GE BC 角平分 线 BD CF 相交于点 H 它们的延长线分别交 GE 于点 E G 试在 图中找出 3 对全等三角形 并对其中一对全等三角形给出证 明 解 BCF CBD BH F CHD BDA CFA 证明 BC F CBD AB AC ABC ACB BD CF 是角平分线 BCF 1 2 ACB CBD 1 2 ABC BCF CBD 又 BC CB BCF CBD 例 9 已知抛物线 y x m 2 1 与 x 轴的交点为 A B B 在 A 的右边 与 y 轴的交点为 C 1 写出 m 1时与抛物线有 关的三个正确结论 2 当点 B在 原点的右边 点 C 在原点的下方时 是否存在 BOC 为等腰三角形的情 形 若存在 求出 m 的值 若不存 在 请说明理由 3 请你提出一个 对任意的 m 值都能成立的正确命 题 说明 根据提出问题的水平层 次 得分有差异 解 1 当 m 1 时 抛物线解析式为 y x 1 2 1 可从对 称轴 顶点坐标 开口方向 最值 增减性等多方面去写出许多正 确结论 任写三个即可 2 存在 m 2 3 是结论开放题 答案有许多 如 抛物线 y x m 2 1 与 x 轴总有交点 顶点纵坐标为 1 或函数最大值为 1 等 例 10 如图 6 直线 AC BD 连结 AB 直线 AC BD 及线段 AB 把平面分成 四个部分 规定 线上各点不属于任 何部分 当动点 P 落在某个部分时 连结 PA PB 构成 PAC APB PBD 三个角 提示 有公共端点的两条重合的射线 所组成的角是 0 角 1 当动点 P 落在第 部分时 求证 APB PAC PBD 2 当动点 P 落在第 部分时 APB PAC PBD 是否成立 直接回答成立或不成立 3 当动 点 P 在第 部分时 全面探究 PAC APB PBD 之间的关 系 并写出动点 P 的具体位置和相应的结论 选择其中一种结 论加以证明 解 1 解法一 如图 6 延长 BP 交直线 AC 于点 E AC BD PEA PBD APB PAE PEA APB PAC PBD 解法二 如图 6 过点 P 作 FP AC PAC APF AC BD FP BD FPB PBD APB APF FPB PAC PBD 解法三 如图 6 AC BD CAB ABD 1 8 0 即 PAC PAB PBA PBD 1 8 0 又 APB PBA PAB 1 8 0 APB PAC PBD 2 不成立 3 a 当动点 P 在射线 BA 的右 侧时 结论是 PBD PAC APB b 当动点 P 在射线 BA 上 结论是 PBD PAC APB 或 PAC PBD APB 或 APB 0 PAC PBD 任写一个即可 c 当动点 P 在射线 BA 的左侧时 结论是 PAC APB PBD 选择 a 证明 如图 6 连接 PA 连接 PB 交 AC 于 M AC BD PMC PBD 又 PMC PAM APM PBD PAC APB GA FD B C E H 图 5 x y A D B C E P 图 6 A DB C FP 图 6 A D C B P 图 6 A D C B P 图 6 M 专 题 A DB C A D B CA DB C P 图 6 5 黑龙江教育 中学教学案例与研究 选择 b 证明 如图 6 点 P 在射线 BA 上 APB 0 AC BD PBD PAC PBD PAC APB 或 PAC PBD APB 或 APB 0 PAC PBD 选择 c 证明 如图 6 连接 PA 连接 PB 交 AC 于 F AC BD PFA PBD PAC APF PFA PAC APB PBD 练习 1 代数式 m2 n 2 m n 0 的三个实际意义是 2 多项式 x2 px 1 2 可分解为两个一次因式的积 整数 p 的 值是 写出一个即可 3 请写出一个开口向上 对称轴为直线x 2 且与y轴的交点 坐标为 0 3 的抛物线的解析式 4 平移抛物线 y x2 2 x 8 使它经过原点 写出平移后抛物线 的一个解析式 5 请给出一元二次方程 x2 8 x 0 的一个常数 项 使这个方程有两个不相等的实数根 6 已知 a sin6 0 b cos4 5 c 1 2 1 d 1 1 2 姨 从 a b c d 这 4 个数中任意选取 3 个数求和 7 如图 7 ABC 中 D E 分别是 AC AB 上的点 BD 与 CE 交于点 O 给出下列三个条件 E BO DCO BEO CDO BE CD 1 上述三个条件中 哪 两 个 条 件可判定 ABC 是等腰三角形 用序 号写出所有情形 2 选择第 1 小题中的一种情形 证明 ABC 是等 腰三角形 8 在正方形 ABCD 中 点 P 是 CD 上一动点 连结 PA 分别过点 B D 作 BE PA DF PA 垂足分别为 E F 如图 8 1 请探索 BE DF EF 这三条线段长度具有怎样的数量关系 若点 P 在 DC 的延长线上 如图 8 那么这三条线段的长度之间又具有 怎样的数量关系 若点 P 在 CD 的延长线上呢 如图 请分别 直接写出结论 2 请在 1 中的三个结论中选择一个加以证 明 四 创新题目的思维点 1 创编的背景和载体 原题 人教版三年制数学教 材八年级下册 1 0 0页第 7题 如 图 9 A B BA B C CB C A AC ABC 与 B 有什么关系 线段 AB 与线段 AC 呢 2 创编过程 第一问是利用两个全等的直角三角形拼出三个平行四边形 的过程 或者是过三角形的三个顶点 分别作对边的平行线 三 条平行线的交点即为所求的三个顶点 其中还隐含着三角形中 位线定理 第二问主要引导学生 学会判断在坐标平面内的任意 三点组构成的三角形是否是直角三角形 此题已知中把 ABC 设计为 9 0 这样也可以利用平行四边形的性质做题 第三问主 要利用动点运动过程中 所产生的两个相似的直角三角形 利用 相似中的正 A 斜 X 找出等量关系从而解得 t 值 3 创编题目的特点 考查内容全面性 创编题目中涉及到的知识点 包括平行 四边形的性质 判定 勾股定理逆定理 相似中的正 A 斜 X 相似 三角形的判定 包含知识点全面 但连接紧密 知识综合创新性 创编题目虽然涉及到的知识点较多 但 在解题过程中 知识点的内在联系紧密 合理 使得解题过程更 有条理 对学生的启发性 把前后知识紧密联系在一起 对学生学 习有指导性 和方向性多解问题是中考的重点内容 锻炼学生分 析问题 全面考虑问题的习惯 4 创编题目及答案 创编题目 例 11 如图 10 在平面直角坐 标系中有三点 A 1 0 B 0 2 C 4 0 1 是否存在一点 P 使以 A B C P 四点为顶点的四 边形是平行四边形 若存在求出 P 点坐标 2 把你得到的 P 点坐标 顺次连接 形成了什么图形 并求 A D C B P 图 6 AD CB E F P A D C B E F P A D C B E F P 图 8 图 8 图 8 专 题 A D C B P 图 6 x y A NC B M O 图 1 0 C A A BC B 图 9 A D C B E 图 7 O 6 黑龙江教育 中学教学案例与研究 出此图形的面积 3 若点 M 从 A 点向 B 点匀速运动 点 N 从 C 点向 A 点匀速运动 速度均为 1c m s 求 t 为何值时为 AMN 直 角三角形 创编题答案 解 1 存在 如图 1 1 四边形 ABCP1为平行四边形时 点 B 0 2 向左平移 1 个单位向上平移 2 个单位得到 A 1 0 点 C 4 0 向左平 移 1 个单位向上平移 2 个单位得 到 P1 3 2 1 分 四边形 ABCP2为平行四 边形时 点 A 1 0 向右平移 1 个单位向下平移 2 个单位得到 B 0 2 点 C 4 0 向右平移 1 个单位向下平移 2 个单位得到 P2 5 2 1 分 四边形 ABCP3为平行四边形时 点 C 4 0 向左平移 4 个单位向下平移 2 个单位得到 B 0 2 点 A 1 0 向左平移 4 个单位向下平移 2 个单位 得到 P3 5 2 1 分 2 直角三角形 P1P2 3 5 2 2 2 2 姨 2 0 姨 P1P3 3 5 2 2 2 2 姨 8 0 姨 P2P3 5 5 2 姨 1 0 P1P2 2 P 1P3 2 P 2P3 2 P1P2P3为直角三角形 2 分 S P 1P2P3 1 2P 1P2 P 1P3 1 2 2 5 姨 45 姨 2 0 1 分 3 如图 1 2 当 时 AMN 9 0 时 ABC AMN AB AC AM AN 即 5 姨 5 t 5 t 解 得 t 55 姨 5 4 2 分 当 AMN 9 0 时 ACB AMN AC AB AM AN 即 5 5 姨 t 5 t 解 得 t 2 5 55 姨 4 2 分 五 中考题目的监控点 中考题目肯定是万变不离书本 题型 考查内容都有所变化 下面列举一些新题型